Induzierte Verteilung

15.05.2013, 20:31

auf-der-leitung

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Induzierte Verteilung

Meine Frage:
Hey Leute,

bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter:

Aus {1,...,n} wird zufällig eine k-elementige, ungeordnete Stichprobe $\begin{eqnarray*} \left\{ x_{1} ,..., x_{k}\right\} \end{eqnarray*}$ ohne Wiederholung gezogen. Geben Sie den zur Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} D(\left\{ x_{1} ,..., x_{k}\right\} ) := x_{(1)} - x_{(k)} \end{eqnarray*}$ gehörigen Bildraum an, und berechnen Sie die induzierte Verteilung.

Hinweis: Berechnen Sie zunächst $\begin{eqnarray*} P([x_{(1)}=x]\cap [x_{(k)}=y]), x<y, \end{eqnarray*}$ indem Sie {1,...,n} in die 3 Kategorien {x, y}, {x+1, ..., y-1} und den Rest aufteilen.

Meine Ideen:
So, für den Bildraum habe ich mir Folgendes überlegt: B := {min{ $\begin{eqnarray*} x_{(1)} - x_{(k)} \end{eqnarray*}$ }, ..., max{ $\begin{eqnarray*} x_{(1)} - x_{(k)} \end{eqnarray*}$ }}. Da n das größte $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ sein kann und 1 das kleinste habe ich für das Minimum (-n+1) und für das Maximum (n-1), also müsste meine Bildmenge {-n+1, -n+2, ..., n-2, n-1} sein (aber sicher bin ich mir da nicht, weil ich den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{(i)} \end{eqnarray*}$ nicht verstehe, was ist denn da eigentlich gemeint!?)

Wie die induzierte Verteilung berechnet werden soll, weiß ich auch nicht.

Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!
Alles Liebe,

auf-der-leitung

15.05.2013, 20:55

HAL 9000

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RE: Induzierte Verteilung
Nachfrage zu deiner Symbolik:

$\begin{eqnarray*} x_{(i)} \end{eqnarray*}$ soll wohl das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Element der (aufsteigend?) geordneten Stichprobe sein? verwirrt

verwirrt

15.05.2013, 21:02

auf-der-leitung

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RE: Induzierte Verteilung
Ich weiß es nicht, habe die Angabe genauso abgeschrieben wie sie auf meinem Zettel steht..

15.05.2013, 21:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von auf-der-leitung
Ich weiß es nicht, habe die Angabe genauso abgeschrieben wie sie auf meinem Zettel steht..

Ich finde diese Art Ausreden im Hochschulbereich wirklich beschämend: Muss man denn wirklich drauf aufmerksam machen, sowas dann im begleitenden Vorlesungstext (bzw. wo auch immer das vereinbart wurde) nachzuschauen? Bisschen mehr Selbständigkeit und Engagement, bitte! unglücklich

unglücklich

15.05.2013, 21:09

auf-der-leitung

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Wie recht du hast (sogar zweimal, denn deine These stimmt), das tut mir Leid!!
Heißt das, dass die Bildmenge stimmt?

15.05.2013, 21:15

HAL 9000

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Wenn es hier um die aufsteigend geordnete Stichprobe geht, so ist wegen des Ziehens ohne Wiederholung auf jeden Fall

$\begin{eqnarray*} 1\leq x_{(1)} < x_{(2)} < \ldots < x_{(k-1)} < x_{(k)} \leq n \end{eqnarray*}$

erfüllt. Die untere Grenze für $\begin{eqnarray*} x_{(1)}-x_{(k)} \end{eqnarray*}$ ist dann tatsächlich das von dir angegebene $\begin{eqnarray*} -n+1 \end{eqnarray*}$ , aber bei der oberen Grenze solltest du erheblich nachbessern.

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15.05.2013, 21:26

auf-der-leitung

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Oje, ich Hirni habe mich verschrieben bei der Angabe, es heißt D := $\begin{eqnarray*} x_{(k)} - x_{(1)} \end{eqnarray*}$ . Finger1

Finger1

Das müsste dann bedeuten dass meine Bildmenge eigentlich $\begin{eqnarray*} \left\{ k-1, ..., n-1\right\} \end{eqnarray*}$ ist.

15.05.2013, 21:30

HAL 9000

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Stimmt.

Freude

Zitat:

Original von auf-der-leitung
Hinweis: Berechnen Sie zunächst $\begin{eqnarray*} P([x_{(1)}=x]\cap [x_{(k)}=y]), x<y, \end{eqnarray*}$ indem Sie {1,...,n} in die 3 Kategorien {x, y}, {x+1, ..., y-1} und den Rest aufteilen.

Sehr guter Hinweis! Etwas präzisiert: Es wird insgesamt ja k-mal aus {1,..,n} gewählt, im hier günstigen Fall dann zweimal aus {x, y} und (k-2)-mal aus {x+1, ..., y-1}.

15.05.2013, 21:58

auf-der-leitung

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Heißt das, dass ich $\begin{eqnarray*} \frac{y-x}{n} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} P\left(\left[x_{(1)}=x\right] \cap \left[x_{(k)}=y\right] \right) \end{eqnarray*}$ annehme?
Oder bleibt mir für jede der Kategorien eine eigene Wahrscheinlichkeit, also für {x,y} je 0,5 und für {x+1,...,y-1} $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k-2} \end{eqnarray*}$ ?
Wie setzt man das denn zusammen?

15.05.2013, 22:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von auf-der-leitung
Heißt das, dass ich $\begin{eqnarray*} \frac{y-x}{n} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} P\left(\left[x_{(1)}=x\right] \cap \left[x_{(k)}=y\right] \right) \end{eqnarray*}$ annehme?

Erstaunt1

Ist mir rätselhaft, wie du nach diesem präzisen Hinweis auf diesen Wert kommst. Ich würde da eher

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{y-x-1}{k-2}}{\binom{n}{k}} \end{eqnarray*}$

herauslesen.

15.05.2013, 22:22

auf-der-leitung

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Also im Zähler stehen quasi die Kombinationsmöglichkeiten die sich zwischen x und y ergeben (?), doch wo kommt -1 her? Und ist das dann schon die induzierte Verteilung?

15.05.2013, 22:32

HAL 9000

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Es geht um einfachstes Zählen: Wieviel Elemente enthält die Menge {x+1, ..., y-1} ?

15.05.2013, 22:40

auf-der-leitung

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RE: Induzierte Verteilung
Sie hat die Mächtigkeit (y-x-1)!

Also das ist die eine Kategorie die für uns wichtig ist und aus der anderen müssen sowieso beide Elemente gezogen werden, das heißt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also 1, deshalb fällt es nicht ins Gewicht, nehme ich an.

Ist also $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} y-x-1 \\ k-2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ bereits die induzierte Verteilung?

15.05.2013, 22:47

HAL 9000

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Eine sehr naive Frage. unglücklich

unglücklich

Zwischenresümee: Wir sind jetzt bei

$\begin{eqnarray*} P([x_{(1)}=x]\cap [x_{(k)}=y]) = \frac{\displaystyle\binom{y-x-1}{k-2}}{\displaystyle\binom{n}{k}} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq x<y\leq n \end{eqnarray*}$ . Daraus ist jetzt die Verteilung von $\begin{eqnarray*} D:=x_{(k)}-x_{(1)} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

15.05.2013, 23:18

auf-der-leitung

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Also setze ich statt y $\begin{eqnarray*} x_{(k)} \end{eqnarray*}$ und statt x $\begin{eqnarray*} x_{(1)} \end{eqnarray*}$ ein?

Erstaunt2

Erstaunt2

15.05.2013, 23:32

HAL 9000

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Erstaunt1

Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(D=d) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} d\in\{k-1,\ldots,n-1\} \end{eqnarray*}$ . Zu gegebenen, festen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ muss man also die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P([x_{(1)}=x]\cap [x_{(k)}=y]) \end{eqnarray*}$ derjenigen Paare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ summieren, für die $\begin{eqnarray*} y-x=d \end{eqnarray*}$ gilt.

15.05.2013, 23:45

auf-der-leitung

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Also lautet meine Verteilung $\begin{eqnarray*} P(D=d) := \sum\limits_{(x,y): y-x=d} \frac{\begin{pmatrix} y-x-1 \\ k-2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ ?

16.05.2013, 07:44

HAL 9000

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Gewissermaßen ja - aber das solltest du bitteschön noch vereinfachen:

Der Summand ist nämlich konstant, daher musst du eigentlich nur noch zählen, wieviel Summanden diese Summe umfasst.

16.05.2013, 08:26

auf-der-leitung

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Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Summanden, also P(D=d) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y-x-1 \\ k-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

16.05.2013, 08:47

HAL 9000

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Das ist wirklich desaströs, was du hier ablieferst: Nichts., aber auch gar nichts haut hin. unglücklich

unglücklich

Es geht um die Anzahl der geordneten Paare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq x< y\leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y-x=d \end{eqnarray*}$ , und du antwortest mit $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ - tut mir leid, da muss ich dann nach bisher unendlicher Geduld aufgeben.

16.05.2013, 08:50

auf-der-leitung

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Tut mir leid, trotzdem danke für deine Hilfe!

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