Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen

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13.05.2013, 21:44	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Abb. f: R^2 --> R mit: f(x,y) = $\begin{eqnarray} \left\{ \frac{\|x\|^{\frac{1}{3}}y^3}{\|x\|^{\frac{1}{2}} + y^2}\right. \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq 0 \end{eqnarray}$ und 0 für (x,y)= 0. Meine Ideen: Ich komme jetzt nicht weiter beim Beweis der Stetigkeit. Kann mir jemand einen Ansatz zeigen. Das wäre echt super.
13.05.2013, 23:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Benutze $\begin{eqnarray} \lvert x\rvert^{\frac12}+y^2\geq y^2 \end{eqnarray}$ .
14.05.2013, 20:07	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Danke schon mal für die Anwort. Aber könntest du mir vielleicht noch sagen, was genau man zeigen muss, weil wenn man eine "normale" Funktion hat, beweist man die Stetigkeit mit der Epsilon-Delta-Definition, aber was genau soll man in meinem Fall anwenden (im Skript habe ich diesbezüglich nichts stehen )
14.05.2013, 20:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Für gewöhnlich zeigt man, dass aus $\begin{eqnarray} (x,y)\to(0,0) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} f(x,y)\to f(0,0) \end{eqnarray}$ folgt.
14.05.2013, 20:23	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ok, und wenn das erfüllt ist, dann ist f überall stetig? Dh. ich muss zeigen, dass für (x,y)-->(0,0) auch f(x,y)--> f(0,0)?
14.05.2013, 20:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Nullpunkt stetig.
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14.05.2013, 20:36	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Achso und was ist mit den anderen Punkten? Wie beweist man da die Stetigkeit?
14.05.2013, 20:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Meist ist die Funktion sonst schon als Komposition stetiger Funktionen stetig. Ansonsten macht man das ganz analog wie hier beim Nullpunkt.
14.05.2013, 20:45	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ok, wäre das den so richtig: f(x,y) = $\begin{eqnarray} \frac{\|x\|^{\frac{1}{3}}y^3}{\|x\|^{\frac{1}{2}} + y^2} >= \frac{\|x\|^{\frac{1}{3}}y^3}{y^2} =\|x\|^{\frac{1}{3}} y \end{eqnarray}$ für (x,y)-->(0,0) ist f(x,y)=0
14.05.2013, 20:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Die Abschätzung geht in die falsche Richtung und ohnehin schätzt du den falschen Term ab. Außerdem ist $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ nicht Null, wenn $\begin{eqnarray} (x,y)\to0 \end{eqnarray}$ .
14.05.2013, 21:11	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ok, und in welche Richtung soll sie dann gehen? Warum ist das nicht null??
14.05.2013, 21:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Beim Abschätzen gibt es nur zwei Richtungen... Und wieso sollte $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ denn Null sein?
14.05.2013, 21:27	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Mir ist im Moment aber nicht wirklich klar, wie die andere Richtung aussieht... Ich dachte, weil für (x,y)=(0,0) ist f(x,y) = 0 und wenn jetzt (x,y)-->(0,0) geht...aber anscheinend falsch gedacht...
14.05.2013, 21:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Du hast in eine Richtung falsch abgeschätzt – nach unten. Was könnte da wohl die andere Richtung sein? Und wieso sollte aus $\begin{eqnarray} (x,y)\to(0,0) \end{eqnarray}$ folgen, dass $\begin{eqnarray} f(x,y)=f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ ist?
14.05.2013, 21:35	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Müsste es so sein: f(x,y) = $\begin{eqnarray} \frac{\|x\|^{\frac{1}{3}}y^3}{\|x\|^{\frac{1}{2}} + y^2} <= \frac{\|x\|^{\frac{1}{3}}y^3}{y^2} =\|x\|^{\frac{1}{3}} y \end{eqnarray}$
14.05.2013, 21:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Nein. Wenn $\begin{eqnarray} y^3<0 \end{eqnarray}$ , wäre die Abschätzung falsch.
