Isoperimetrische Ungleichung |
13.05.2013, 13:41 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Isoperimetrische Ungleichung mit und in [0,1]. Sei L die Länge der Kurve , A der Flächeninhalt des Gebietes, welches von c und der x-Achse berandet wird. Zu zeigen: und für welche Kurve gilt die Gleichheit? Also anschaulich habe ich Anfangs- und Endpunkt dieser Kurve, beide auf der x-Achse, aber die Kurve kann jetzt natürlich ziemlich weit nach "oben" gehen oder? Die isoperimetrische Ungleichung sagt: Das sieht ja schon ganz gut aus, aber wie führe ich das in meine Kurve über? Ich weiß, die Kurve ist regulär, aber außer den zwei Punkten nicht sehr viel...kann somit nicht Länge und Fläche explizit berechnen... Hat jemand eine Idee für mich? |
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13.05.2013, 22:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Isoperimetrische Ungleichung Du kannst die Kurve an der -Achse spiegeln und erhältst eine Kurve der Länge , die eine Fläche mit Inhalt eingrenzt. Wende darauf die isoperimetrische Ungleichung an. |
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14.05.2013, 18:34 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Toller Gedanke, vielen Dank!!! Bei der isoperimetrischen Gleichung gilt Gleichheit genau dann, wenn c ein Kreis ist. Dann dürfte das in diesem Fall auch die Antwort sein, oder kann ich das noch genauer beschreiben? |
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14.05.2013, 18:42 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wann ist denn diese Kurve mitsamt ihrer Spiegelung ein Kreis? D.h. für welche Länge existiert eine Kurve , für die die Gleichheit gilt und welche ist das? |
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14.05.2013, 21:58 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hat sich, glaube ich, wieder ein Denkfehler meinerseits eingeschlichen: Wende ich deinen vorherigen Vorschlag an, dann habe ich: Stimmt so oder? Aber gilt das dann nicht nur für die "doppelte Kurve"?? Wenn c ein Kreis sein soll, dann ist der Radius 1 und die Länge 2Pi und die Fläche Pi, ergibt: Da gilt aber nicht die Gleichheit...sorry , dann müsste ich ja wieder 2A hernehmen oder? Wo hänge ich? |
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14.05.2013, 22:03 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Ungleichung gilt einfach. Was meinst du damit, dass sie für die "doppelte Kurve" gelten soll?
Wie soll ein Kreis sein, wenn es eine Kurve von nach ist? |
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14.05.2013, 22:23 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, dass die Ungleichung jetzt für die Kurve und deren Spiegelung gilt...und nicht für die Kurve alleine? Aber gut, viel. muss sie das auch nicht, die Ungleichung muss ja passen oder? Alles andere klingt logisch, aber ich habe ja bereits die Formeln für den Kreis verwendet, dann kann ich die Fläche ja nicht noch verdoppeln... Ich glaub, ich steh auf der Leitung! |
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14.05.2013, 22:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt: Die Ungleichung gilt einfach. Sie gilt nicht für irgendetwas. Mit wurde in der Aufgabenstellung die Länge von bezeichnet; mit die Fläche, die mit der -Achse einschließt. Welches Problem siehst du nun? |
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14.05.2013, 22:53 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich komme nicht auf das richtige Ergebnis: Es ist Soll zeigen Habe aber: Wende ich die isoperimetrische Formel darauf an, stimmt die Gleichung, aber das L^2 nicht mehr... |
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14.05.2013, 23:10 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso ist ? |
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14.05.2013, 23:21 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist doch die Formel für die Länge des Kreises: |
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14.05.2013, 23:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber ist wie gesagt die Länge der Kurve . Und kann kein Kreis sein. |
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14.05.2013, 23:36 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, aber c soll doch ein Kreis sein oder? Heißt das ich muss die Gleichung erst auflösen? Aber wenn ich die Fläche weiß, dann weiß ich doch auch die Länge... |
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14.05.2013, 23:42 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso sollte ein Kreis sein? ist ja nichteinmal eine geschlossene Kurve. |
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14.05.2013, 23:51 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
c ist ja kein Kreis, aber ich muss doch auf diese Gleichheit kommen...und bei der isoperimetrischen Ungleichung gilt Gleichheit ja genau dann, wenn c ein Kreis ist...und deshalb will ich dahin oder? Was verstehe ich jetzt falsch? |
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14.05.2013, 23:53 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ist hier keine (!) geschlossene Kurve. Worauf haben wir die isoperimetrische Ungleichung angewandt? Was muss für Gleichheit ein Kreis sein? |
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15.05.2013, 00:01 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf c und die Spiegelung haben wir die Ungleichung angewandt. Wir haben das mit der Ungleichung mitdefiniert: Gleichheit gilt genau dann, wenn c ein Kreis ist! |
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15.05.2013, 00:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dieses aus eurem Satz ist allerdings ein anderes als das, das wir betrachten. Wir haben die Ungleichung auf die Kurve angewandt, die sich ergibt, wenn wir und dessen Spiegelung betrachten. Achte darauf, zwei Dinge nicht als gleich anzusehen, nur weil sie an verschiedenen Stellen zufällig denselben Namen haben. Also: Welche Kurve muss ein Kreis sein, damit wir haben? |
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15.05.2013, 16:24 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaub, ich habs kapiert: und Und damit stimmt die Gleichung dann...stimmts? |
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15.05.2013, 16:38 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Damit die Gleichheit gilt, muss zusammen mit seiner Spiegelung einen Kreis ergeben und deshalb muss der eindeutig bestimmte Halbkreis mit Länge sein. |
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15.05.2013, 16:47 | Sway | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So macht alles Sinn! Ich dank dir tausend Mal, vor allem für deine Geduld |
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