Lineare Abbildung zwischen Dualräumen

13.05.2013, 10:45

amaik

Lineare Abbildung zwischen Dualräumen

Hallo,

ich sitze vor folgender Aufgabe: E*,F* sind K-Dualräume, f : E-> F ist linear.
Ich habe folgende Abbildung: $\begin{eqnarray*} $T_{f} : F^{*} \rightarrow E^{*} mit ~~ \phi : \phi \circ f \end{eqnarray*}$
Zuerst sollte ich zeigen dass die Abbildung linear ist, dass habe ich bereits gemacht. An folgenden beiden Aufgabeteilen komme ich nicht weiter:
a) $\begin{eqnarray*} $T_{f \circ g} = T_{g} \circ T_{f} \end{eqnarray*}$ für zwei lineare Abbildungen f: E -> F und g: F ->E

b) Isr f bijektiv , dann ist auch $\begin{eqnarray*} $T_{f} \end{eqnarray*}$ bijektiv und es gilt $\begin{eqnarray*} $T_{f^{-1}} = ( T_{f} )^{-1} \end{eqnarray*}$

Bei b hab ich die injektivität und bijektivität schon gezeigt. Mit den Umkehrfunktionen Weis ich aber nciht gnaz weiter, da z.B ja $\begin{eqnarray*} ( T_{f} )^{-1} \end{eqnarray*}$ von E* nach f* Abbildet, und mein neues $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Ja dann von E nach K abbildet, und das dann ja nicht einfach die Umkehrung des alten latex]\phi[/latex] sein kann sondern eine ganz andere Funktion. Wie kann ich das aso zeigen?

Bei a) bin ich ehrlich gesagt noch mehr verwirrt und bräuchte eine Starthilfe. Vielen Dank

13.05.2013, 13:29

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie Teil a) dort formuliert ist, ist es nicht vernünftig definiert. Es ist

$\begin{eqnarray*} T_f \in E^* \end{eqnarray*}$ , sprich für $\begin{eqnarray*} v \in E, \phi \in F^* \end{eqnarray*}$ haben wir

$\begin{eqnarray*} T_f(\phi)(v) \in \mathbb{K} \Leftrightarrow \phi(f(v)) \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} g: F \to E \end{eqnarray*}$ ist das ganze aber nicht definiert, denn bei der Auswertung von

$\begin{eqnarray*} T_g(\phi)(v) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v \in E \end{eqnarray*}$ , da T der Definition nach, nach E* abbildet. Ist aber $\begin{eqnarray*} v \in E \end{eqnarray*}$ , macht der Ausdruck $\begin{eqnarray*} T_g(\phi)(v) = \phi(g(v)) \end{eqnarray*}$ keinen Sinn. Hast Du da vielleicht einen Tipfehler oder so drin oder etwas vergessen?

Das gleiche gilt für Teil b) und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ da diese Abbildung auch von F nach E geht. Abgesehen davon :

b)

Zitat:

da z.B ja $\begin{eqnarray*} ( T_{f} )^{-1} \end{eqnarray*}$ von E* nach f* Abbildet, und mein neues $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Ja dann von E nach K abbildet, und das dann ja nicht einfach die Umkehrung des alten latex]\phi[/latex] sein kann sondern eine ganz andere Funktion. Wie kann ich das aso zeigen?

Es würde schon ausreichen, wenn Du für $\begin{eqnarray*} \phi \in F^* \end{eqnarray*}$ zeigst, dass

$\begin{eqnarray*} (T_f \circ T_{f^{-1}})(\phi)(v) = \phi(v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in F \end{eqnarray*}$

gilt. Dann folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} (T_f)^{-1} = T_{f^{-1}} \end{eqnarray*}$ gilt, da die inverse Abbildung eindeutig ist.

13.05.2013, 14:27

amaik

Auf diesen Beitrag antworten »

Also Tippfehler meinerseits ist es nicht, entweder seitens der Aufgabenersteller oder es macht einfach keinen Sinn.
Aber ansonsten Danke schonmal, war da auch etwas veriwrrt und hab das umgekehrte einfach angenommen. Ich hab mich jetzt mit dem Aufgabenersteller in Verbindung gestzt und werde eventuell heir danna nachmal darauf zurückkommen. Ansonsten danke für die Hilfe!

13.05.2013, 14:40

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

und hab das umgekehrte einfach angenommen

Ja, daran dachte ich auch. Aber irgendwas annehmen ist nicht schön, da selbst wenn es richtig ist man trotzdem irgendwie auf eine falsche Richtung geraten kann und damit Zeit verloren geht.

