abgeschlossenheit von R

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mannixy Auf diesen Beitrag antworten »
abgeschlossenheit von R
Meine Frage:
mir ist bekannt, dass die reellen zahlen abgeschlossen (und offen) sind. ich solls über das folgenkriterium der Abgeschlossenheit zeigen.



Meine Ideen:
sei also konvergente folge,

d.h. für bel. ex.

ang.

wie kann ich das zu einem widerspruch führen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Abgeschlossen bezüglich IC ?
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

weiß ich leider nicht bzgl. was
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Auf solch elementarer Ebene ist ein Widerspruchsbeweis bei Konvergenz oft schwierig, da man nicht so viel hat, was man zum Widerspruch bringen kann – bildlich gesprochen.
Ich weiß auch nicht, ob es an dieser Stelle einen erfolgreichen Ansatz in diese Richtung gibt.


An deiner Stelle würde ich die Abgeschlossenheit eher mit den Rationalen Zahlen und deren Dichtheit in R zeigen, da dies ja eine gängige Art ist, die reellen Zahlen zu definieren. Wie gesagt, viel hat man oft bei elementaren Sachen noch nicht zur Verfügung.

Edit: @Guppi, was ist "IC"?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss bitte jemand anderes übernehmen. Ich weiß nicht, was die Konvention ist, wenn nichts dabei steht. Tut mir Leid.

Edit: @chrizke:
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht genau, wie du die Dichtheit der rationalen zahlen in den reellen zahlen verwenden würdest, um mit dem folgenkriterium der Abgeschlossenheit die Abgeschlossenheit der reellen zahlen zu folgern.

denn die aufgabe sieht ja vor, dass man das folgenkriterium verwendet.

---anders gefragt:---

ich muss mir doch eine beliebige konvergente folge in den reellen zahlen hernehmen und zeigen, dass deren grenzwert (a genannt) ebenfalls reell ist. und dafür kann man jetzt also die Dichtheit der rationalen zahlen benützen?
 
 
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also man kann die eine Definition der Dichtheit ausnutzen, die besagt, dass der . Damit wäre es direkt erledigt.

Du sollst ja aber nun das Folgenkriterium benutzen. Schlag doch nochmal in deinen Unterlagen nach, wie man von den Rationalen Zahlen zu den reellen kommt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist: Worin soll abgeschlossen sein?

So wie die Fragesteller es formuliert hat (er hat gesagt, wäre auch offen), geht es um die Abgeschlossenheit von in .

Und was das angeht, ist einfach gar nichts zu zeigen. Völlig egal ob Folgekriterium oder irgendwas anderes...

Denn das Folgenkriterium besagt ja: ist abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder Folge in , die in konvergiert, schon in liegt.

Für ist das nunmal eine leere Bedingung...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Hier verwechseln wohl einige Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal dankeschön für eure vielen Antworten!

Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, worin abgeschlossen sein soll; die Aufgabenstellung gibt diese Info nicht her, denn da heißt es schlicht und einfach:

"Zeigen Sie die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen mittels des Folgenkriteriums der Abgeschlossenheit."


----
@chrizke
Ich sehe noch immer nicht so recht, wozu ich brauche bzw. wieso es damit direkt erledigt ist.

@tmo
Ja, wenn wirklich die Abgeschlossenheit von in gemeint sein sollte, kann ich Dir folgen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Falls die Zusatzbemerkung "(und offen)" nicht aus der Aufgabenstellung, sondern von dir kommt, könnte zB auch die Abgeschlossenheit bzgl. gemeint sein. (Falls es noch etwas anderes sein sollte, MUSS es dabei stehen).

Du könntest ja einfach beide Möglichkeiten zeigen. bzgl IR ists ja wirklich ein Einzeiler.

Bzgl. IC aber eigentlich auch. Nimm an, deine Folge konvergiert nicht gegen ein Element aus IR, dann ist der Imaginärteil des Grenzwerts ungleich 0. Daraus kann man mit Hilfe der Definition der Folgenkonvergenz sehr leicht zeigen, dass die Folge dann irgendwann auch die reelle Zahlengerade verlassen muss und die Folge somit nicht nur reelle Folgenglieder hat.

Das kannst du beides zusammen in einer halben Seite abhaken.

edit: Bezüglich des Tipps von chrizke liefert vielleicht RavenOnJ die Antwort, wozu das gut sein sollte.
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Guppi12!

Okay, du hast Recht, bevor ich mir stundenlang Gedanken darüber mache, was nun gemeint sein könnte, gehe ich einfach davon aus, dass man entweder (i) Abgeschlossenheit in den reellen Zahlen oder (ii) Abgeschlossenheit in den komplexen Zahlen meint.

(i): Da hat ja tmo schon die Argumentation mit Folgenkriterium hingeschrieben und es handelt sich wirklich um eine "leere Behauptung".

(ii): Ich versuch es mal hinzuschreiben:

Sei konv. Folge mit
Ang.

D.h. a ist von der Form

Nun gilt ja wegen der Konvergenz der Folge, dass es für beliebiges ein gibt, s.d. .

In Worten bedeutet das ja, dass man der komplexen Zahl a beliebig nahe kommt, sofern man wählt. Wählt man das extrem klein, befindet man sich bei Folgengliedern nicht mehr auf der reellen Achse, sondern eben in einer -Umgebung der komplexen Zahl a. Und das ist ein Widerspruch, da die Folgenglieder alle als reell angenommen waren.
---

Kann man das so stehen lassen oder muss ich an irgendeiner Stelle noch präziser werden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist im Prinzip natürlich genau das, was man zeigen muss.
Ich würde aber an dieser Stelle hier:

Zitat:
Wählt man das extrem klein, befindet man sich bei Folgengliedern nicht mehr auf der reellen Achse, sondern eben in einer -Umgebung der komplexen Zahl a. Und das ist ein Widerspruch, da die Folgenglieder alle als reell angenommen waren.


schon ein bisschen präziser werden. Denn die epsilon-Umgebung könnte die reelle Zahlengerade ja noch schneiden. Du musst schon ein Epsilon angeben und mit diesem zeigen, dass das dann nicht mehr so sein kann.

Du weißt, . Dann kannst du o.B.d.A annehmen.
Wenn du dann setzt, kannst du ganz formal zeigen, dass die Epsilonumgebung von a keine reellen Zahlen mehr enthält.

Benutze dafür die Definition der Epsikon-Umgebung und, dass immer |Im(xn-x)| <= |xn-x| gilt.
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann schreibe ich es so um.

[...]

Wähle .

Nach Annahme der Konvergenz muss es Folgenglieder geben, die in der Epsilon-Umgebung von a liegen.

WIDERSPRUCH dazu, dass alle Folgenglieder reell sind.
Guppi1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das ist noch zu unformal.

Schreib lieber etwas wie:

|Im(a) - Im(xn)| = | Im(a-xn) | <= |a-xn| < Im(a)

Das ist ein Widerspruch zu Im(xn) =0
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dein Edit zu spät gesehen. Big Laugh
Also sei (o.B.d.A.) und , dann:





für bel.

Widerspruch zur ang. Konvergenz


So hoffentlich besser^^
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr führt die Folgenabgeschlossenheit hier wieder auf die Offenheit des Komplements zurück...
Wenn ihr unbedingt dieser Interpretation der Aufgabe nachgehen wollt:
Ist eine Folge konvergent in , so ist sie Cauchy-Folge in .
Ist die Folge aber reell, so ist sie auch Cauchy-Folge in und damit konvergent in .


Ich vermute aber stark, dass Abgeschlossenheit und Offenheit hier nur in über offene Kugeln definiert wurden, ohne dass die Theorie metrischer Räume benutzt wurde.
D.h. "abgeschlossen" ist als "abgeschlossen in bezüglich der Standardmetrik" zu verstehen.

Dazu hat tmo eigentlich alles gesagt.
Guppi1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist viel besser.
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, was man benutzt hat, ist ja die Offenheit des Komplements. Big Laugh Und eine reine Anwendung des Folgenkriteriums ist das nicht...

---

Aber es scheint wirklich einfach zu sein:
Du meinst Folgendes, Che Netzer, oder?

(i) Abgeschlossenheit der reellen Zahlen in den reellen Zahlen:

Hat man eine konvergente Folge in den reellen Zahlen, ist das eine Cauchyfolge, da jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.

Und wegen der Vollständigkeit der reellen Zahlen konvergiert diese Cauchyfolge in den reellen Zahlen. Punkt, fertig.

(ii) Abgeschlossenheit der reellen Zahlen in den komplexen Zahlen:

Geht die Argumentation hier genauso und man interpretiert die konvergente Folge der reellen Zahlen einfach als eine Folge von komplexen Zahlen mit Imaginärteil 0? Und dann nutzt man wieder die Vollständigkeit der komplexen Zahlen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zur (Folgen-)Abgeschlossenheit der reellen Zahlen in den reellen Zahlen hat wie gesagt tmo schon alles geschrieben. Da braucht man keine Cauchy-Eigenschaft.
In dem Fall schreibt man die Voraussetzung sauber auf und sieht, dass genau das "zu zeigen" war.

Zum Punkt (ii) stimmt deine Vermutung aber.
mannixy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Zur (Folgen-)Abgeschlossenheit der reellen Zahlen in den reellen Zahlen hat wie gesagt tmo schon alles geschrieben. Da braucht man keine Cauchy-Eigenschaft.


Aber man kann es doch auch so machen?
Ich meine, da benutzt man ja auch die Folgenabgeschlossenheit.

Nur ist es vielleicht mit Kanonen auf Spatzen schießen. :-)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mannixy
Nur ist es vielleicht mit Kanonen auf Spatzen schießen. :-)

Genau.
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