Sinus-Stapel

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W2 Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus-Stapel
Hallo zusammen,

bin neu hier, kein studierter Mathematiker.

habe unlängst (vor vier Jahren) aus Langeweile begonnen,
einer Aussage meines geschätzten Mathelehrers nachzugehen:

Zitat:
Es gibt keine f(x), deren Funktionsgraph die Sinuskurve darstellt.

(Herr Schäfer, Mathematiklehrer 80iger Gymnasium Poststraße/ Geschwisterscholl, Velbert)

Ich bin sicher, dass er recht hat.

In meinen eigenen geometrischen Basteleien habe ich entdeckt,
dass mir zumindest eine einfache Herleitung regelmäßiger Kreispunkte gelingt.

Ich arbeitete mit dem Einheitskreis im Koordinatensystem und verglich mathematisch die Koordinaten von Anfangwinkeln und Folgewinkel.

Es entstand eine Formel, eine Reihenberechnung (in Abhängigkeit von x).
die nach Aussage eines Fachkundigen wohl das Additionstheorem darstellt.

Zur eindeutigen Benennung von verwendeten Variabeln und zur Vermeidung von
zu häufigen Wurzeloperationen (da stöhnen immer die PC Mathematiker), schwenkte ich um zu a,b und c (statt x und y).

a,b und c aus :

...a²+b²=c²

(bei c=1)

Es geht also um die Berechnung von Folgekoordinaten (a und b (vgl. x und y) bei gegebenen Anfangswerten a(1) und b(1):

Additionstheorem:

a(1), b(1) gegeben (zwischen 0 und1 mit b=wurzel(1-a²))


(Hervorhebung)

a(n+1) = a(n)*a(1) - b(n)*b(1)
b(n+1) = a(n)*b(1) + b(n)*(a1)


Erste Frage?
Ist diese Vorgehensweise ein Teil des Cordic-Algos ?

Desweiteren hat sich bei geometrischen Betrachtungen gezeigt,
dass bei einem Winkeldreieck im Einheitskreis (Hypothenuse=c=1),
die Sehne zwischen (1/0) und (a/b) sehr hilfreich ist.

Bild aus externem Link als Anhang in Beitrag gestellt, externen Link gelöscht. Solche Links sind irgendwann nicht mehr da, und andere wollen das Bild später auch noch sehen. Ansonsten willkommen! Steffen

Die Steigung der Sehne ergibt sich aus b/(1-a).

Mit der Steigung der Sehne lassen sich allerdings alle Werte (a, b, m=b/a usw.)
Wurzel-frei herleiten.


(Hervorhebung)

a = (m(s)²-1) / (m(s)²+1)
b = 2*m(s) / (m(s)²+1)
m = 2*m(s) / (m(s)²-1)



Ich könnte also meine Anfangswerte a und b auch durch eine Anfangssteigung m(Sehne) festlegen.

Es fragt sich nun, ob es nach Symmetriebetrachtungen Erkennungsmerkmale für Anfangssteigungen gibt, die in Summe irgendwann 360° ergeben,
im Unterschied zu Anfansgsteigungen die "unpassende" Winkel ergeben.

Sofar, ...Gruß, W2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von W2
a(n+1) = a(n)*a(1) - b(n)*b(1)
b(n+1) = a(n)*b(1) + b(n)*(a1)

Die übliche "rechenarme" Rekursion für die auf dem Einheitskreis liegenden Punkte

.

Zitat:
Original von W2
Es fragt sich nun, ob es nach Symmetriebetrachtungen Erkennungsmerkmale für Anfangssteigungen gibt, die in Summe irgendwann 360° ergeben

Der zu

.

zugehörige Winkel muss ein Teiler von sein, damit man nach einem Umlauf wieder am Ausgangspunkt ankommt.