13.05.2013, 17:38

amaik

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe jetzt Rückmeldung erhalten. Die Annahme war richtig. $\begin{eqnarray*} $T_{g} \end{eqnarray*}$ Würde Also von E* nach F* abbilden. Ich stelle meine Frage dann hiermit nochmal Augenzwinkern

13.05.2013, 18:37

amaik

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hier verstehe ich was nicht. Wenn ich dass jetzt zeigen will, dann komme ich nicht weiter: ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} \phi^{*} : E\rightarrow K \end{eqnarray*}$ und dann wäre $\begin{eqnarray*} $T_{f^{-1}} : E^{*} \rightarrow F^{*} \end{eqnarray*}$ Dann kann ich doch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^{*} \end{eqnarray*}$ garnicht verketten??

13.05.2013, 20:24

amaik

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre toll wenn sich das jemand nochmal angucken könnte und mir helfen würde smile

14.05.2013, 09:09

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, hier muss man die Sachen schon ordentlich aufschreiben damit man weiß wo man ist. Dabei sieht man dann auch einen kleine Fehler in meinem Aufschrieb :

Für

$\begin{eqnarray*} (T_f \circ T_{f^{-1}})(\phi)(v) = \phi(v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in E \end{eqnarray*}$

muss $\begin{eqnarray*} \phi \in E^* \end{eqnarray*}$ sein (genauso wie v). Analog könnte man für

$\begin{eqnarray*} \phi \in F^* \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} (T_{f^{-1}} \circ T_{f})(\phi)(v) = \phi(v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in F \end{eqnarray*}$

zeigen.

14.05.2013, 09:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir mal jemand erklären, wo das Problem lag? verwirrt

Zitat:

Original von Mazze
Für $\begin{eqnarray*} g: F \to E \end{eqnarray*}$ ist das ganze aber nicht definiert, denn bei der Auswertung von

$\begin{eqnarray*} T_g(\phi)(v) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v \in E \end{eqnarray*}$ , da T der Definition nach, nach E* abbildet.

Nein, $\begin{eqnarray*} T_g(\phi) \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ definiert.

Und in der b) muss nicht nur $\begin{eqnarray*} (T_f \circ T_{f^{-1}})(\phi)(v) = \phi(v) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (T_{f^{-1}} \circ T_{f})(\phi)(v) = \phi(v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in E \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi\in E^* \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} v\in F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi\in F^* \end{eqnarray*}$ zeigen, sondern beides.

14.05.2013, 10:06

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nein, $\begin{eqnarray*} T_g(\phi) \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ definiert.

Naja, man müsste das schon raten. Der Operator $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ wird hier nur für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : E \to F \end{eqnarray*}$ definiert. Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} g : F \to E \end{eqnarray*}$ steht kein Wort da, auch wenns Sinnvoll erscheint die "Umkehrung" anzunehmen.

Ansonsten natürlich danke für die Korrektur.

14.05.2013, 10:22

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man die Vektorräume nennt, spielt doch gar keine Rolle geschockt

Man kann auch $\begin{eqnarray*} T_h \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h\colon \boxed{\checkmark}\to\overset\otimes{\mathfrak Y} \end{eqnarray*}$ definieren, wenn $\begin{eqnarray*} \boxed{\checkmark} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overset\otimes{\mathfrak Y} \end{eqnarray*}$ zwei Vektorräume sind.

Die Definition vor der Aufgabenstellung legt sich noch auf keine Räume fest, immerhin wird das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Teil a) nochmals neu definiert, d.h. $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ wurde nicht nur für genau dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert.
Dass $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zwei beliebige (topologische) Vektorräume sind, wurde zwar nicht nochmals erwähnt, vorher aber auch nicht...

Edit: Die Bezeichnung "Funktion" wird für solche Abbildungen übrigens selten benutzt.

14.05.2013, 10:33

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um die Benennung der Vektorräume, wohl aber um die explizite Definition dass

$\begin{eqnarray*} $T_{f} : F^{*} \rightarrow E^{*} \end{eqnarray*}$

sein soll. Und nimmt man nur diese Informationen ist für eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:F \to E \end{eqnarray*}$ der Spaß nicht definiert.

Die Annahme dass

$\begin{eqnarray*} $T_{g} : E^{*} \rightarrow F^{*} \end{eqnarray*}$ (für entsprechendes g)

erscheint zwar Sinnvoll, ich hätte aber auch nachgefragt da m.E.n dass ,wenn überhaupt, nur implizit aus den gegebenen Informationen klar wird.

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abbildung zwischen Dualräumen

Verwandte Themen