Ebene bestimmen, dass Gerade senkrecht dazusteht

19.05.2013, 19:42	Cholo-Cholo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene bestimmen, dass Gerade senkrecht dazusteht Ich habe die Gerade $\begin{eqnarray} g: \vec{x} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Ebene $\begin{eqnarray} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \ r\begin{pmatrix} a \\ b \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ ab \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich a und b so bestimmen, dass g senkrecht zu E steht. Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss doch der Normalenvektor von E parallel (oder gleich) dem Richtungsvektor von g sein. Mein Ansatz ist nun, das Kreuzprodukt zu bestimmen und das gleich dem Richtungsvektor von g zu setzen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} ab^2-1 \\ 1-a^2b \\ a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 1. Lieg ich bis hierhin richtig oder ist mein Ansatz falsch? 2. Wie kann ich dieses Gleichungssystem lösen?? Danke im Voraus
19.05.2013, 20:20	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene bestimmen, dass Gerade senkrecht dazusteht Hallo, Deine Überlegungen und die Ergebnisse Deiner Rechnungen sind richtig. Du hast ein System von 3 (nichtlinearen!) Gleichunge mit 3 Unbekannten. Benutze das Einsetzungsverfahren t = a - b Dann hast Du zwei quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten. Löse die erste Gleichung nach a auf und setze den Term in die 2. Gleichung. Bestimme b. Du erhältst 2 Lösungenfür (a, b, t).
19.05.2013, 22:46	Cholo-Cholo	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar soweit, thx. Leider scheint die Aufgabe trotzdem nicht so dankbar zu sein, zumindest komm ich nach wildem rechnen auf eine Gleichung 5. Grades (sicherlich iwo verrechnet). Gibt es ein Trick um was zu vereinfachen oder muss man da durch?
19.05.2013, 22:58	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest auch nur mit dem Skalarprodukt arbeiten und benutzen, dass der Richtungsvektor der Geraden zu beiden Spannvektoren der Ebene senkrecht stehen muss. Dadurch entstehen 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
20.05.2013, 08:31	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen. 1. Offensichtlich sind Deine Lösungsbemühungen richtig. (Ich hatte zum Schluss auch so ein Monstrum) 2. Der "Trick" ist der von Bjoern1982 vorgeschlagene Lösungsweg: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a \\b\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ und mit dem zweiten Vektor entsprechend. Ergibt zwei simple Gleichungen, die in wenigen Zeilen gelöst sind.

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