Abstand Gerade - Ebene (Parameterform)

17.05.2013, 19:12

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

Abstand Gerade - Ebene (Parameterform)

Hallo,

wir haben von unserem Mathelehrer eine Formelsammlung bekommen, in der auch eine Formel zur Abstandsberechnung
Dort steht für eine Ebene in Parameterform:

" $\begin{eqnarray*} E:\vec{r}(\lambda, \gamma) = \vec{r}_{1} + \lambda \vec{a} + \gamma \vec{b} \end{eqnarray*}$ dafür ist $\begin{eqnarray*} \vec{r}_{1} \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor des Punktes $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ "

die Gerade ist so " $\begin{eqnarray*} g:\vec{r}_{1}(\lambda) = \vec{r}_{1} + \lambda\vec{a} \end{eqnarray*}$

Für die Abstandsberchnung steht dann diese Formel

$\begin{eqnarray*} d =\frac{|\vec{n}*(\vec{r}_{1} - \vec{r}_{0})|}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

Wie man den $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ bildet ist klaro. Das $\begin{eqnarray*} \vec{r}_{1} \end{eqnarray*}$ ist auch einfach von der Ebene in die Formel von d zu übertragen. Aber was ist mit diesem $\begin{eqnarray*} \vec{r}_{0} \end{eqnarray*}$ ?? verwirrt

verwirrt

Das steht ja auch in dieser Abstandsformel.

Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann smile

smile

17.05.2013, 19:28

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ein Fehler in der Formelsammlung.
$\begin{eqnarray*} \vec{r}_{0} \end{eqnarray*}$ müsste jedenfalls der Ortsvektor zu einem Punkt der Ebene sein.
$\begin{eqnarray*} \vec{r}_{1} \end{eqnarray*}$ sowohl bei der Ebene als auch bei der Gerade als Stützvektor zu benutzen, ist natürlich sinnlos.
Bei der Ebene sollte statt $\begin{eqnarray*} \vec{r}_{1} \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} \vec{r}_{0} \end{eqnarray*}$ hin.

17.05.2013, 19:45

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

danke Bjoern für die Antwort.

Oder vllt verallgemeinert gefragt: Wie lautet denn die Formel, wenn eine Gerade und eine Ebene in Parameterform gegeben ist?

Den Abstand berechnen OHNE die Parameterform in eine andere Ebenenform um wandeln zu müssen

17.05.2013, 20:11

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie lautet denn die Formel, wenn eine Gerade und eine Ebene in Parameterform gegeben ist?

Naja eben so wie sie oben steht, nur mit meiner erwähnten Änderung.

17.05.2013, 20:46

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok als Beispiel habe ich gegeben:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d =\frac{|\vec{n}*(\vec{r}_{1} - \vec{r}_{0})|}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d =\frac{|{\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}}*(\vec{r} - \vec{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}})|}{|{\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}}|} \end{eqnarray*}$

Ich komm nicht wirklich weiter
Bjoern1982 sag was .. traurig

traurig

Was würdest du oder jemand anderes von euch da jetzt noch hinschreiben?

17.05.2013, 21:00

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja r1 ist halt der Stützvektor der Geraden.

Anzeige

17.05.2013, 21:15

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt muss es aber stimmen !!!

$\begin{eqnarray*} d =\frac{|{\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}}*({\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} } - {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}})|}{|{\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}}|} \end{eqnarray*}$ böse

böse

Und...?? Wie siehts aus?

18.05.2013, 00:24

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist - von der Angabe her - sinnlos. Was soll denn eine Abstandsberechnung bringen, wenn die Gerade Bestandteil der Ebene ist?

Hast du nun d ausgerechnet?

Einen Abstand Ebene und Gerade kann man nur dann sinnvoll bestimmen, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist. In diesem Fall genügt zur Abstandsbestimmung ein beliebiger Punkt der Geraden.

Die von dir angegebene Formel betrifft den Abstand eines Punktes von einer Ebene, deren Gleichung in Normalvektorform gegeben ist.
r1 .. Koordinaten des Punktes, für den der Abstand bestimmt werden soll
r0 .. Koordinaten eines beliebigen Punktes (vorzugsweise des Stützpunktes) der Ebene

Insoferne ist auch dein erster Post in diesem Thread vollkommen sinnlos bzw. sind die Voraussetzungen falsch abgeschrieben. Dort liegt die Gerade in der Ebene, weil sie einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor mit ihr gemeinsam hat. Ausserdem darf in zwei verschiedenen Gleichungen NICHT der gleiche Parameter aufscheinen.

In deinem (zweiten) Zahlenbeispiel sind die Richtungsvektoren (zwei der Ebene und jener der Geraden) linear abhängig und haben daher einen gemeinsamen Normalvektor. Dieser lautet (1; 1; 1) und ist gleichbedeutend mit deinem Ergebnis (-4; -4; -4). Beachte, dass Richtungs- und Normalvektoren entsprechend abgekürzt werden können und sollen, damit die Rechnung einfacher und übersichtlicher wird.
Der Stützpunkt der Geraden liegt jedoch ebenfalls in der Ebene und somit kann der Abstand nur 0 sein.
Nun, nochmals die Frage, welches Resultat liefert dir d?

mY+

18.05.2013, 14:00

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Ergebnis erhalte ich für d = 6,928.

Wenn das falsch ist..was erhälst du dann mythos und wie hast du es denn dann gerechnet ????????
Kannst du mir das bitte in Zahlen ausdrücken????

Ansonsten weiss ich echt nicht weiter!!!!!!!!!!

19.05.2013, 00:13

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte Null. WIE bist du zu deinem Resultat gekommen?

Weil bereits der Zähler Null ist, muss der Nenner gar nicht mehr berechnet werden.
Zähler: Skalarprodukt: (- 4)*0 + (- 4)*4 + (- 4)*(- 4)

Das Ergebnis Null ist auch klar, weil, wie schon dargelegt, die Gerade IN der Ebene liegt.

Auf meine anderen Argumente über die Sinnhaftigkeit der Angabe und die Erklärung der Formel bist du mit keinem Wort eingegangen. Das finde ich weniger gut.

mY+

19.05.2013, 13:58

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mythos

ich fass es am Besten kurz:
Ich bin so gut wie ein kleines bisschen von meiner Fragestellung weitergekommen.

Nochmal kurz und knapp:

Kann mir jemand bitte die allgemeine Formel geben, wie man den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene die in PARAMETERFORM gegeben ist, berechnet???
Den Abstand zu berechnen OHNE die Ebene in Parameterform in Koordinatenform oder Normalenform um zu ändern.

Ich habe im Internet alles durchstöbert...aber finde ich nur Ebenen, die entweder in Normalen-, oder Koordinatenform gegeben ist.

Wenn dann eine Ebene in Parameterform gegeben ist, wurde die dann auf der Internetseite wieder in einer der oben erwähnt Form umgeändert.

Ich wäre sehr dankbar dafür, wenn mir jemand bitte die Formel geben kann!!!!!!!

Danke!

19.05.2013, 14:35

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gucksi
...
Kann mir jemand bitte die allgemeine Formel geben, wie man den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene die in PARAMETERFORM gegeben ist, berechnet???
...

Du bist leider beratungsresistent bzw. hast du meine Antwort nicht genau gelesen.
Einen Abstand einer Geraden von einer Ebene zu bestimmen, ist nur bei besonderer Lage möglich, im Allgemeinen ist diese Fragestellung unsinnig.

mY+

19.05.2013, 15:59

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir noch einen letzten Versuch:
Ich habe hier eine Internetseite gefunden, in der eine Ebene in Parameterform und eine Gerade gegeben ist. Das ist die Aufgabe 6). Als Ergebnis steht schon da neben, dass die Gerade und die Ebene parallel sind.

Dann haben wir das schonmal abgehakt und vertrauen denen mal, dass diese Lagebeziehung stimmt.b

Wenn ja die Gerade und die Ebene parallel sind muss ich ja den Abstand zwischen denen berechnen.

Wenn ich jetzt in der Prüfung sitzen würde, würde ich an dieser Stelle mit der Abstandsberechnung nicht weiterkommen!

Weil ich nicht weiss, wie ich das berechnen muss, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist.

Wenn die Ebene in Normalenform oder Koordinatenform gegeben wäre, hätte ich kein Problem den Abstand zu berechnen.

Was muss ich aber in diesem Beispiel Aufgabe 6) auf mein Blatt Papier schreiben, um den Abstand zwischen dieser Gerade und Ebene zu berechnen OHNE die Ebene in eine andere Form(Normalen-oder Koordinatenform) um zuändern.

Ich wäre dir/euch sehr dankbar, wenn wir gemeinsam den Abstand dieser Aufgabe berechnen könnten, ohne die Ebene in Parameterform in eine andere Form um zuändern. (Ich möchte nur ein Beispiel in dieser Form zu meinen anderen Aufgabensammlung mit dazu heften).

http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/ag/lb/lb_ge_kt.pdf

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.05.2013, 01:56

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird zusehends schwierig, wenn du nicht auf das eingehst, was immer auch versucht wird, dir nahe zu bringen!
Was du brauchst, wurde dir bereits vermittelt, es sei nochmals wiederholt:

Zitat:

Original von mYthos
...
Einen Abstand Ebene und Gerade kann man nur dann sinnvoll bestimmen, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist. In diesem Fall genügt zur Abstandsbestimmung ein beliebiger Punkt der Geraden.
...

Also, nimm einen Punkt der Geraden und berechne von diesem den Normalabstand zur Ebene. Und wie das geht, konntest du auch schon lesen:

Zitat:

Original von mYthos
...
Die von dir angegebene Formel betrifft den Abstand eines Punktes von einer Ebene, deren Gleichung in Normalvektorform gegeben ist.
r1 .. Koordinaten des Punktes, für den der Abstand bestimmt werden soll
r0 .. Koordinaten eines beliebigen Punktes (vorzugsweise des Stützpunktes) der Ebene
...

Vertrauen ist gut, Kontrolle besser.
Auch die Begründung der Tatsache, dass die Gerade und Ebene parallel sind, wurde dir geliefert: Der Geradenvektor (Richtungsvektor) und die beiden Richtungsvektoren der Ebene sind komplanar (linear abhängig, d.h. parallel zu einer Ebene), sie haben daher alle einen gemeinsamen Normalvektor.

So. Was also soll ich dir noch sagen, ohne das Beispiel zu rechnen, was eigentlich deine Agenda sein sollte?
Gut, also verwende diese Formel:

$\begin{eqnarray*} d =\frac{|\vec{n}*(\vec{r}_{1} - \vec{r}_{0})|}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

Den Normalvektor kannst du ja schon bestimmen.

r1 .. Koordinaten des Punktes, für den der Abstand bestimmt werden soll; --> (1; 2; -3)
r0 .. Koordinaten eines beliebigen Punktes (vorzugsweise des Stützpunktes) der Ebene; --> (2; 1; -3)

Aber jetzt muss es kesseln! Big Laugh

Big Laugh

mY+

20.05.2013, 22:07

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mythos... es tut mir leid, aber ich habe es leider immer nocht nicht verstanden .......... unglücklich

unglücklich

.......... wie du es geschafft hast, es solange durch zuhalten und mir es immer wieder neu erklärt hast Big Laugh

Big Laugh

Als Dankeschön dafür bekommst du von mir ein Küsschen Mit Zunge

Mit Zunge

.

So - kommen wir jetzt wieder zu den Fakten, denn ich brauch nur noch eine Bestätigung von dir, dass mein Ergebnis richtig ist.
d = $\begin{eqnarray*} \frac{|\begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}*(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix})|}{|\begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$

d = $\begin{eqnarray*} \frac{|\begin{pmatrix} -5 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|}{\sqrt{50}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = \frac{6}{\sqrt{50}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt von dir als Bestätigung, dass das Ergebnis richtig ist, ein "Ja" bekomme, gebe ich dir als Dankeschön einen aus Prost

Prost

21.05.2013, 00:50

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön für das Küsschen! Herz

Herz

So weit stimmt es schon mal, bis auf die letzte Zeile, da hast du dich mit dem Skalarprodukt vertan: Die 6 stimmen also nicht (wie kommst du auf dies?).

Wenn du das dann gecheckt hast, steht dem Umtrunk nichts mehr im Wege Big Laugh

Big Laugh

mY+

21.05.2013, 15:59

gucksi

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Tastatur hat die Zahlen 1 und 6 ausversehen vertauscht.

Da kommt natürlich $\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{\sqrt{50}} \end{eqnarray*}$ hin

prost Prost

Prost

21.05.2013, 16:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann!

Prost

mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »