Unterraum nachweisen

16.05.2013, 14:58

MatheNoobii

Unterraum nachweisen

Hallo, ich bräuchte Eure Hilfe bei dieser Aufgabe:

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} U := \{(a_n) \in \mathbb K^{\infty} | \exists_{N \in \mathbb N} \forall_{n \geq N} a_n = 0\} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen sind die Unterraumaxiome:

U1) Nullvektor enthalten
U2) Abgeschlossenheit bezüglich Addition
U3) Abgeschlossenheit bezüglich skalarer Multiplikation

bloß verstehe ich die Definition nicht ganz?

16.05.2013, 15:25

RavenOnJ

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Die Definition besagt, dass es sich um den Raum der endlichen Folgen handelt. http://de.wikipedia.org/wiki/Folgenraum

16.05.2013, 15:54

MatheNoobii

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U1) Wie funktioniert das mit dem Nullvektor? $\begin{eqnarray*} \exists_{N \in \mathbb N} \forall_{n \geq N}, n \end{eqnarray*}$ kann ja nicht $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ sein, oder?
U2) $\begin{eqnarray*} (a_n) \in \mathbb K^{\infty} , (b_n) \in \mathbb K^{\infty} \Rightarrow (a_n+b_n) \in \mathbb K^{\infty} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=0 , b_n=0 , a_n +b_n = 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$

U3) $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb K^{\infty} \Rightarrow \alpha \cdot (a_n) \in \mathbb K^{\infty} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=0, \alpha (a_n) = 0 , (\alpha a_n)= 0 \alpha \end{eqnarray*}$ ist beliebig wählbar.

$\begin{eqnarray*} U := \{(a_n) \in \mathbb K^{\infty} | \exists_{N \in \mathbb N} \forall_{n \geq N} a_n = 0\} \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 16:50

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MatheNoobii
U1) Wie funktioniert das mit dem Nullvektor? $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N \;\forall n \geq N, n \end{eqnarray*}$ kann ja nicht $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

(Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} N=0 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ .)
Warum nicht? Es muss sogar so sein, da die Folge, die nur aus Nullen besteht, das neutrale Element der Gruppe, d.h. der Nullvektor ist. Diese Folge ist natürlich auch in U.

Zitat:

U2) $\begin{eqnarray*} (a_n) \in \mathbb K^{\infty} , (b_n) \in \mathbb K^{\infty} \Rightarrow (a_n+b_n) \in \mathbb K^{\infty} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=0 , b_n=0 , a_n +b_n = 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$

Das würde ich etwas anders schreiben: Sei $\begin{eqnarray*} a_k = 0,\forall k\ge K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_m = 0,\forall m\ge M \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} \exists N = \max\{K,M\} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=0,\forall n\ge N\Rightarrow (a_n)+(b_n)\in U \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

U3) $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb K^{\infty} \Rightarrow \alpha \cdot (a_n) \in \mathbb K^{\infty} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=0, \alpha (a_n) = 0 , (\alpha a_n)= 0 \alpha \end{eqnarray*}$ ist beliebig wählbar.

Auch das würde ich anders schreiben:
$\begin{eqnarray*} (a_n)\in U\Leftrightarrow\exists N: \;\forall n\ge N: a_n=0\Rightarrow \alpha a_n = 0,\alpha\in K \Rightarrow \alpha (a_n)\in U \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 16:52

MatheNoobii

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Ja klar, aber N ist eine natürliche Zahl und die 0 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen. Irgendwas habe ich da noch nicht verstanden verwirrt

16.05.2013, 17:20

RavenOnJ

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Doch, die 0 gehört zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gemäß DIN-Norm 5473 Augenzwinkern

(https://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl).

Noch ein Link: http://www.mathematik.net/0-tabellen/zahlenbereiche.htm

16.05.2013, 17:24

Iorek

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Doch, die 0 gehört zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gemäß DIN-Norm 5473 Augenzwinkern

(https://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl).

Wobei eine Din-Norm oder eine Internetseite einen Dozenten natürlich nicht davon abhalten, sich $\begin{eqnarray*} \mathbb N=\{1,2,3,\dots\} \end{eqnarray*}$ zu definieren. Da sollte eher MatheNoobii einen Blick ins Skript statt die Din-Normen werfen um das zu klären. Augenzwinkern

16.05.2013, 17:29

RavenOnJ

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@Iorek
Da aber U Unterraum sein soll und dies nur funktioniert, wenn die 0 zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gehört, nehme ich an, dass das bei denen auch so definiert ist.

16.05.2013, 17:30

MatheNoobii

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Ah, wieder etwas gelernt, dachte man muss ein Null als Index setzen, aber okay, hatte mich nur verwirrt smile

16.05.2013, 17:33

Iorek

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@RavenOnJ, das stimmt natürlich, allerdings könnte die Aufgabenstellung fehlerhaft sein/fehlerhaft aufgeschrieben sein. Din-Normen sollten im Falle $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ für eine Mathevorlesung keine große Bedeutung haben, das Skript bzw. die eigene Vorlesungsmitschrift ist da eine verlässlichere Quelle.

16.05.2013, 17:35

Guppi12

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Warum soll das nur funktionieren wenn 0 in IN liegt?

Das funktioniert auch, wenn 0 nicht in IN liegt. Da liegt der 0 Vektor trotzdem mit drin.

16.05.2013, 18:53

RavenOnJ

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@Guppi
Du hast dann recht, wenn die Folge bei $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ beginnt. Wenn sie aber bei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beginnt - so nahm ich das an - und man implizit außerdem annimmt, dass in der Definition der Menge

$\begin{eqnarray*} U := \{(a_n) \in \mathbb K^{\infty} | \exists N \in \mathbb N\; \forall n \geq N :a_n = 0\} \end{eqnarray*}$

jeweils das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{N-1}\not= 0 \end{eqnarray*}$ sein soll, dann liegt die 0 eben gerade nicht drin, wenn die natürlichen Zahlen bei 1 beginnen. Letztendlich hängt es also an zwei Definitionen. Dies kann nur der Fragesteller beantworten.

16.05.2013, 18:59

Guppi12

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Ich sehe nicht, worin diese implizite Annahme begründet ist.
Aber ich würde es hier jetzt lieber gut sein lassen.

16.05.2013, 19:21

RavenOnJ

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@Guppi

Zitat:

Du würdest bei der Definition der Konvergenz einer Folge ja auch nicht annehmen, dass das gewählte n_0 immer minimal ist.

Da hast du natürlich recht. Also selbst, wenn die Folge bei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beginnt und die natürlichen Zahlen bei 1, darf trotzdem $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ sein und die 0 ist dann in U enthalten. Aber letztendlich hat diese Diskussion nichts mit der Aufgabe zu tun.

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