Lebesgue-integrierbar

20.05.2013, 17:11

McClane

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Lebesgue-integrierbar

Hallo,

ich habe Probleme, Lebesgue-integrierbarkeit zu zeigen.

Als Beispiel dient die Funktion
$\begin{eqnarray*} f : ]0, \infty [ -> \mathbb{R} , f(x) = x^{ \alpha } \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur, dass die Funktion in negativ und positiv Anteil zerlegt werden muss und beide Anteile müssen einen endlichen Integralwert vorweisen. Stimmt das?

Wenn ja, wie wende ich das im Beispiel an?

20.05.2013, 17:49

Roap

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RE: Lebesgue-integrierbar
bei der Aufgabe hänge ich auch fest unglücklich

unglücklich

20.05.2013, 17:52

Che Netzer

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RE: Lebesgue-integrierbar
Geht es um Messbarkeit oder um Integrierbarkeit?

Integrierbar ist deine Funktion jedenfalls für kein $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

20.05.2013, 17:59

McClane

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Es geht um integrierbarkeit. Am Ende soll der Wert des Integrals angegeben werden (Sofern integrierbar)

In einem zweiten Beispiel ist der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} ]0,1]->\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur nicht wie der Ansatz lautet, um integrierbarkeit zu zeigen

20.05.2013, 18:00

Che Netzer

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Ihr sollt die Funktion also auf Lebesgue-Integrierbarkeit überprüfen und sollt sie nicht zeigen?

Was dürft ihr denn bei der Integration verwenden? Dürft ihr Stammfunktionen bilden?

20.05.2013, 19:05

McClane

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Ich denke, dass wir Stammfunktionen bilden dürfen. Wir sollen angeben, ob die gegebenen Funktionen Lebesgue-integrierbar sind

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20.05.2013, 19:07

Che Netzer

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Na dann bilde mal die Stammfunktion...

Und gib die Aufgabenstellung mal etwas genauer wieder.
Was ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , welche Funktionen sind gegeben?

20.05.2013, 19:28

McClane

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Die Stammfunktion lautet $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung lautet, dass man die Funktion auf Lebesgue-integrierbarkeit überprüfen und gegebenfalls den Wert des Integrals angeben soll.

Mehr an Informationen ist nicht gegeben.

20.05.2013, 20:06

Che Netzer

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Und es ist nicht angegeben, was $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein soll? geschockt

geschockt

Naja, für $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ stimmt deine Stammfunktion z.B. nicht.

20.05.2013, 20:11

McClane

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Dort steht nur, dass alpha ein Element der reellen Zahlen ist

20.05.2013, 20:15

Che Netzer

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Das hättest du auch gleich sagen können.
Und welcher Definitionsbereich soll nun betrachtet werden?
Erst einmal $\begin{eqnarray*} \left]0,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ ?

Dann versuche mal, irgendeine Stammfunktion in Grenzen auszuwerten, die gegen Unendlich bzw. Null gehen.

21.05.2013, 13:50

Roap

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wenn man die Stammfunktion F(x) nimmt, die oben berechnet wurde, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\alpha \to 0}F(x)=x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{\alpha \to\infty }F(x)=\infty \end{eqnarray*}$

21.05.2013, 20:33

Che Netzer

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Aber $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sei jetzt eine feste Zahl. Die soll nicht gegen Null oder Unendlich gehen.

21.05.2013, 21:13

McClane

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Hmm. Ich hätte es genauso gemacht. Ich weiß nur nicht, wie man damit die lebesque integrierbarkeit zeigen soll unglücklich

unglücklich

21.05.2013, 22:00

Che Netzer

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Es heißt "Lebesgue", nicht "Lebesque".

Wenn wir als Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \left]0,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ betrachten, können wir als erstes feststellen, dass $\begin{eqnarray*} x^\alpha \end{eqnarray*}$ dort nichtnegativ ist, wir müssen also nur überprüfen, ob
$\begin{eqnarray*} \int_{\left]0,\infty\right[}x^\alpha\dx=\int_0^\infty x^\alpha\dx=\lim_{\substack{R\to\infty\\\varepsilon\to0}}\int_\varepsilon^Rx^\alpha\dx \end{eqnarray*}$
endlich ist.

21.05.2013, 22:29

McClane

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Ahh ok

Also allgemein zeigt man die Lebesgue-integrierbarkeit damit, dass der integrand nicht negativ ist und das Integral einen endlichen Wert besitzt?

21.05.2013, 22:31

Che Netzer

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Zitat:

Integrierbar ist deine Funktion jedenfalls für kein $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

28.05.2013, 17:24

RAOP

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haaaalt wie wo was.... xD
aber dann bestimmt man doch den GW wie zuvor geschrieben oder nicht?

koennt ihr mal die aufgabe so aufschreiben wi man es soll... ich verstehe was gemacht werden muss, aber nicht wie ich es aufschreiben soll -.-

waere lieb, sind ja nocxh ein paar Aufgaben die ich dann selbst mache.

Danke.

