Grenzfunktion einer Funktionsfolge

12.05.2013, 19:56

Xbf

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Grenzfunktion einer Funktionsfolge

Meine Frage:
Die Glieder von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ seien auf $\begin{eqnarray*} D=[0,1] \end{eqnarray*}$ gegeben.
Bestimme die Grenzfunktion und überprüfe, ob die Funktionsfolge gleichmäßig auf D gegen ihre Grenzfunktion konvergiert.

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann da leider nichts zu beisteuern.
Wenn sich jemand die Mühe macht und mir das bisschen erklärt, wäre ich sehr dankbar.

12.05.2013, 21:12

Che Netzer

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RE: Grenzfunktion einer Funktionsfolge
Als erstes solltest du den punktweisen Grenzwert bilden.
Weißt du, wie der definiert ist?

12.05.2013, 21:29

Xbf

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Wir haben da noch nicht viel zu gemacht.
Was ich hier stehen habe ist: $\begin{eqnarray*} f-\varepsilon<f_n(x)<f+\varepsilon \end{eqnarray*}$
Jetzt müssen alle Werte von $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} f-\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f+\varepsilon \end{eqnarray*}$ liegen. Also jeder Punkt ist dazwischen.

12.05.2013, 21:33

Che Netzer

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Das sieht mir nach gleichmäßiger Konvergenz aus.

Punktweise Konvergenz ist schwächer.
Man sagt, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn die Definitionsbereiche übereinstimmen und dort für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$
gilt. Diesen Grenzwert sollst du also bestimmen.

12.05.2013, 21:38

Xbf

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Wenn n gegen unendlich strebt, kommt da doch folgendes raus oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)=0 \end{eqnarray*}$

12.05.2013, 21:44

Che Netzer

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Naja, erstmal nur $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
Anschließend setzen wir
$\begin{eqnarray*} f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\,. \end{eqnarray*}$
Das ist dann per Definition die (punktweise) Grenzfunktion.

Jetzt muss noch überprüft werden, ob die Konvergenz auch gleichmäßig ist.
Weißt du, dass du dazu überprüfen kannst, ob
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert\to0\,? \end{eqnarray*}$

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12.05.2013, 22:10

Xbf

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Tut mir wirklich Leid, dass ich da gar nichts zu beisteuern kann unglücklich

unglücklich

Wie überprüfe ich das denn richtig?
Für große n-Werte wird für $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Das ist dann gleichzeitig das Maximum und das Supremum?
Falls ja, dann ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

12.05.2013, 22:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von Xbf
Für große n-Werte wird für $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

Erläuter das etwas näher...

12.05.2013, 22:21

Xbf

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Im Definitonsbereich $\begin{eqnarray*} D=[0,1] \end{eqnarray*}$ ist das Supremum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ .
Also die Funktion nimmt keinen y-Wert im Definitionsbereich [0,1] an, der größer ist als 0,5.

12.05.2013, 22:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von Xbf
Im Definitonsbereich $\begin{eqnarray*} D=[0,1] \end{eqnarray*}$ ist das Supremum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ .

Von $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ ?
Das solltest du zeigen.
Oder zumindest $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in D}f_n(x)\geq\frac12 \end{eqnarray*}$ .

12.05.2013, 22:56

Xbf

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Schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Verstehen tue ich es aber leider noch nicht.
Die Grenzfunktion ist anscheinend $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt noch die Frage, ob die Funktionsfolgen gleichmäßig gegen ihre Grenzfunktion konvergieren.

Was ich bisher festgestellt habe ist, dass die x-Werte gegen 0 streben, wenn n gegen oo strebt.
Ob gleichmäßig weiß ich nicht. Das wird mit $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert\ \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Also die Funktionen einsetzen: $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert \frac{nx}{1+n^2x^2}-0\bigr\rvert \end{eqnarray*}$
Setze ich jetzt x=1 ein, bekomme ich folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ .
Hilft mir das irgendwie weiter?

12.05.2013, 23:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von Xbf
Hilft mir das irgendwie weiter?

Nein.
Du musst das Supremum zumindest nach unten abschätzen.
Zeige zum Beispiel, dass jedes $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ annimmt.

12.05.2013, 23:33

Xbf

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Meinst du sowas?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}=\frac{nx}{1+n^2x^2}\Rightarrow n=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Aber sonst ist auch nicht schlimm, dann habe ich diesen wirklich kleinen Teil nicht.

13.05.2013, 00:05

Che Netzer

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Dieser Teil ist entscheidend, um die Folge auf gleichmäßige Konvergenz zu untersuchen.

Aber ja, $\begin{eqnarray*} f_n\left(\frac1n\right)=\frac12 \end{eqnarray*}$ .
Kannst du nun eine Aussage darüber treffen, ob die Folge gleichmäßig konvergiert?

13.05.2013, 00:35

Xbf

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Für gleichmäßige Konvergenz muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert\,=0 \end{eqnarray*}$

In meinem Beispiel ist das dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert\,=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Daher die Funktionsfolge ist gleichmäßig konvergent.
Falls das so stimmt, weiß ich aber noch nicht, wie ich auf $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ komme.
Ich habe die Funktion jetzt einfach für große und kleine n-Werte geplottet und nach dem Maximum geschaut.
In der Prüfung geht sowas aber nicht und richtig gezeigt ist es ja auch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2013, 07:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von Xbf
In meinem Beispiel ist das dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert\,=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Woher hast du denn das nun wieder?

01.08.2013, 03:04

Xbf

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Schon bisschen älter, aber für die Klausur wieder notwendig.
Danke Che Netzer für die Geduld, teilweise echt gruselig, was da von mir steht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fasse das nochmal bisschen zusammen (Aufgabe steht auf der ersten Seite ganz oben).

punktweise Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+n^2x^2}=0 \qquad f(x):=0 \end{eqnarray*}$

gleichmäßige Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert=0 \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt noch das Supremum von $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen (steht hier schon, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ).
Dann ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\bigl\lvert f_n(x)-f(x)\bigr\rvert=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}>\varepsilon \end{eqnarray*}$
Damit ist die Funktion nicht gleichmäßig konvergent.

Allerdings würde ich gerne wissen, wie man am einfachsten das Supremum (0.5) bestimmt ohne die Funktion zu zeichnen. Also wie komme ich auf 0.5?

01.08.2013, 07:02

Che Netzer

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Du musst nicht wissen, dass das Supremum genau $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ ist, sondern nur, dass es mindestens $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ ist. Und das zeigst du hiermit:

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} f_n\left(\frac1n\right)=\frac12 \end{eqnarray*}$ .

01.08.2013, 12:04

Xbf

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Ok, dann anders gefragt, woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sein muss?

01.08.2013, 15:09

Che Netzer

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Eigentlich durch Raten. Frag dich z.B.: Was muss ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen, damit das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschwindet? (denn man möchte das Supremum ja gegen eine Konstante abschätzen).

02.08.2013, 04:00

Xbf

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Ok, das habe ich verstanden, aber was ist, wenn man x nicht so wählen kann, dass es n verschwindet?
Hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=2n^2xe^{-n^2x^2} \end{eqnarray*}$

So jetzt kann ich $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ wählen oder $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Irgendwo bleibt ein n übrig.

02.08.2013, 08:42

Che Netzer

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Wo ist diese Funktion denn definiert?

02.08.2013, 14:17

Xbf

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$\begin{eqnarray*} D=[0,1] \end{eqnarray*}$

Bei x=1 passt es (also n=1), aber sonst ja nicht verwirrt

verwirrt

02.08.2013, 14:50

Che Netzer

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Und was ging beim Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=\frac1n \end{eqnarray*}$ schief?

Man könnte auch so argumentieren: Wenn diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren würde, müsste $\begin{eqnarray*} -\mathrm e^{-n^2x^2} \end{eqnarray*}$ punktweise gegen eine differenzierbare Funktion konvergieren. Der punktweise Grenzwert dieser Funktionenfolge ist aber nicht stetig.

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