14.05.2013, 21:42	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ok. Und wie könnte man das anders machen?
14.05.2013, 21:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Versuch doch mal selbst darauf zu kommen. Wie kann man zeigen, dass etwas gegen Null geht?
14.05.2013, 21:58	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Man zeigt, dass etwas gegen Null geht, indem man zeigt, dass es beliebig klein werden kann.
14.05.2013, 21:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Beliebig klein? Inwiefern? Das klingt etwas mehr nach Divergenz gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . Präzisiere das mit dem "beliebig klein" mal etwas.
14.05.2013, 22:01	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Mit beliebig klein meinte ich, dass die Werte gegen Null gehen, also schon größer Null sind.
14.05.2013, 22:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Man zeigt also, dass etwas gegen Null geht, indem man zeigt, "dass die Werte gegen Null gehen"? Und wieso müssen Nullfolgen positiv sein? Etwas wie $\begin{eqnarray} -\frac1n \end{eqnarray}$ geht auch gegen Null für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ .
14.05.2013, 22:06	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Nicht, wenn man den Betrag verwendet und das haben wir halt immer so gemacht.
14.05.2013, 22:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Na bitte. Um zu zeigen, dass etwas gegen Null geht, kann man zeigen, dass der Betrag gegen Nul geht. Den muss man dazu nämlich nur nach oben gegen eine Nullfolge abschätzt. Und wenn ihr immer den Betrag verwendet habt, wieso hast du das hier nicht getan?
14.05.2013, 22:11	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Hab ich vergessen Das mit dem Abschätzen nach oben gegen eine Nullfolge verstehe ich noch nicht ganz...
14.05.2013, 22:16	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Warum muss man das gegen eine Nullfolge abschätzen, das (x,y) geht ja nicht gegen unendlich???
14.05.2013, 22:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Wenn $\begin{eqnarray} 0\leq\lvert f(x,y)\rvert\leq? \end{eqnarray}$ gilt und $\begin{eqnarray} ?\to0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\to(0,0) \end{eqnarray}$ , kannst du $\begin{eqnarray} f(x,y)\to0 \end{eqnarray}$ folgern. Und wie sollte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ auch gegen Unendlich gehen?
15.05.2013, 18:28	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Kann man das daraus folgern, weil das "?" eine konvergent Majorante ist?
15.05.2013, 18:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ja. Das ist der Dreifolgensatz bzw. das "Sandwichprinzip".
15.05.2013, 18:37	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ok. Und warum kann ich da nicht \| (\|x\|^(1/3))*y\| nehmen, weil man kann doch eigentlich sehen, dass das eine Nullfolge ist.
15.05.2013, 18:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Das sollst du ja auch...
15.05.2013, 18:44	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Was soll ich auch?
15.05.2013, 18:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Die von dir genannte Majorante (besser: obere Schranke) wählen, um die Konvergenz zu beweisen.
15.05.2013, 18:50	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Achso, dann darf ich \| (\|x\|^(1/3))y\| benutzen und muss dann zeigen, dass \| (\|x\|^(1/3))y\| gegen Null konvergiert für (x,y)-->(0,0) ??
15.05.2013, 18:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ja, das ganze musst du auch noch sauber aufschreiben.
15.05.2013, 18:56	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ja, muss man beim Aufschreiben auf irgendetwas besonderes achten?
15.05.2013, 18:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Darauf, dass alles Sinn ergibt...
15.05.2013, 19:06	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Ja, außer auf das ... hätte ja sein können, dass es da irgendwelche besonderen Schreibweisen (als die gewöhnlichen) gibt. Man kann ja nie wissen Und jetzt habe ich noch eine Frage zu den anderen Punkten, kann man das da auch mit einer oberen Schranke abschätzen?
15.05.2013, 19:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Die Stetigkeit in den anderen Punkten erhält man wegen der Stetigkeit von Kompositionen stetiger Funktionen.
15.05.2013, 19:13	Ilon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen Darf man das dann einfach so sagen? Gilt das auch bei Funktionen mit mehreren Variablen??

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