28.05.2013, 17:26

Che Netzer

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Wie weit bist du denn bisher gekommen?
Wie genau lautet die Aufgabenstellung (d.h. der Definitionsbereich); weißt du, was zu überprüfen ist?

28.05.2013, 17:33

RAOP

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bin noch der gleiche nutzer, also das was vorher geschrieben wurde war ich...

sry

28.05.2013, 17:36

Che Netzer

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Ja, du hast dich weder für einen Definitionsbereich entschieden noch einen eigenen Ansatz darstellen können.
Inwiewiet konntest du die Diskussion denn nachvollziehen und die Hinweise umsetzen?

28.05.2013, 17:41

RAOP

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn wir als Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \left]0,\infty\right[ \end{eqnarray*}$ betrachten, können wir als erstes feststellen, dass $\begin{eqnarray*} x^\alpha \end{eqnarray*}$ dort nichtnegativ ist, wir müssen also nur überprüfen, ob
$\begin{eqnarray*} \int_{\left]0,\infty\right[}x^\alpha\dx=\int_0^\infty x^\alpha\dx=\lim_{\substack{R\to\infty\\\varepsilon\to0}}\int_\varepsilon^Rx^\alpha\dx \end{eqnarray*}$
endlich ist.

Ja nur wie setze ich das nur um?

28.05.2013, 17:47

Che Netzer

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Kannst du denn das Integral ganz rechts bestimmen?

28.05.2013, 20:10

Bazingamen

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Hallo. Also bin auch an der Aufgabe dran mache es mal dann.

$\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{R\to\infty\\\varepsilon\to0}}\int_\varepsilon^Rx^\alpha\dx=\lim_{\substack{R\to\infty\\\varepsilon\to0}} \left. \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1} \right|_{\varepsilon}^{R}=\lim_{\substack{R\to\infty\\\varepsilon\to0}} \frac{R^{\alpha +1}}{\alpha+1}- \frac{\varepsilon^{\alpha +1}}{\alpha+1} \end{eqnarray*}$

Soweit hätte ich dann das Integral, jetzt der Grenzwert und anschließend?

28.05.2013, 21:03

Che Netzer

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Rechts wären noch Klammern zu setzen und der Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ ist zu beachten.

Existiert der Grenzwert denn?

28.05.2013, 21:16

McClane

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Der Grenzwert existiert nicht, da epsilon den rechten Term gegen Null gehen lässt und R den linken Term gegen etwas unendliches laufen lässt. Also existiert der Grenzwert nicht.

28.05.2013, 21:24

Che Netzer

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Das gilt aber nicht immer.
Als kleiner Hinweis: Etwas präziser hätte ich $\begin{eqnarray*} \varepsilon\searrow0 \end{eqnarray*}$ schreiben sollen.

28.05.2013, 21:24

Bazingamen

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$\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{R\to\infty\\\varepsilon\to0}} \frac{R^{\alpha +1}}{\alpha+1}- \frac{\varepsilon^{\alpha +1}}{\alpha+1} \end{eqnarray*}$

Kann man ja aufspalten zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} - \frac{\varepsilon^{\alpha +1}}{\alpha+1}=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{R \rightarrow \infty} \frac{R^{\alpha +1}}{\alpha+1}=\infty \end{eqnarray*}$

Also unendlich minus Null ist doch unendlich?

29.05.2013, 07:49

Bazingamen

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Zitat:

Original von Che Netzer
Als kleiner Hinweis: Etwas präziser hätte ich $\begin{eqnarray*} \varepsilon\searrow0 \end{eqnarray*}$ schreiben sollen.

Das ändert doch nicht viel an der Tatsache, bzw. was nützt mir denn das?

29.05.2013, 07:54

Che Netzer

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Das regt an, die Vorzeichen zu beachten.

29.05.2013, 09:01

Bazingamen

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Und wenn es mich nicht anregt und ich nicht weiß was ich damit erreichen soll/will ?

29.05.2013, 11:26

RAOP

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wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -1 ist, dann existiert kein GW.
Finde ich^^

29.05.2013, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von McClane
Es geht um integrierbarkeit. Am Ende soll der Wert des Integrals angegeben werden (Sofern integrierbar)

In einem zweiten Beispiel ist der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} ]0,1]->\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

In Hinblick darauf wäre vielleicht auch gleich für das erste Beispiel folgende "Strategie" überlegenswert: Man zerlegt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} x^{\alpha} ~ \dd x = \int\limits_0^1 x^{\alpha} ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^{\infty} x^{\alpha} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

und betrachtet getrennt die beiden Teilintegrale rechts, welche dann jeweils an nur noch einer Grenze "uneigentlich" sind, d.h. man muss sich pro Integral auch nicht mit doppelten Grenzwertbildungen herumschlagen. Dann kann man die Menge $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ derjenigen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmen, wo das erste Teilintegral konvergiert (samt Wertberechnung), sowie analog die Menge $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ derjenigen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , wo das zweite Teilintegral konvergiert (bei Bedarf ebenfalls samt Wertberechnung).

Dann ist $\begin{eqnarray*} A_1\cap A_2 \end{eqnarray*}$ die Menge der $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , für die das Gesamtintegral konvergiert, wobei es keine Überraschung sein sollte, wenn dies dann das schon mehrfach erwähnte

Zitat:

Original von Che Netzer
Integrierbar ist deine Funktion jedenfalls für kein $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

bestätigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und die Lösung der zweiten Aufgabe fällt als Nebenprodukt mit ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2013, 12:13

Bernhard1

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Damit die Aufgabenstellung etwas anschaulicher wird kann man die Fallunterscheidungen

$\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \textless \alpha \textless 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \textgreater 1 \end{eqnarray*}$

machen. Bei jedem einzelnen Fall prüft man leicht nach, dass das Integral divergiert und damit nicht existiert. Den Bereich

$\begin{eqnarray*} \alpha \textless 0 \end{eqnarray*}$

würde ich dann ebenfalls aufteilen und insbesondere den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = -1 \end{eqnarray*}$ genauer ansehen.

29.05.2013, 12:49

Hantel

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Ich folge der Anweisung von HAL 9000 und teile das Integral auf, um (a) und (b) parallel zu ermitteln:

$\begin{eqnarray*} (i) \lim_{R \rightarrow 0}\int_R^1 x^{\alpha} = \lim_{R \rightarrow 0} \frac{1}{1+\alpha}x^{1+\alpha} \vert_R^1 = \frac{1}{1+\alpha}, \forall \alpha \in \mathbb{R} \setminus \lbrace -1 \rbrace. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) \lim_{R \rightarrow \infty}\int_1^R x^{\alpha} = \lim_{R \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\alpha}x^{1+\alpha} \vert_1^R= \infty, \forall \alpha \in \mathbb{R}. \Rightarrow f \notin L^p, g \in L^p \, \forall \alpha \in \mathbb{R} \setminus \lbrace -1 \rbrace. \end{eqnarray*}$

Ist das so formulierbar? VG.

29.05.2013, 14:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hantel
$\begin{eqnarray*} (i) \lim_{R \rightarrow 0}\int_R^1 x^{\alpha} = \lim_{R \rightarrow 0} \frac{1}{1+\alpha}x^{1+\alpha} \vert_R^1 = \frac{1}{1+\alpha}, {\color{red} \forall \alpha \in \mathbb{R} \setminus \lbrace -1 \rbrace}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) \lim_{R \rightarrow \infty}\int_1^R x^{\alpha} = \lim_{R \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\alpha}x^{1+\alpha} \vert_1^R= \infty, {\color{red} \forall \alpha \in \mathbb{R}}. \Rightarrow f \notin L^p, g \in L^p \, \forall \alpha \in \mathbb{R} \setminus \lbrace -1 \rbrace. \end{eqnarray*}$

Ist das so formulierbar? VG.

Nein, ist es nicht - denn die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Bereiche hast du völlig vergurkt. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} (i) \lim_{R \rightarrow 0}\int_R^1 x^{\alpha} = \lim_{R \rightarrow 0} \frac{1}{1+\alpha}x^{1+\alpha} \vert_R^1 = \frac{1}{1+\alpha}, {\color{red} \forall \alpha \in (-1,\infty)}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) \lim_{R \rightarrow \infty}\int_1^R x^{\alpha} = \lim_{R \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\alpha}x^{1+\alpha} \vert_1^R = {\color{red} -\frac{1}{1+\alpha}, \forall \alpha \in (-\infty,-1)} \end{eqnarray*}$ ,

und Divergenz sonst.

29.05.2013, 16:01

Bazingamen

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das gilt aber nicht immer.
Als kleiner Hinweis: Etwas präziser hätte ich $\begin{eqnarray*} \varepsilon\searrow0 \end{eqnarray*}$ schreiben sollen.

Kann mir vielleicht jemand vielleicht im Schnelldurchlauf erläutern, was ab hier getan wurde, kann das nicht ganz nachvollziehen.

Mfg Bazingamen

30.05.2013, 14:02

RAOP

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hmmm ich weiß jetzt auch nicht so ganz was ich machen soll...
also diese Fallunterscheidungen und wenn ALLES divergiert, dann ist die Fkt. nicht Lebesgue-integrierbar?

Also wie Telefonmann1 schon geschrieben hat divergieren alle Fälle.

nur bei $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ ist gar nicht definiert, da unterm Bruch eine Null stehen würde... ?!?!?!!!!!

30.05.2013, 14:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von RAOP
nur bei $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ ist gar nicht definiert, da unterm Bruch eine Null stehen würde... ?!?!?!!!!!

Es sollte bereits aus Schulzeiten hinlänglich bekannt sein, und wurde überdies auch schon im Thread betont, dass im Sonderfall $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion NICHT $\begin{eqnarray*} \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \end{eqnarray*}$ lautet. Sondern

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x} ~ \dd x = \ln|x| \end{eqnarray*}$ .

30.05.2013, 14:20

RAOP

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Achso ja okay stimmt.. danke...

aber mehr muss man nicht machen?

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