Algebraischer Abschluss

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraischer Abschluss
Ich mal wieder. Augenzwinkern

Gegeben ist ein endlicher Körper .

Ich betrachte nun die Menge der normierten irreduziblen Polynome (in einem endlichen Körper sind diese ja abzählbar) .

Nun definiere ich mir einen "Turm" von Körperweiterungen:



so dass und für jeweils ein Zerfällungskörper von über ist.

Die Vereinigung dieser Zerfällungskörper soll nun ein algebraischer Abschluss von sein.

Das wäre ja erfüllt, wenn jedes algebraisch über ist und zudem algebraisch abgeschlossen ist.

Letzteres ist glaube ich klar, denn wenn ich mir irgendein hernehme, mit Koeffizienten aus , dann gibt es ja schon irgendein , das auch all diese Koeffizienten enthält (dort kann ich das Polynom dann auch normieren, also den Leitkoeffizienten ausklammern), also und dieses Polynom zerfällt dann über in Linearfaktoren, also auch in , da in enthalten ist. Oder habe ich da etwas gehörig missverstanden?

Und nun müsste ich noch irgendwie zeigen, dass jedes algebraisch über ist, also dass es ein gibt mit ?

Anm: Wenn mein gewähltes f zunächst nicht irreduzibel ist, kann ich es ja erstmal entsprechend faktorisieren und normieren und gucke mir dann an, was als "irreduzibler Teil" übrigg bleibt, diesen Gedanken halt bei meinem Geschreibsel dazudenken.

Edit: Ich überleg grad... dass überhaupt ein Körper ist, dazu sollte man vielleicht auch noch ein Wörtchen verlieren, oder? Aber das seh ich dann, das soll wohl nicht die allergrößte Hürde darstellen.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

1) man sollte ein Wort darüber verlieren, dass das konstruierte Objekt tatsächlich ein Körper ist. Lässt sich aber leicht nachrechnen.

2) zu algebraisch abgeschlossen: Dass ist, soweit bin ich dabei.
Wieso aber sollte f ausgerechnet in zerfallen?
Wieso überhaupt, f ist ja nicht notwendig ein Produkt der , zerfällt f überhaupt. Bin mir grade nicht sicher ob/wie man dieses Problem reparieren kann.

3) Du musst nicht zeigen, dass jedes einzelne algebraisch ist. Geh's globaler an, zeige dass die Erweiterung algebraisch ist, dank der Transitivität von algebraisch.

Ist dir die Konstruktion vorgegeben? Falls nicht,
ist meines Erachtens beweistechnisch deutlich angenehmer.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
2) zu algebraisch abgeschlossen: Dass ist, soweit bin ich dabei.
Wieso aber sollte f ausgerechnet in zerfallen?

Hmm, irgendeinen Zerfällungskörper muss f ja haben, oder?

f muss nicht ein Produkt der sein, nein. Aber ich kann ein Polynom doch erstmal faktorisieren (also alle möglichen Linearfaktoren abspalten) und auch normieren. Und dann habe doch ggf. noch irgendeinen "irreduziblen" Anteil übrig, also ein Produkt irgendwelcher jeweils irreduzibler .

Aber du hast Recht, ich war da schlampig. Es kann sich ja ein Produkt von mehreren irreduziblen Faktoren ergeben bei der Faktorisierung von f, das hatte ich zunächst ignoriert. Deswegen ist in der Tat kein guter Kandidat im Moment. Aber dazu muss ich doch in dieser aufsteigenden Kette auch irgendwo einen Zerfällungskörper finden können, oder? Falls dessen Existent nicht gewährleistet ist, komme ich an dieser Stelle nicht mehr mit.

Zitat:
Original von watcher
3) Du musst nicht zeigen, dass jedes einzelne algebraisch ist. Geh's globaler an, zeige dass die Erweiterung algebraisch ist, dank der Transitivität von algebraisch.

Okay, schaue ich mir mal an.

Zitat:
Original von watcher
Ist dir die Konstruktion vorgegeben? Falls nicht,
ist meines Erachtens beweistechnisch deutlich angenehmer.

Hm, in der Aufgabenstellung werden die allgemein gehalten. Also die sind wohl so vorgegeben. Den Fall mit den hatte ich im Netz schon gefunden, dachte aber, ich müsse es hier allgemein halten. Diese sind halt (rekursiv) so definiert wie oben angegeben.

Danke dir schon mal.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber dazu muss ich doch in dieser aufsteigenden Kette auch irgendwo einen Zerfällungskörper finden können, oder? Falls dessen Existent nicht gewährleistet ist, komme ich an dieser Stelle nicht mehr mit.


Folgende Idee:
Der Zerf.körper von f über ist ein endlicher Körper, als solcher eine endliche Erweiterung über K (da müsste man wohl noch etwas argumentieren), diese ist erzeugt von einem Polynom (Erweiterungen von endlichen Körpern sind einfach) also irgendwo im Turm drin.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage an dieser Stelle:

Zitat:
Original von watcher
(Erweiterungen von endlichen Körpern sind einfach)

Gilt das nicht nur für separable endliche Körpererweiterungen?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich formulier das
Zitat:
Erweiterungen von endlichen Körpern sind einfach

mal eindeutiger:
Erweiterungen mit sind immer einfach, da separabel, denn endliche Körper sind vollkommen/perfekt.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, das war also schon auf endliche Körper gemünzt. Alles klar, danke. smile
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Erweiterungen mit sind immer einfach, da separabel, denn endliche Körper sind vollkommen/perfekt.

Das so zu formulieren, finde ich etwas irreführend. Zumindest mir bekannte Beweise für die Einfachheit von separablen endlichen Erweiterungen funktionieren nur für unendliche Körper.
Für endliche Körper kann man immer einen Erzeuger der zyklischen Einheitengruppe des größeren Körpers nehmen.
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