Dimension von Teilräumen bestimmen

20.05.2013, 18:05

Freedom Wizard

Dimension von Teilräumen bestimmen

Hallo, ich stehe bei folgender Aufgabe an: Es sei K ein Körper und U, W Teilmengen des K^n über K:

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \in K^{n} : x_1 + ... + x_n = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \in K^{n} : x_1 - x_2 + x_3 - ... + (-1)^{n-1}x_n = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits gezeigt, dass U und W Teilräume sind und soll nun die Dimensionen von U, W, (U n W) und (U + W) bestimmen und dann schauen, ob K^n = U verknüpft mit W ist. Leider komme ich nicht darauf, wie ich die Dimension bestimmen sollte. Klar, man kann schauen, wie viele Basisvektoren man braucht um den Teilraum aufzuspannen, aber auch da komme ich zu keinem Ergebnis. Würde mich über Hilfe freuen.

20.05.2013, 18:12

watcher

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Hallo,

eine Idee wäre es U, W als Kerne von linearen Abb. zu schreiben und die Dimension mittels Dimenssatz und Rang der darstellenden Matrix der Abb. zu bestimmen.

Der Ansatz Basen der Räume zu bestimmen ist aber auch ein machbarer Weg.
(wobei das natürlich einfacher geht, wenn man einen Verdacht bzgl. der Dimension hat.)

Zitat:

K^n = U verknüpft mit W

Was soll hier "verknüpft" bedeuten?

20.05.2013, 18:42

Freedom Wizard

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Bei linearen Abbildungen sind wir noch nicht, sollte also auch ohne Matrizen lösbar sein.

Mit dem "veknüpft" meinte ich die "veränderte Addition", also die direkte Summe.

20.05.2013, 18:47

watcher

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Dann bleibt dir nichts anderes übrig als Basen zu finden.
Tipp: Beide haben Dimension n-1.

Zitat:

Mit dem "veknüpft" meinte ich die "veränderte Addition", also die direkte Summe.

Dann nenn es bitte auch direkte Summe. Das ist die exakte Bezeichnung, die anderen Sachen sind komische unpräzise Umschreibungen.
$\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$

20.05.2013, 19:37

Freedom Wizard

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Na gut, wenn die Dimension (n-1) ist, habe ich für U als eine Teilmenge des R^n folgende Basisvektoren gefunden, ich glaube da sieht man auch eine Bildungsvorschrift für die Basisvektoren des R^n.

R^2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , R^3: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , R^4: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für W muss an den geraden Listeneinträgen das Vorzeichen ändern, also

R^2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , R^3: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , R^4: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Frage zur Berechnung von dim(U n W) bzw. dim(U + W) habe ich, denn wir haben das leider nicht an einem Beispiel gemacht. Wie gehe da am Besten vor?

20.05.2013, 19:41

watcher

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Die Basen sehen bis jetzt ganz gut aus.

Zitat:

Eine Frage zur Berechnung von dim(U n W) bzw. dim(U + W) habe ich, denn wir haben das leider nicht an einem Beispiel gemacht. Wie gehe da am Besten vor?

Indem du zuerst $\begin{eqnarray*} U \cap W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U+W \end{eqnarray*}$ berechnest.

20.05.2013, 19:46

Freedom Wizard

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Schon, aber genau da ist die Schwierigkeit. Wie kann ich denn beispielsweise zu einer Ebene als 2-dimensionalen Teilraum eine Gerade als 1-dimensionalen Teilraum dazu addieren?

20.05.2013, 19:56

watcher

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Zitat:

Wie kann ich denn beispielsweise zu einer Ebene als 2-dimensionalen Teilraum eine Gerade als 1-dimensionalen Teilraum dazu addieren?

Das ist hier nicht der Fall, beide Räume haben die selbe Dimension.
Wie man Vektorräume addiert steht in deinem Skript, irgendwo vor der Def. der direkten Summe.

P.S. Hab ich jetzt eigentlich schon Halluzinationen? Der Thread war doch im Hochschulbereich (wo er ziemlich sicher auch hingehört, welche geniale Schule macht direkte Summe?) ? Wieso ist er jetzt im Schulbereich?

20.05.2013, 23:17

Freedom Wizard

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Hm. Habe mir mal den Durchschnitt angesehen, der sicherlich mehr als den Nullvektor enthält, wie man oben an den Basisvektoren auch sieht. Beim R^2 ist die Dimension 0, beim R^3, R^4 und R^5 ist die Dimension 1, beim R^6 dann wieder 2. Wenn man die hat, könnte man mit der Dimensionsformel gleich die von U+W ausrechnen. Aber allgemein kann ich sie nicht sagen.

Hatte die Aufgabe versehentlich im Bereich Schulmathematik gepostet, da war sie von Anfang an...

21.05.2013, 08:04

watcher

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Ihr habt die Dimensionsformel, aber keine linearen Abbildungen? verwirrt

Dann geht's viel einfacher:
Zeige $\begin{eqnarray*} U+W=K^n \end{eqnarray*}$ , außer im Fall n=2.
(das geht bei deiner Darstellung relativ einfach; nimm den ersten Basisvektor von W zu deiner Basis von U)

Dimensionsformel liefert die Dimension des Schnitts, das zeigt auch, dass die Berechnung ab n=3 falsch waren.

21.05.2013, 11:16

Freedom Wizard

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Alles klar. Dann ist die Dimension des Durchschnitts n-2. Es gab bei dieser Aufgabe noch zwei weitere Teilaufgaben:

a) Gilt: $\begin{eqnarray*} K ^{n} = U\oplus W \end{eqnarray*}$ ?: Dies gilt demnach allgemein nicht, weil der Durchschnitt eben mehr als den Nullvektor enthält. Für den Fall n=2 sollte es aber richtig sein.

b) Was ändert sich, wenn man $\begin{eqnarray*} K = F_2 \end{eqnarray*}$ wählt (wobei $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ den Körper mit zwei Elementen bezeichnet)? U, W sind weiterhin Teilräume und haben Dimension n-1. Aber die Basisergänzung funktioniert nicht, da das System dann linear abhängig wäre. Wäre dann die Dimension von U+W gleich n-1, sowie die Dimension von U n W gleich n-1?

Verknüpfungstabelle $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \oplus & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

21.05.2013, 20:55

watcher

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Zur a): Ja.

zur b) auch richtig gerechnet, das folgt sehr schnell aus der Tatsache, dass -1=1 in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$

P.S. Mouse-over zeigt dir hier den LaTeX-Quellcode an. Da sieht du wie man z.B. den Schnitt zweier Mengen sauber schreiben kann.

21.05.2013, 21:06

Freedom Wizard

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Alles klar! Dann vielen Dank für deine Mithilfe! LG

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