Hill-Chiffre

19.05.2013, 10:49

Bossaura1

Hill-Chiffre

Meine Frage:
Hallo,
habe eine Frage zum Hill-Chiffre.
Wir verwenden ein Alphabet mit 11 Buchstaben, jede steht für eine Zahl zwischen 0 und 11.
Ich habe jeweils zwei Klartext und zwei Schlüsseltextpaare.
f(x) = K * x. f(x) ist der Klartext (Ein Vektor mit dim 2), x ist der zu verschlüsselnde Text (Ein Vektor mit dim 2). K ist die Verschlüsselungsmatrix.

Ich soll K bestimmen und habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix} = K * \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \end{pmatrix} = K * \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist nicht weiter schwierig.
{LATEX] \begin{pmatrix} \frac {8}{5} & \frac {-22}{15} \\ \frac {7}{5} & \frac {-6}{5} \end{pmatrix} [/LATEX].

Jetzt soll ich aber Vektoren verschlüsseln (z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ).
Wenn ich den mit meiner Matrix multipliziere, kommt da nichts ganzes raus, und die Brüche entsprechen keinem Buchstaben. Hat jemand eine Idee, was ich dort ändern könnte?
Wir rechnen in Restklassenringen.

Meine Ideen:
Steht in der Fragestellung.

19.05.2013, 10:54

Chabos

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EDIT: Die Matrix lautet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac {8}{5} & \frac {-22}{15} \\ \frac {7}{5} & \frac {-6}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 11:15

Mystic

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Zitat:

Original von Chabos
EDIT: Die Matrix lautet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac {8}{5} & \frac {-22}{15} \\ \frac {7}{5} & \frac {-6}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast du da wirklich

$\begin{eqnarray*} K=\begin{pmatrix} 9 & 10\\7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 9\\0 & 3\end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

berechnet? Und ja, Brüche müssen natürlich mod 11 aufgelöst werden, sofern der Nenner überhaupt invertierbar, d.h., nicht durch 11 teilbar ist...

Gibt es übrigens in einer Fußballmannschaft einen Spieler mit Nummer 0? Meines Wissens nach ist die Abzählung da 1-basiert... Wäre sie aber 0-basiert, müsste sie bei 10 enden... Nur zum Nachdenken... Big Laugh

19.05.2013, 11:25

Chabos

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RE: Hill-Chiffre

Zitat:

Original von Bossaura1
Ich soll K bestimmen und habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix} = K * \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mist, der erste Vektor muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen. tut mir Leid.
Dann sollte meine Matrix hinkommen.
Wenn ich mit Wolframalpha alle Ergebnisse der Matrix mod 11 auflöse, komme ich auf die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac {8}{5} & \frac {143}{15} \\ \frac {7}{5} & \frac {49}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber auch damit bekomme ich bei der Multiplikation mit den zu verschlüsselnden Vektoren keine ganzen Zahlen.

19.05.2013, 11:36

Mystic

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RE: Hill-Chiffre

Zitat:

Original von Chabos
Mist, der erste Vektor muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen. tut mir Leid.
Dann sollte meine Matrix hinkommen.

Ja, mit dieser Korrektur kommt es dann hin...

Zitat:

Wenn ich mit Wolframalpha alle Ergebnisse der Matrix mod 11 auflöse, komme ich auf die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac {8}{5} & \frac {143}{15} \\ \frac {7}{5} & \frac {49}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber auch damit bekomme ich bei der Multiplikation mit den zu verschlüsselnden Vektoren keine ganzen Zahlen.

Ich verstehe da nur Bahnhof... unglücklich

Noch einmal, du brauchst die Inversen der Nenner mod 11, denn es gilt ja z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac 85 = 8\cdot (5^{-1} \mod 11) \mod 11 \end{eqnarray*}$

Diese bekommt entweder mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus oder - was hier noch möglich ist - einfach durch Probieren...

19.05.2013, 11:42

Chabos

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RE: Hill-Chiffre

Zitat:

Original von Mystic

$\begin{eqnarray*} \frac 85 = 8\cdot (5^{-1} \mod 11) \mod 11 \end{eqnarray*}$

Wäre hier z.B. das Ergebnis 9?
Und das mache ich mit allen Elementen meiner Matrix?

19.05.2013, 11:48

Mystic

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RE: Hill-Chiffre

Zitat:

Original von Chabos
Wäre hier z.B. das Ergebnis 9?

Wenn du damit

$\begin{eqnarray*} 5^{-1} \mod 11 \end{eqnarray*}$

meinst, liegst du richtig, wenn das

$\begin{eqnarray*} \frac 85 \mod 11 \end{eqnarray*}$

sein soll, dann falsch... Was also meinst du? verwirrt

19.05.2013, 11:52

Chabos

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RE: Hill-Chiffre
Okay,
wenn ich $\begin{eqnarray*} 5^{-1} mod 11 \end{eqnarray*}$ mache, kommt 9 bei heraus.
Was muss ich dann mit dieser 9 machen, um den entgültigen Eintrag meiner Matrix zu bekommen? Ich habe dann ja ersteinmal den invertierten Nenner "11 gemoddet".

19.05.2013, 11:59

Mystic

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RE: Hill-Chiffre
Wie es weitergeht, hab ich doch oben schon geschrieben (und da hast es ja auch sogar zitiert!)... Oder was genau verstehst du in der Formel

$\begin{eqnarray*} \frac 85 \mod 11= 8\cdot (\underbrace{5^{-1} \mod 11}_{= 9 \mod 11}) \mod 11=\ldots \end{eqnarray*}$

nicht?

19.05.2013, 13:15

Chabos

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Also muss ich dann 8*9 mod 11 = 72 mod 11 = 6 bestimmen.
Super, vielen Dank für deine Zeit und Mühen.

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