P.S.: Das hier

Zitat:
Es gibt keine f(x), deren Funktionsgraph die Sinuskurve darstellt.


ist übrigens ziemlich "daneben": Was auch immer du hier meinst bzw. zu meinen glaubst, es ist total verkorkst formuliert, so dass ich keine Ahnung habe, was du im Sinn hast. verwirrt
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt keine f(x), deren Funktionsgraph die Sinuskurve darstellt.

... ist übrigens ziemlich "daneben": Was auch immer du hier meinst bzw. zu meinen glaubst, es ist total verkorkst formuliert, so dass ich keine Ahnung habe, was du im Sinn hast. verwirrt


Den Satz hat mein Mathematiklehrer ausgesprochen:

Es gibt keine Funktion f(x), die als Funktionsgraph eine Sinuskurve darstellt.

@HAL 9000 (from ORIC1, Wink )
Um es zu erklären:

Aus Funktionen kann man Wertetabellen ableiten, Ergebniswerte für y, aus gegebenen x-Werten (oft so benannt).

Wenn man diese Werte als Punkte P(x/y) in ein Koordinatensystem einzeichnet, und diese Punkte verbindet,
dann erhält man einen Funktionsgraphen. ;- )

Die oben erwähnte Iteration (Additionstheorem als Reihenberechnung) erzeugt tatsächlich eine Sinuskurve,
allerdings nicht in Abhängigkeit von der "x-Achse" im Koordinatensystem.
(Diese steht eher für die Reihe n).

Ich weiß hier ist "Geometrie" nicht "Winkelfunktionen",
insofern ist die Frage nach dem Cordic-Algo hier vielleicht falsch,
... habe sie hier gepostet, da ich die Sache geometrisch angegangen bin.

Danke Steffen...

Später mehr

Gruß W2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein einziges Wort von dem, was du eben gesagt hast, lässt mich auch nur einen Millimeter von meiner Einschätzung deines (vermeintlichen) Lehrerzitats zurücknehmen. Wenn du nicht voll dahinterstehst, dann zitier es nicht immer wieder - wenn aber doch, dann erkläre mal vernünftig, was das soll:

Denn selbstverständlich gibt es eine Funktion f(x), deren Funktionsgraph die Sinuskurve darstellt: Nämlich . Augenzwinkern
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...

Zitat:
Denn selbstverständlich gibt es eine Funktion f(x), deren Funktionsgraph die Sinuskurve darstellt: Nämlich


Was ist den die Funktion sin(x).

Ich bin kein Studierter, aber soweit ich weiß, steckt hinter sin(x) eine Rechenroutine/ "Programmschleife" für Taschenrechner etc.

In diesen Rechenroutinen kommt der von mir angesprochene Cordic-Algorithmus zur Anwendung.

Eine Rechenroutine muss aber noch lange keine Funktion f(x) nach mathematischer Defeinition sein.

So weit ich das verstanden habe bildet bei einer Funktion (für ein 2D Diagramm), die eine Achse die Grundlage zur Ableitung der Werte der anderen Achse.
So entsehen Parabel Hyperbel usw. wobei die y-Werte mit den x-Werten berechnet werden.

Eben dies gelingt bei der Sinuskurve nicht, hier stellt die x-Achse den Verlauf der Reihenberechnung dar: für n = 0 - oo, und mit Hilfe der y-Achse kann man die Cosinus- oder den Sinuskurven darstellen.

Die y-Werte für diese Kurven errechnen sich aber nicht aus der x-Achse.
sie entstehen in einer eigenständigen Berechnung (Additionstheorem).

Ich habe ein Bild diesmal als Anhang hinzu gefügt, hoffe es erscheint an dieser Stelle im Text, nicht erst am Ende.



Schlusssatz:
Nach eben diesem Cordic-Algo richtete sich meine Frage
Ich habe ihn natürlich vorher recherchiert, aber nicht ganz verstanden, und frage nun hier, ob in ihm das Additionstheorem (Neben Halbieren/ Verdoppeln usw.) angewandt wird ?

Sofar forfirst

Gruß W2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sieht so aus, als siehst du den Begiff "Funktion" einengend auf reelle Funktionen, die mit einem endlichen Ausdruck nur unter Benutzung der vier Grundrechenarten +-*/ auskommen? Dazu muss man kein "Studierter" sein um zu wissen, dass das eine sehr unübliche Sichtweise ist - das wird auch an Gymnasien bereits gelehrt. Augenzwinkern

Also bemühe dich mal um übliche mathematische Sprachweise (die NICHT erst auf der Uni gelehrt wird). Es nimmt dich keiner ernst, wenn du beständig mathematische Grundbegriffe abseits ihrer Bedeutung verwendet.

Zitat:
Original von W2
Ich habe ihn natürlich vorher recherchiert, aber nicht ganz verstanden, und frage nun hier, ob in ihm das Additionstheorem (Neben Halbieren/ Verdoppeln usw.) angewandt wird ?

Ja klar, die für die Summe:

.




EDIT: Zum Nachlesen, was "Funktion" bedeutet:

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29
 
 
Chico_Tobi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich mal frech einmischen darf...

@HAL9000:
Ich glaube, W2 ist verblüfft darüber, dass er beim Plot der Iterierten a(n) b(n) bereits eine Sinus/Cosinuskurve bekommt. Das liegt natürlich daran, dass er ja mit der hauptformel im algo auf echten Sinuswerten läuft, allerdings ist das ja nicht das Ziel des CORDIC-Algorithmus. Der würde ja nach Überschreiten des gewünschten Winkels wieder zurückwandern und schließlich konvergieren. Wenn man allerdings den Startwinkel klein genug wählt (in seinem Fall pi/10 oder so) und dann einfach nur blöd vorwärts iteriert, kann man beide folgen in n auf der x-achse auftragen, und den folgenwert auf die y-achse. die verbindung beider ergibt natürlich null sinn, aber bildet dann ziemlich schön eine sinus/cosinus-kurve ab!

edit: achso, ja genau, das ist auch sein problem, wenn er sagt "auf der x-achse wird ja n aufgetragen und nicht x". das stimmt, deswegen ist dieser eine plot ja am ende nur für EINEN EINZIGEN funktionswert (x/sin(x)) und (x/cos(x)) verantwortlich. die iteration dorthin zu plotten ist eigtl nicht im sinne des erfinders.

@W2:
Wenn du den CORDIC-Algorithmus komplett implementierst, wirst du erkennen, dass deine Iterierten irgendwann (d.h. für hohe n) zu einem Wert konvergieren, das heißt, die lila und die dunkelblaue kurve werden "waagrecht". dieser grenzwert ist dann der gesucht cosinus bzw. sinus-wert. bisher rechnest du einfach nur stumpf, aber korrekt sin(pi/10), sin(2*pi/10), sin(3*pi/10), sin(4*pi/10), sin(5*pi/10) usw. aus... das ist ja nicht der Sinn!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chico_Tobi
Wenn ich mich mal frech einmischen darf...

Ich kann daran nichts freches erkennen - es ist im Gegenteil zu begrüßen, wenn sich Leute äußern, die sich besser in die Gedankenwelt von W2 hineinversetzen können. Augenzwinkern


EDIT: Offenbar scheint er dich aber genauso zu ignorieren wie mich, wie sein überflüssigerweise eröffneter Doppelpost

Quadratur des Kreises: Versuch mit Sehne

beweist. Damit "habe ich fertig". Finger2
Chico_Tobi Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal schnell CORDIC programmiert.

Links die Iteration, rechts der darausfolgende EINZIGE Punkt im (x/sin(x)) bzw. (x/cos(x)) Diagramm. Winkel beta=1.2

Matlab-Code:

subplot(1,2,1)
beta = 1.2;
[sinbeta, cosbeta] = cordic(beta);
subplot(1,2,2)
plot(beta,[sinbeta cosbeta],'o');
axis([0,pi,-1,2]);

function [cosbeta, sinbeta] = cordic(beta)

%init
itSz = 20;
v = [1;0];
%K = 0.6072529350088812561694;

%calc
v_debug = v;
for i=0:itSz
sig = sign(beta);
gam = atan(power(2,-i));
v = 1/sqrt(1+power(2,-2*i))*[1,-sig*power(2,-i);sig*power(2,-i),1]*v;
beta = beta - sig*gam;
v_debug = [v_debug v];
end

%post
%v = K * v;
v_debug = [v_debug v];
cosbeta = v(1);
sinbeta = v(2);

plot(v_debug','o-');
axis([1 25 -1 2]);

end
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir Chico_Tobi,

Zitat:
Ich glaube, W2 ist verblüfft darüber, dass er beim Plot der Iterierten a(n) b(n) bereits eine Sinus/Cosinuskurve bekommt.


, ich bin keineswegs verblüfft, denn ich habe mir die Werte und deren Herleitung als Gelegenheits-Kleinmathematiker selber hergeleitet, und daruf bin ich ein wenig stolz.

Ich habe diese Werte ertwartet !

Wie HAL9000 erwähnt, scheint es einen Unterschied zu geben zwischen "reellen Funktionen" und anderen.
An dieser Stelle erklärt sich die zitierte Aussage meines Mathe-Lehrers,
da wir wahrscheinlich beim Thema "reelle Funktionen" waren.

Aber warum ist HAL9000 so empfindlich, .. ich habe mal gehört dass es Foren-User geben soll, die Foren nutzen um persönlichen Frust zu kompensieren,
indem sie nur darauf warten, dass jemand was "Falsches" sagt, um dann auszuteilen.

So einer isser nich, nich beim Nick-Name.

Wahrscheinlich sind auch geringfüge Abweichungen von gewohnter Nomenklatur so schlimm, dass selbst die Gabe, eigener mathematischer Herzuleitungen, so etwas nicht wieder gut machen können.
(Ramanujan hätte wenig Chancen gehabt)

Ich selber verwende bloß Mathematik aus der Talsohle und bemühe um mich die richtige Sprache, allerdings gab's in meiner Talsohle bisher noch keine anderen Funktionen, als reelle (+ Reihenberechnung).

Ich habe am PC versucht selber Sinuswerte zu generieren, ohne die implementierte Sinufunktion zu verwenden (noch zu kennen), ... was mir gelungen ist.

Ich habe nicht versucht den Cordic-Algo selber herzuleiten, ich habe lediglich erfahren, dass er in Taschenrechnern (usw) zur Sinusberechnung "in einem geschickten Verfahren" zur Anwendung kommt.

Insofern ging es mir auch nicht darum Grenzwerte zu generieren,
sondern tatsächlich um die platte Berechnung von regelmäßigen Kreispunkten.


@HAL9000

Zitat:
EDIT: Offenbar scheint er dich aber genauso zu ignorieren wie mich, wie sein überflüssigerweise eröffneter Doppelpost

Quadratur des Kreises: Versuch mit Sehne


.. wie kann ich jemanden ignorieren, dessen Beitrag ich noch nicht entdeckt habe?
was ist los mit dir ? warum so draufhauend ?

Mein neuer Beitrag macht durchaus Sinn, denn dort geht es weniger um das Additionstheorem und er bewegt sich aus der Schulmathe-Ecke heraus.
(Ich glaube Cordic gehört nicht unbedingt hierher)

... also lassen wir die Zankereien und ich gehe weiterhin ernsthaft davon aus,
das der Vergleich HAL9000 zu ORIC1 (CPU6502) unseren matehmatischen Hintergünden vegleichbar ist.

Ich bin der Anfänger (aber nur in Mathe).

Ach, eine Frage noch, wie lade ich hier ein Profilbild hoch,
ich hab's unter Profileinstellungen nicht gefunden?.

Gruß W2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich habe gehört, dass Leute in Foren episch breit erzählen was sie so tun, irgendwo zwischendurch eine Frage verstecken. Und wenn andere sich da mühsam durch diesen >Roman kämpfen, diese Frage sogar beantworten, dann wird diese Antwort ignoriert und sogar mit persönlichen Angriffen reagiert. Viel Spaß noch mit deinem Stil. unglücklich

Zitat:
Original von W2
Wahrscheinlich sind auch geringfüge Abweichungen von gewohnter Nomenklatur so schlimm, dass selbst die Gabe, eigener mathematischer Herzuleitungen, so etwas nicht wieder gut machen können.
(Ramanujan hätte wenig Chancen gehabt)

Aha: Kategorie selbsternanntes verkanntes Genie, was sich alles leisten darf. Davon sind hier ins Board schon einige gekommen - und rasch auch auf Nimmerwiedersehen gegangen.
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Mann haut der drauf,

Hallo HAL9000 habe deinen Link mal näher betrachtet:

Zitat:

EDIT: Zum Nachlesen, was "Funktion" bedeutet:

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29


Ich zitiere aus wiki (mit H textl. Hervorhebungsmile

Zitat:
In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.


hm ... das scheint doch ganz meiner Vorstellung von math. Definition einer Funktion f(x) zu entsprechen.

Lass uns zu geruhsamer Tagesordnung übergehen, ich sags noch mal,
ich bin bloß Talsohlen-Gelegenheitsmathematiker mit Spass an der Sache.

bdmxt

W2
Chico_Tobi Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte lies dir den Wikipedia-Artikel zu "Reihe (Mathematik)" durch und verwende den Begriff nie wieder falsch. Bitte kauf dir jeweils ein Buch zur Analysis und ein Buch zur linearen Algebra. Achte auf Grammatik und Rechtschreibung. Das hier ist kein Chat, sondern ein Forum. Gliedere deine Absätze logisch. Weniger Adjektive, mehr Inhalt. Bescheidenheit ist ein Zier.

Ramanujan hat sich nach einiger Zeit ebenso der gängigen Nomenklatur bedient; das Preisgeld der Fields-Medaille deckt sicherlich die Bücherkosten.

Zitat:
Eben dies gelingt bei der Sinuskurve nicht, hier stellt die x-Achse den Verlauf der Reihenberechnung dar: für n = 0 - oo, und mit Hilfe der y-Achse kann man die Cosinus- oder den Sinuskurven darstellen.


Falsch, dein Bild stellt die Funktion bzw. mit dar. Die Striche dazwischen sind vmtl. die lineare Interpolation eines Tabellenkalkulationsprogrammes. Mit welcher Software entstand das Bild? Kannst du bitte den Quelltext d.h. die Zellformeln zu Berechnung posten? Woher hast du die Werte und ?
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chico_Tobi,

... was hab ich denn jetzt wieder verbrochen ?

Welchen Begriff darf ich "nie wieder falsch verwenden" "Funktion" oder "Reihenberechnung", oder wie?

Die beiden Bücher werd' ich mir vorknöpfen.

Also kurz:

Software: MS Excell
Quellcode/ Formelansicht f. d, Folgewinkel:

a(n+1) = a(n) * a(1) -- b(n) * b(1)
b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Anfangswerte a(1), b(1) mit MS Excell-Funktion für sin/cos festgelegt
(=Pi/10 nicht Pi/5, => 20 Werte, das funktioniert für jede beliebige Anzahl an Werten)

Die Startwerte kann ich dir allerdings auch per eigener Näherung bzw. per eigener Iteration berechnen.

Ich kann halt eher selbst erarbeitete Herleitung gefährlich falsch formulieren,
als Erlerntes korrekt rezitieren.

Wünsche fromme Pfingsttage

Gruß W2
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