Kartenwechsel

19.05.2013, 14:20

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Kartenwechsel

Meine Frage:
Zuerst hab ich eine recht allgemeine Frage:
Ich soll zeigen, dass ein Kartenwechsel ein Homöomorphismus ist.
Aber ist nicht jeder Kartenwechsel ein Homöomorphismus, wenn es sich bei den Karten tatsächlich um Karten handelt?
Sprich muss ich nicht lediglich zeigen, dass die beiden Kartenabbildungen Homöomorphismen sind und daraus folgt die Behauptung?

Und etwas spezieller:
Wir betrachten die projektive Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb RP^2 \ als \ die \ Menge \ aller \ eindimensionalen \ Unterraeume \ in \ \mathbb R^3, \ d.h \ \mathbb RP^2 = \mathbb R^3 \ \{0\} / \sim, \ wobei \ v \sim w \iff v = \lambda w \ fuer \ ein \ \lambda \in \mathbb R \ \{0\}<br /> \end{eqnarray*}$
Die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} v=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ wird mit $\begin{eqnarray*} [x_1:x_2:x_3] \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Betrachte die offenen Teilmengen $\begin{eqnarray*} U_i = \{[x_1:x_2:x_3]|x_i \neq 0\} \subseteq \mathbb RP^2 \end{eqnarray*}$ .
Definiere auf $\begin{eqnarray*} U_1 \ folgende \ Karte: \ \phi_1([x_1:x_2:x_3])=(\frac{x_2}{x_1},\frac{x_3}{x_1}) \end{eqnarray*}$ und analog für die anderen zwei Kartengebiete.
Zeige, dass der Kartenwechsel $\begin{eqnarray*} \phi_2 \circ (\phi_1)^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist.

Meine Ideen:
Dazu muss ich glaube ich lediglich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi_1 \ und \ \phi_2 \end{eqnarray*}$ Homöomorphismen sind (was sie als Kartenabbildungen ja eigentlich sowieso sein müssen).

Also betrachte ich eine offene Menge $\begin{eqnarray*} U \subseteq \phi_1(U_1)=\mathbb R^2. \end{eqnarray*}$ Ohne Einschränkung ist $\begin{eqnarray*} U := U_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ein Epsilon-Ball um die 0.
Wir wollen zeigen: Urbilder offener Mengen sind offen.
Also betrachte $\begin{eqnarray*} (\phi_1)^{-1}(U_{\epsilon})\stackrel{o.E. x_1 = 1} = \{[1:x_2:x_3]|\sqrt{x_2^2 + x_3^2} < \epsilon \}. \end{eqnarray*}$
Das ist eine Menge in der Quotiententopologie, um zu gucken ob die offen ist müsen wir also das Urbild unter der entsprechenden Projektion
$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ betrachten:

$\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(\phi_1^{-1}(U)) = \{ \lambda (1,x_2,x_3)|\lambda \in \mathbb R \backslash \{0\}, \sqrt{x_2^2+x_3^2} < \epsilon\}. \end{eqnarray*}$ .
Das ist jetzt eine Menge im R^3.
Wenn ich mir das richtig vorstelle ist es das Innere (nicht mathematisch sondern bildlich gemeint) eines Doppelkegels im R^3 ohne die Außenfläche und ohne die 0 und folglich offen.

Stimmt das bisher, geht es einfacher und wie zeige ich formal, dass das offen ist?

19.05.2013, 14:35

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kartenwechsel

Zitat:

Original von 12345678
Aber ist nicht jeder Kartenwechsel ein Homöomorphismus, wenn es sich bei den Karten tatsächlich um Karten handelt?
Sprich muss ich nicht lediglich zeigen, dass die beiden Kartenabbildungen Homöomorphismen sind und daraus folgt die Behauptung?

Ja, Einschränkungen von Homomorphismen sind wieder Homomorphismen und Vekettungen ebenso.

Zitat:

Dazu muss ich glaube ich lediglich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi_1 \ und \ \phi_2 \end{eqnarray*}$ Homöomorphismen sind (was sie als Kartenabbildungen ja eigentlich sowieso sein müssen).

Ja, das genügt.

Der Rest der Überlegungen stimmt auch.
D.h. du kannst die Aussage darauf zurückführen, dass eine Menge $\begin{eqnarray*} U\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ genau dann offen ist, wenn $\begin{eqnarray*} \{\lambda(1,x_1,x_2)\in\mathbb R^3:\lambda\neq0,(x_1,x_2)\in U\} \end{eqnarray*}$ offen ist.
Das wiederum kannst du mit der offenen Menge $\begin{eqnarray*} \bigl(\mathbb R\setminus\{0\}\bigr)\times U \end{eqnarray*}$ identifizieren. (überlege dir, wieso das nur funktioniert, wenn man die Null aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ entfernt)

19.05.2013, 14:45

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

danke!
Wenn die Null aus R nicht entfernt wird, ist $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ in der Menge, von der ich zeigen will, dass sie offen ist.
Es kann aber keinen Epsilon-ball um die 0 im R^3 geben, denn $\begin{eqnarray*} (0+a, 0, 0) \end{eqnarray*}$ ist für kein a > 0 in der zu untersuchenden Menge. Stimmt das so?

19.05.2013, 14:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist eher, dass dann für $\begin{eqnarray*} u,v\in U \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} 0\cdot u=0\cdot v \end{eqnarray*}$ gilt, auch wenn $\begin{eqnarray*} u\neq v \end{eqnarray*}$ . Da geht also die Bijektivität verloren.

19.05.2013, 15:09

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das verstehe ich noch nicht.

Welche Abbildung wäre dann nicht mehr injektiv?
$\begin{eqnarray*} \phi_1 \end{eqnarray*}$ ist es ja sowieso nicht.

19.05.2013, 15:10

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso klappt die Argumentation nicht, dass es keinen Epsilon-Ball um die 0 gäbe, also könnte es keine offene Menge sein?

Anzeige

19.05.2013, 15:11

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Projektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ wäre schon nicht wohldefiniert.
Wohin soll die Null abgebildet werden? Liegt sie im Urbild disjunkter Mengen unter der Projektion?

Edit: Das mit dem Ball ginge zwar, aber man kommt gar nicht erst an die Stelle, an der das ein Problem wäre.

19.05.2013, 15:22

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, danke
Die Projektion klapp ja auch deshalb nicht, weil wir nicht durch 0 teilen dürfen oder?

Und noch eine Frage: Wir sollen jetzt zeigen, dass dieser Kartenwechsel orientierungserhaltend ist.
Aber ohne Determinante, also muss ich zeigen, dass jede gegen den Uhrzeigersinn orientierte $\begin{eqnarray*} S^1 \ in \ \phi_1(U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$ auf eine gegen den Uhrzeigersinn orientierte S^1 im Bild abgebildet wird.

Die S^1en die ich untersuchen muss, sind also diejenigen, die die y-Achse nicht schneiden.
Aber jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter argumentieren soll.

19.05.2013, 15:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kartenwechsel
Hast du dir denn $\begin{eqnarray*} \phi_2\circ\phi_1^{-1} \end{eqnarray*}$ schonmal ausgerechnet?

19.05.2013, 15:48

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht sicher wie konkret ich den ausrechnen soll, aber ist das nicht:
$\begin{eqnarray*} (\phi_2 \circ (\phi_1)^{-1}) (\frac{x_2}{x_1},\frac{x_3}{x_1}) = (\frac{x_1}{x_2},\frac{x_3}{x_2}) \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2013, 15:53

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kartenwechselabbildung wendest du auf ein $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ an.
Was ist dann $\begin{eqnarray*} \phi_1^{-1}(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2013, 16:06

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist
$\begin{eqnarray*} \phi_1^{-1}(x,y)=[1 : x_2 : x_3] <br /> und \ \phi_2([1 : x_2 : x_3]) = ( \frac{1}{x_2},\frac{x_3}{x_2} ) \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2013, 16:10

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mit $\begin{eqnarray*} x_2=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3=y \end{eqnarray*}$ .
Der Kartenwechsel $\begin{eqnarray*} \phi_2\circ\phi_1^{-1} \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ also auf $\begin{eqnarray*} \left(\frac1x,\frac yx\right) \end{eqnarray*}$ ab.

19.05.2013, 16:17

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kann ich ja mal aufschreiben wie so eine S^1 ausschaut.
Soll ich dazu Polarkoordinaten nehmen oder euklidische?
Und die dann mittels dem Kartenwechsel abbilden und dann kommt ja auf jeden fall ein zur S^1 homöomorphes Bild raus.
Aber wie sehe ich diesem Bild seine Orientierung an?

19.05.2013, 16:21

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Müsst ihr denn $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ benutzen?
Was dürft ihr überprüfen, ob zu testen, ob eine Funktion orientierungserhaltend ist?

19.05.2013, 16:27

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben bisher nur die Definition gemacht, also :
Ein Homöomorphismus f zwischen offenen Mengen im R^2 ist orientierungserhaltend, falls jede gegen den Uhrzeigersinn orientierte S^1 im Definitionsbereich auf eine Kurve mit der gleichen Orientierung abgebildet wird.

19.05.2013, 16:33

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich weiß ich nichtmal genau wie Orinetierung definiert ist, es hat ja in dieser Bedeutung nichts damit zu tun, in welcher Richtung die Kurve durchlaufen wird oder?
Und wie Orientierung abgebildet wird ist mir auch nicht klar.

