Endliche Körper - runde und eckige Klammern

19.05.2013, 18:38	guestCamel	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper - runde und eckige Klammern Meine Frage: Hallo! Angenommen ich habe $\begin{eqnarray} \mathbb F_{7} \end{eqnarray}$ gegeben und betrachte einmal die Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb F_{7}[\sqrt{3}] \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} \mathbb F_{7}(\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ . Ich wüsste gerne, was der Unterschied zwischen den Beiden ist. Vielen Dank schonmal, guestCamel Meine Ideen: Meine Überlegungen führen mich zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_{7}(\sqrt{3})=\mathbb F_{7}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3} \| a,b \in \mathbb F_{7}\} \end{eqnarray}$ . Das erscheint mir jedoch nicht sinnvoll, da man dann keine unterschiedlichen Notationen bräuchte.
20.05.2013, 01:16	rc	Auf diesen Beitrag antworten »
Für über einem Körper K algebraische Elemente a ist immer $\begin{eqnarray} K[a]=K(a). \end{eqnarray}$ Das ist ein Standardresultat und folgt daraus, dass (mit f das Minimalpolynom von a) $\begin{eqnarray} K[a]\cong K[X]/(f) \end{eqnarray}$ schon ein Körper ist.
20.05.2013, 09:54	guestCamel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok herzlichen Dank! Also sind die beiden Begriffe für endliche Körper tatsächlich gleich. Das führt mich zu der weiteren Frage, was passiert, wenn man statt des endlichen Körpers den Ring der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ verwendet. Was ist dann der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb Z(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb[a] \end{eqnarray}$ , wenn a ein algebraisches Element ist? (Ich glaube ich bräuchte einfach eine Notationserklärung...)
20.05.2013, 09:57	guestCamel	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben muss natürlich $\begin{eqnarray} \mathbb Z [a] \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} [a] \end{eqnarray}$ stehen.
20.05.2013, 16:09	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist R ein Ring so ist R[a] der kleinste Ring, der R und a enthält. Die Schreibweise R(a) hab ich persönlich noch nie gesehen. Ist K ein Körper so ist K[a] der kleinste Ring der K und a enthält, K(a) der kleinste Körper der K und a enthält. Wie rc bereits schrieb stimmen diese bei algebraischen a überein. Unterschiede gibt's erst mit Transzendenten Elementen. So ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q (X) \neq \mathbb Q [X] \end{eqnarray}$
20.05.2013, 16:15	guestCamel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals! Ich glaube, jetzt habe ich auch das verstanden!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »