Krümmung eines Möbiusbandes |
| 19.05.2013, 19:29 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
| Krümmung eines Möbiusbandes (..Ich hoffe ich habe das richtige Unterforum erwischt...) Der Titel sagt eigentlich schon fast alles. Ich interessiere mich für die gaußsche Krümmung ("K=k1*k2") eines Möbiusbandes. Bzw. frage ich mich, ob mein Ergebnis richtig sein kann... Hier die Formel der Fläche, mit u=[0,..,2*pi], v=[-1,..,1]: So, wenn ich die Krümmung ausrechne ("Wiki: Fundamentalform II"), komme ich auf "K=1/2" ! Also eine konstante Krümmung. Das ist zwar nicht viel, aber auch nicht Null, ..und irgendwie auch nicht negativ.. Das Eigentliche Problem ist nun, dass ich das Ding vom Blatt Papier ausgeschnitten, -keine Ahnung wie es entstanden ist, oder von wem- , hier vor mir liegen habe, und das sollte doch eigentlich nur gehen, wenn "K=0"!!! Man kann den Weg auch rückwärts gehen, und einen Streifen Papier zum Möbiusband "falten". Dann ist K=0 garantiert. So ist es aber nicht!! Die planare Form des Bandes auf dem Papier ähnelt eher einem "S" (keinem "I")! Gefaltet sieht es dem der Fläche entsprechend der obigen Gleichung sehr sehr ähnlich. Ich würde sagen sie sind identisch. Das Einzige, was mir noch einigermaßen logisch erscheint um das Problem aufzulösen, ist, dass eine der beiden Hauptkrümmungen sehr groß ist, damit die andere sehr klein sein kann, sodass immernoch "1/2" heraus kommt. Und das Papier minimal verzerrt/geknittert ist. Denn, wenn ich das richtig verstehe, ist ein parabolisch gekrümmte Fläche (k1*k2=0, k1=/=k2) immer abrollbar. Wobei in diesem Fall z.B. k1 "fast gegen Null" geht.. ..Wobei eine Kugel mit entsprechendem Radius auch ein K=1/2 besitzen kann, und die ist sicher nicht abrollbar. Wie kann man also entgültig bestimmen, ob eine Fläche ("minimalst" verzerrt) abrollbar ist? Da müsste ich schon eine der beiden Hauptkrümmungen kennen, oder? Gibt es neben der Formel für gaußsche Krümmung auch eine nette für die mittlere Krümmung, oder kann man k1 od. k2 irgendwie immer direkt bestimmen?? Kann mir jemand etwas dazu sagen?! -Eine Meinung zur Problemlösung, oder eine Alternative? Was bekommt ihr als Krümmung 'raus? -Das einfachste wäre es natürlich, wenn die Krümmung tatsächlich Null ist... MfG Klondijk457 |
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| 19.05.2013, 20:27 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Mir ist grade aufgefallen, dass ich nicht die Krümmung berechnet habe, sondern nur ob die Fläche gekrümmt ist, oder nicht. Der Wert spielt also keine Rolle, sondern nur, ob "+, -, 0" heraus kommt für "elliptisch, hyperbolisch, parabolisch/flach" gekrümmte Flächen. Wie bestimme ich denn dann die Krümmung?!... |
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| 20.05.2013, 09:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
RE: Krümmung eines Möbiusbandes
Also ?
Dazu kannst du noch die erste Fundamentalform bestimmen; siehe hier. Du kannst ja mal deine Rechnung herzeigen; ich würde die lieber durchsehen, als das ganze selbst durchzurechnen 
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| 21.05.2013, 23:21 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Danke erstmal.
Sozusagen.. Ich habe mir das für meine bestimmten Flächen noch etwas vereinfacht.
...Das kann ich gut nachvollziehen! Die Krümmung ist zwar algebraisch berechenbar, aber eigentlich nichtmehr handhabbar. Selbst der PC rechnet eine Weile, -zumindest mit "Maxima"... Ich habe auch durch Stichproben meine These vom abrollbaren Möbiusband mittels weit auseinander liegenden Hauptkrümmungen untersucht. Das scheint aber nicht die Lösung des Problems zu sein. Die Werte scheinen von gleicher Größenordnung zu sein... aber da muss ich nochmal genauer hinschauen.. Irgendeine Idee, welcher andere Grund dafür verantwortlich sein könnte, dass es dennoch abrollbar ist?! Und eine neue Kleinigkeit ist mir aufgefallen, beim Hauptkrümmungen berechnen.. Ich bekomme aus dem Gleichungssystem 2 unterschiedliche zu lösende Gleichungen heraus. Einmal , Das ist auch die Gleichung von Wikipedia. Da k1 und k2 ohne Probleme vertauschbar sind, stellen die beiden Lösungen die k1 und k2 dar. Soweit alles ok. Die andere ist diese: Hier gibt es nun 4 verschiedene Lösungen. 2 davon entsprechen denen der obigen Gleichung, - zumindest im vorgesehenen Bereich. Aber was ist mit den anderen beiden, die bis auf's Vorzeichen mit den ersten übereinstimmen?!? Alleine, dass es 4 sind und ich somit die Qual der Wahl habe verwirrt mich... MfG Klondijk457 |
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| 21.05.2013, 23:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Wie sah denn dann die Rechnung aus, die du den Rechner hast machen lassen? Dass eine der beiden Hauptkrümmung besonders hoch ist, glaube ich ohnehin nicht. Dass die Gaußsche Krümmung positiv sein soll, irritiert mich allerdings auch... |
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| 22.05.2013, 18:54 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Um sicherzugehen, habe ich die Krümmungen sogar aus den standardmäßigen Koeffizienten der Fundamentalformen berechnet, ohne Vereinfachungen und dergleichen.. Sprich direkt E, F, G und L, M ,N. Viel falsch machen kann man da ja nicht, ist nur viel Schreibarbeit... Wie gesagt, das "1/2" bezieht sich garnicht auf die Krümmung, sondern sagt nur, dass die Fläche nicht flach ist, da nicht "0". Das Vorzeichen ist im Laufe der Vereinfachung weg gefallen... Ich hatte das anfangs nur falsch benannt. Was sagst du, oder natürlich jeder der möchte, denn zu den 2 unterschiedlichen Lösungsgleichungen? Irgendwann kommt man auf Nun kommt es drauf an, ob ich für ein k die mittlere Krümmung für die bekannte Gleichung, oder die gaußsche K. für die k^4-Gleichung einsetze. Wie gesagt, bei der k^4-Gleichung kommt auch, teils bis auf's Vorzeichen, gleiches heraus, wenn man sich nicht zu weit hinaus wagt.. Musst du dir mal plotten, oder so.. |
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| 23.05.2013, 22:38 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Hier sind nicht alle Lösungen auch Hauptkrümmung, sondern nur bis auf Vorzeichenwechsel (nicht nur teils). Das ist nur eine Gleichung, die für die Hauptkrümmungen gilt; mit der kann man die nicht bestimmen. Naja, welche Werte für die Krümmungen hast du denn erhalten? |
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| 23.05.2013, 23:58 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
...War ja klar... - Ich habe gerade die Gleichungssystemsache in einen neuen Beitrag ausgelagert... 
Wenn dabei nicht kurzfristig der Groschen fällt, könnten wir uns vielleicht dort weiter darüber unterhalten. -Hat ja eigentlich nichts mit der Plättbarkeit des Bandes zu tun. Aber erstmal geht's hier weiter: Wenn ich mir den jew. Graphen zu den Lösungen ansehe, entsprechen die Werte nicht überall denen der "k^2-Lösungen".. Das meinte ich mit "nicht zu weit hinaus wagen". Also sind die Lösungen eigentlich nicht gleich!
Das verstehe ich rein "akustisch" nicht, glaube ich.. Bzw. wenn doch: Warum? Mal abgesehen von Krümmungen, sollte doch egal welcher Weg zum gleichen Ziel führen... So nun zurück zum Möbiusband:
Du beziehst dich doch auch darauf, oder?! Da muss ich nochmal nachsehen/berechnen... ...Moment... Sooo, die Hauptkrümmungen, frisch berechnet: u: Zeilen, v: Spalten: ..alles so um 1 verteilt... Also was nun? Gibt's mathematische formulierungen für Torsion?! |
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| 24.05.2013, 00:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Was du damit sagen willst, ist mir unklar...
Wenn du Gleichung B aus Gleichung A herleiten kannst (d.h. ist Gleichung A erfüllt, dann auch Gleichung B), heißt das noch lange nicht, dass auch die Umkehrung gilt, d.h. Lösungen von Gleichung B müssen nicht Lösungen von Gleichung A sein.
Die jedenfalls können so nicht stimmen (egal, welche Werte da für und in den Zeilen/Spalten stehen sollen). Wie hast du sie denn berechnen lassen? |
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| 24.05.2013, 03:24 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Ich sollte vielleicht nochmal verdeutlichen, dass es sich um nur 1 Gleichungssystem handelt, bestehend jew. aus den Gleichungen für H und K. Mehr nicht. Allerdings bekommt man insgs. 6 Lösungen heraus. Vielleicht sollte ich fragen, wie zu entscheiden ist, welche Lösungen die richtigen sind..?! Das gilt ja auch unabhängig von Krümmungen. Man könnte also auch mit komplexen Zahlen rechnen, wenn man wollte...
Na warum denn nicht? Wie bereits gesagt, alles "nach Lehrbuch", nichts besonderes beim Berechnen. |
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| 24.05.2013, 08:47 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Zu den Gleichungen wurde dir ja im neuen Thread schon geantwortet.
Weil eine davon Null sein muss. Hast du ja auch selbst schon ganz am Anfang festgestellt. (oder hast du dir irgendeine Parametrisierung herausgesucht, die kein Möbius-Band beschreibt, das aus einem Streifen Papier gewonnen werden kann?) Ich weiß auch gar nicht mehr, was nun überhaupt die Frage ist... |
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| 24.05.2013, 18:13 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Die Parametrisierung der Fläche steht im ersten Beitrag! Und das ist natürlicht nicht die eines länglichen Papierstreifens im 3D-Raum. Darunter steht auch
Es wäre ja nichts besonderes dabei da man von "K=0" ausginge! Die Sache ist ja gerade, dass eine nicht verschwindende Krümmung heraus kommt, ich das Teil aber dennoch aus Papier zusammenfalten kann! Also kann man sich schon fragen, warum das funktioniert, bzw. ab wann das Papier nicht mehr mit macht. Darum ja die Idee von weit auseinander liegenden Hauptkrümmungen, sodass eine davon ~0 sein kann.. ..Die allerdings getrost wieder verworfen werden kann, wie man oben sieht. Ein anderer Kandidat zur Problemlösung ist eine Art von "fraktaler Welligkeit". Mit dieser ist die seit kurzem bestehende Einbettung eines flachen Torus in 3D möglich. " youtube.com/watch?v=RYH_KXhF1SY " Ist ja auch irgendwie klar: Was sich in nicht verzerren kann muss sich wellen.. Im Fall des Möbiusbandes muss das nur entsprechend wenig sein, denn so wie im Video sieht das Band hier längst nicht aus...! |
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| 24.05.2013, 19:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Ich weiß immer noch nicht, was die Frage ist... Entweder liegt eine Fläche vor, die dem Möbius-Band ähnlich sieht, aber dennoch nicht aus einem Papierstreifen zu basteln ist (was hier nicht der Fall sein soll). Oder aber die Gauß-Krümmung ist Null. Dass die nicht verschwindet, ist nicht belegt. Was möchtest du nun also wissen? Edit: Aha, ein Plot zeigt, dass du dieses Möbius-Band eben nicht aus einem Papierstreifen zu gewinnen ist. Siehe auch Wikipedia. Achte beim nächsten mal darauf, nicht von irgendwelchen Fehlinformationen auszugehen. |
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| 24.05.2013, 21:36 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Warum nicht? Ich hatte schon geschrieben:
Nicht nur das. Es ist sogar belegt, dass sie nicht verschwindet. Wenn sie es täte, wäre ich nicht hier. Nochmal: Die Krümmung der "virtuellen" Fläche ist nicht "0". Das, was auf dem Papier existiert, muss natürlich eine Krümmung von "0" besitzen. Aber es lässt sich zu einem Möbiusband falten, das dem "virtuellen" nur allzu ähnlich sieht! Das Möbiusband muss einen Spezialfall darstellen derart, dass es trotz Krümmung hinreichend gut (bzw. überhaupt) auf's Papier gebracht werden kann! Denn andererseits gibt es auch Flächen, mit denen das garnicht geht! Die Aufgabe wäre es nun herauszufinden, wann das gerade noch möglich ist! Für bereits platte Flächen ist mir persönlich das aber zu trivial.
Ich will hier garnichts 1zu1 "zu gewinnen sein". Wo, welcher Plot? Dass es nicht direkt plättbar ist, steht schon im Eröffnungsbeitrag und ist nochmal explizit an den Hauptkrümmungen erkennbar. Nochmal in deutlich: Es geht hier um Approximierbarkeit. Ich denke, die Problemlösung wird zunehmend physikalischer Natur. Sprich man müsste zB. mal die Verspannung betrachten. ..etwas dehnbar ist Papier sicherlich auch... Ich werde vorerst die Theorie der "Welligkeit" weiter verfolgen. Ein Matheforum ist dafür wahrscheinlich nicht mehr der richtige Ort. Also danke bis hierher! Man müsste mal bei den Leute vom Video um eine Entsprechung eines flachen Möbiusbandes in 3D bitten...
Fehlinformationen?! - Nur wenn du auch darauf achtest nicht von irgendwelchen Fehlinterpretationen auszugehen (wobei das ja Interpretationsfreiraum voraussetzen würde)...
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| 24.05.2013, 21:56 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Aus dem Ursprungsbeitrag und einem anderen früheren:
Eben das war die Fehlinformation. Die Fläche, die du parametrisiert hast, lässt sich nicht aus einem flachen Streifen Papier "falten". Damit existiert kein Widerspruch und deine Fragestellung ist hinfällig.
Na und? Nur weil sich zwei Dinge ähnlich sehen, müssen sie sich keine Eigenschaften teilen.
Grundsätzlich lassen sich Flächen lokal als Sück einer Ebene darstellen.
Mit denen was nicht geht?
Wie wäre es mit dem aus dem Link?
Wieso wunderst du dich dann, dass die Krümmung nicht Null ist?
Das nennst du deutlich? Du hast deine Frage (wenn es denn überhaupt eine gibt) bisher noch nie präzise formuliert. Versuch doch mal, deine Frage mathematisch sauber zu stellen oder sie zumindest so zu formulieren, dass das Problem klar wird. Wenn dir das nicht gelingt, bist du hier falsch. |
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| 25.05.2013, 00:57 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Was soll dieses Geschwätz?? Also wenn man wild Sätze aus mehreren Beiträgen aneinander reiht, dann entsteht natürlich schon ein gewisser Interpretationsfreiraum... Wenn "keiner" vorhanden ist, muss man sich ihn halt schaffen, wie?!
Liest du überhaupt was ich schreibe? -Als ein zusammenhängender Text? Damit es irgendwann ankommt hier nochmal die wichtigsten Stichworte/-sätze: Approximierbarkeit, "Wenn keine Krümmung dann kein Informationsbedarf."
Eben, darum bin ich hier.
Eben, und doch bin ich hier. Also keine Hinfälligkeit... Nochmal: Frage: Wann approximierbar/ Wie gut?!
Hier aber zB.: Topologie. Davon abgesehen: Je ähnlicher 2 Dinge sind, desto mehr Eigenschaften teilen sie. Ich weiß ja nicht wie du andernfalls "Ähnlichkeit" ausmachen willst..
Falls du mit "Sück" einen Punkt meinst stimmt's. Aber das ist trivial und physikalisch nicht von Bedeutung. Falls du eine Gerade oder sogar Fläche meinst ist das falsch.
Ein Satz zuvor: "auf's Papier bringen". Deutlich: "approximieren"
Ach, du meinst diesen einzigen Plot da.. Soso.
Ich wundere mich längst nicht mehr.. Nenn' es halt Stilmittel. Meinst du nicht, darauf bin ich jetzt oft genug eingegangen?
Was ist an "Es geht hier um Approximierbarkeit" nicht deutlich? Also deutlicher geht's kaum.
Gerne noch einmal. Copy & Paste sind deine Freunde:
Erstens bereits mehrfach geschehen. Und darum: Zweitens bin nicht nur ICH hier falsch wenn MIR etwas nicht gelingt.. Wie gesagt, die Beantwortbarkeit hängt von physikalischen Parametern ab. Was noch fehlt ist die Beschreibung der "Approximationsfähigkeit". |
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| 25.05.2013, 08:41 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Ich schiebe mal eine mich interessierende Frage ein: Kennt jemand eine mindestens zweimal differenzierbare Parameterdarstellung eines in den eingebetteten Möbiusbandes mit Gaußscher Krümmung = 0? |
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| 25.05.2013, 08:53 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
"Wann approximierbar" ist keine präzise Frage: - Was soll approximiert werden? Vermutlich Flächen. - Wodurch soll approximiert werden? Durch Flächen mit verschwindender Gauß-Krümmung? - In welchem Sinne soll approxmiert werden? Bezüglich der Hausdorff-Metrik? Sollen bestimmte Größen der Fläche konvergieren?
Gar nicht. Darum geht es mir ja. "Ähnlich" zu sein ist ein sehr unmathematischer Ausdruck, der nur z.B. für Matrizen und geometrische Figuren definiert ist, wobei letztere Definition hier sehr unpraktisch wäre. Dann wäre eine Fläche ohne Gauß-Krümmung nie ähnlich zu einer mit Gauß-Krümmung; das scheinst du nicht zu meinen.
Das "Sück" stand für Stück und spielte auf eine Kartenabbildung an.
Wie gesagt, für die Begriffe liegt keine Definition vor. Geh am besten die drei Stichpunkte durch, danach ist hoffentlich klar, was du meinst. Bisher klingt mir das aber so ähnlich wie "Wie hässlich kann eine Gleichung sein, damit es trotzdem noch schöne Lösungen gibt?" – anschaulich kann die Frage einen Sinn ergeben (wenn ich deine Approximiermarkeit richtig verstehe), mathematisch ist sie aber überhaupt nicht wohlgestellt. |
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| 25.05.2013, 23:30 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Aha, ich habe das Gefühl, wir kommen der Sache schon näher..
Die Fragen hast du dir selbst schon richtig beantwortet. Ich will das letztendlich ja auf's Papier bringen. Als Beispiel dient das Möbiusband - eine Fläche.
Das ist die Frage.. Auch wenn der Begriff mathematisch nicht leicht zu fassen ist, würde ich grob sagen, so dass größtmögliche Ähnlichkeit vorliegt. Also praktisch, die "virtuelle", originale Fläche so verformen, dass die vom Papier heraus kommt. Frag mich aber nicht wie genau das geht. Wenn ich das schon wüsste, wäre das Problem weitestgehend gelöst. Dazu müsste man natürlich erst die Ähnlichkeit bestimmen...
Gut, dann müssen wir uns erst darum kümmern, die Ähnlichkeit 2er Flächen zu bestimmen. Also wenn ich die "Hausdorff-Metrik"/den -Abstand richtig verstehe, geht das doch in Richtung Ähnlichkeit ausmachen. Oder eben mit einem "normal" Abstand..
..Hab ich mir wohl gedacht..
Aber eine Kartenabbildung ist ja auch nichts anderes als eine Approximation. Wenn man dabei die Verzerrungen bestimmen kann, entspricht auch das einem einigermaßen sinnvollen Ähnlichkeitsbegriff, denn ohne Verzerrung sind Bild und Original ja identisch..
Um mal bei der Analogie zu bleiben: "Nummerische Lösungen wären mir auch recht." Ein Anfang wäre herauszufinden, warum dieses Möbiusband überhaupt irgendwie plättbar ist, eine Helix beispielsweise aber nicht! Das muss irgendwie mit Torsion zusammenhängen. Das bedeutet aber nicht, dass das die einzige Möglichkeit der Beschreibung sein muss... @Huggy: Leider nein. Zumindest keine zusammenhängende, die auch noch so ähnlich aussieht, wie die obige Fläche. Man könnte sich zwar eine Zusammengesetzte konstruieren, aber schön ist das nicht.. Wenn du eine findest, kannst du aber gerne bescheid sagen. Vielleicht kann man was aus dem Vergleich lernen.. |
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| 26.05.2013, 11:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Ich fürchte, das ist doch nicht der Fall. Jedenfalls fällt mir keine sinnvolle mathematische Formulierung einer passenden Approximationsweise ein. Wenn irgendjemand eine kennt, kann er sich gerne melden; ich wüsste aber nicht, wie man deine Frage in ein mathematisches Problem überführen könnte. [attach]24103[/attach] |
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| 26.05.2013, 11:39 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Eine Parametrisierung, die dem Papierstreifenmodell entspicht, lässt sich anscheinend nur numerisch angeben, nicht aber mittels geschlossener Formeln. In der englischen Wiki steht dazu: In particular, the twisted paper model is a developable surface (it has zero Gaussian curvature). A system of differential-algebraic equations that describes models of this type was published in 2007 together with its numerical solution.[4] |
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| 27.05.2013, 18:52 | Klondijk457 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||||||||
Naja gut, wenigstens weiß ich jetzt, dass es keine mathematische Beschreibung dafür zu geben scheint, zumindest keine offizielle, und wenn dann nur nummerisch, wie es aussieht. Also Dank euch dafür. Dann werd' ich wohl mal schauen müssen, ob man das, wenn auch nicht allgemein gültig, irgendwie komplett nummerisch zurecht biegen kann. -Ich bin ja ein Optimist.. MfG Klondijk457 |
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