19.05.2013, 17:03

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Wikipedia ist Orientierung mittels Tangentialraum etc. definiert, aber wir haben den Tangentialraum nicht behandelt.
Welche Sätze müsste ich denn verwenden dürfen, um es einfacher zeigen zu können?
Und welche Determinate müsste positiv sein, damit es orientierungserhaltend ist?
Die der Jacobimatrix?
Und ist jeder Kartenwechsel orientierungserhaltend oder oreintierungsumkehrend, oder gibt es auch Kartenwechsel, die für manche S^1en die Orientierung beibehalten und für andere umkehren?

19.05.2013, 18:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Na schön...
Dann nimm dir mal eine Kurve
$\begin{eqnarray*} (x_0+\cos t,y_0+\sin t)\,. \end{eqnarray*}$
Wie ist dann die Bildkurve parametrisiert?

19.05.2013, 18:30

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (\phi_2 \circ (\phi_1)^{-1}) (x_0+cos(t),y_0+sin(t)) = (\frac{1}{x_0+cos(t)},\frac{y_0 + sin(t)}{x_0+cos(t)}) \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 18:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie ist die orientiert?

19.05.2013, 18:35

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, mir ist nichtmal klar, was Orientierung in diesem Kontext bedeutet.
Wie ist Orientierung denn definiert?
Ich dachte, Orientierung bedeutet einfach, dass man Flächen ein "außen" bzw. "innen" zuordnet, aber wahrscheinlich bringe ich gerade einiges durcheinander.
Ist das die Richtung, in der eine Kurve durchlaufen wird?

19.05.2013, 18:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind jetzt bei der Orientierung von Kurven, nicht von Flächen.

Zitat:

Original von 12345678
Ist das die Richtung, in der eine Kurve durchlaufen wird?

Genau.

19.05.2013, 18:45

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok!
Ich weiß aber auch nicht, wie ich jetzt zeige, dass $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x_0+cos(t)},\frac{y_0+sin(t)}{x_0+cos(t)}) \end{eqnarray*}$ eine im Gegenuhrzeigersinn durchlaufene Kurve ist.

19.05.2013, 18:47

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ startest und in den positiven Bereich gehst – in welche Richtung bewegst du dich auf der Kurve?

19.05.2013, 19:05

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Realteil wird größer, der Imaginärteil auch, falls $\begin{eqnarray*} x_0 > 1 \ und \ y_0 > 0 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2013, 19:26

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bewege ich mich also nach rechts oben auf der Kurve, aber trotzdem kann ja noch alle möglich passieren, muss ich die Kurve komplett zeichnen, um mir das klar zu machen, oder gibt's ne Methode, wie man das erkennt?
Und muss ich alle möglichen Fälle für x0 und y0 betrachten?

19.05.2013, 20:33

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch eine Frage:
Wir dürfen das zwar nicht verwenden, aber die Jacobimatrix des Kartenwechsels müsste doch positive Determinante haben, oder?
Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} \phi_1 \circ \phi_2^{-1} (x,y) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = (\frac{1}{x},\frac{y}{x}), \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> also \ J=\begin{pmatrix} \frac{-1}{x^2} & 0 \\ \frac{-y}{x^2} & \frac{1}{x} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} Also \ ist \ die \ Determinante \ D = \frac{-1}{x^3} \end{eqnarray*}$
also nicht unbedingt positiv?

19.05.2013, 22:16

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du auch schon ein großes Problem festgestellt.

Aus der Orientierung der Bildkurve hätte man das auch erarbeiten können.

Sicher, dass ihr zeigen sollt, dass der Kartenwechsel orientierungserhaltend ist?
Spontan kommt es mir sogar so vor, dass kein Kartenwechsel hier orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist.

19.05.2013, 22:30

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

mist, sorry, du hast völlig recht, hatte mich verlesen, richtig muss es heißen: Überprüfe, ob der Kartenwechsel orientierungserhaltend ist.
Dass er es nicht ist, würde daraus folgen, dass die berechnete Determinante sowohl positive als auch negative Werte annimmt?
Und wie hätte man das aus der Orientierung der Bildkurve auch erarbeiten können? Mir ist immernoch nicht klar, wie man die Orientierung einer Kurve herausfindet, ohne sie sich zu zeichnen.
Und was wäre ein Beispiel, für eine zur S¹ homöomorphen Kurve, die weder positiv noch negativ orientiert ist (also ein einfach vorstellbares Beispiel, die Kurve die wir hier haben ist ja anscheinend auch weder positiv noch negativ orientiert, ich weiß aber nicht wie sie aussieht und weiß auch nicht wo man Kurven plotten kann)?

19.05.2013, 22:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du in einem Punkt startest und dich (bei "positiv laufender Zeit") nach "rechts oben" in der Ebene bewegst, dann ist das eine Bewegung im Uhrzeigersinn.
(Das Verhalten meintest du wohl, als du etwas von Real- und Imaginärteil erzählt hast.)

Und die Orientierung hängt von der Parametrisierung ab.
Eine Kurve ohne Orientierung ist also einfach eine Kurve ohne Parametrisierung bzw. die Äquivalenzklasse von Parametrisierungen der Kurve unter Zulassung orientierungsumkehrender Umparametrisierungen.

Kurven kannst du auch hier im Forum plotten; irgendwo müsste die Syntax von parametricplot erklärt sein.

Und die Kurven, die wir hier haben, sind jeweils entweder positiv oder negativ orientiert (sie haben ja eine feste Parametrisierung); nur sind sie unterschiedlich orientiert.

19.05.2013, 22:52

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist es automatisch eine Bewegung im Uhrzeigersinn, wenn ich nach rechts oben gehe? Das tue ich ja auch beim Kreis, wenn ich ihn im Gegenuhrzeigersinn durchlaufe, wenn ich unten starte?

Heißt das jede parametrisierte Kurve hat eine Orientierung aber die Spur der Kurve im Allgemeinen nicht, weil die in umgekehrter Richtung durchlaufene Kurve die gleiche Spur, aber die umgekehrte Orientierung hat?

Wenn ein Kartenwechsel weder orientierungserhaltend noch -umkehrend ist bedeutet das also, dass manche Kurven durch ihn eine umgekehrte Orientierung erhalten und andere nicht?

19.05.2013, 22:55

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
Wieso ist es automatisch eine Bewegung im Uhrzeigersinn, wenn ich nach rechts oben gehe? Das tue ich ja auch beim Kreis, wenn ich ihn im Gegenuhrzeigersinn durchlaufe, wenn ich unten starte?

Schon, aber hier würde man bei negativer Zeit nach rechts unten gehen.
Das klingt sicher nicht sehr präzise, aber wenn man unbedingt über die Orientierung von Kurven und deren Bilder gehen möchte, ist das (für z.B. $\begin{eqnarray*} x_0=y_0=2 \end{eqnarray*}$ ) die einfachste Vorgehensweise, die "trotz" der Anschaulichkeit noch haltbar ist.

Zitat:

Heißt das jede parametrisierte Kurve hat eine Orientierung aber die Spur der Kurve im Allgemeinen nicht, weil die in umgekehrter Richtung durchlaufene Kurve die gleiche Spur, aber die umgekehrte Orientierung hat?

Genau.

Zitat:

Wenn ein Kartenwechsel weder orientierungserhaltend noch -umkehrend ist bedeutet das also, dass manche Kurven durch ihn eine umgekehrte Orientierung erhalten und andere nicht?

Ja, wenn das nicht so wäre, wäre er ja entweder orientierungserhaltend oder -umkehrend.

19.05.2013, 23:19

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke schonmal!
Ist mir jetzt schon klarer geworden.
Das verstehe ich aber trotzdem noch nicht: Kann ich mir nicht einfach eine Kurve aufmalen, die an einer kleinen
Umgebung auch so ist, dass man bei negativer Zeit nach rechts unten geht und bei positiver nach rechts oben?
Ich hänge mal ein Bild an wo ich drauf gezeichnet hab was ich meine.
Und welche Orientierung hat denn beispielsweise eine "8"?

19.05.2013, 23:23

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 12345678
Das verstehe ich aber trotzdem noch nicht: Kann ich mir nicht einfach eine Kurve aufmalen, die an einer kleinen
Umgebung auch so ist, dass man bei negativer Zeit nach rechts unten geht und bei positiver nach rechts oben?

Ja, im allgemeinen kann die Kurve dann trotzdem positiv orientiert sein. Aber nicht, wenn sie auch noch konvex ist.

Zitat:

Und welche Orientierung hat denn beispielsweise eine "8"?

Ohne Parametrisierung keine. Etwas wie "positiv" oder "negativ" ergibt aber ohnehin nur für einfach geschlossene Kurven Sinn.

19.05.2013, 23:30

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvex heißt, das die Krümmung ihr Vorzeichen nicht ändert?
Oder heißt konvex, dass wenn ich zwei Punkte auf der Spur verbinde, bin ich ganz im Inneren dessen was die Kurve umschließt? Kenne den Begriff bisher bloß für Funktionen.

20.05.2013, 09:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist hier sogar dasselbe (also die beiden Vermutungen).

20.05.2013, 13:18

12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke! smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »