Lineare Unabhängigkeit

20.05.2013, 20:21

Algebraundmehr

Lineare Unabhängigkeit

Ich hoff ihr könnt mir helfen.^^

Es geht um die Lineare unabhängigkeit von Zwei Vektoren bzw. Teilmengen. Ich kann auch bei 2 Vektoren einfach eine erweiterte Koeefizientenmatrix machen oder und diese dann ebend nach Gauß zur Stufenform bringen um dann von unten nach oben jede Variable bestimmen? Bin mir ebend unsicher, ob es mit zwei auch möglich ist, da es ja eigentlich keine richtige Stufenform ist.^^

Bei z.b. der Teilmenge {(1,2,3),(1,2,-3)}

folgt folgende Koeffizientenmatrix (Linearkombination beider Vektoren gleich Null gesetzt!):

1 1
2 2
3 -3

Daraus folgt:

1 1
0 0
0 -6

20.05.2013, 20:47

Kasen75

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Hallo,

für welchen Wert von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist denn jetzt die letzte Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x_1-6x_2=0 \end{eqnarray*}$ gültig ?

Edit: Ansonsten stimmt alles.

Grüße.

20.05.2013, 21:00

Algebraundmehr

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Ich habe von unten nach oben das LGS nacheinander gelöst bzw. danach die jeweiligen Werte eingesetzt (Ich hoffe du verstehst was ich meine).

Dabei kommt heraus:

y=0 und x=lambda, wobei sie nur Linear Abhängig sind wenn lambda =0 ist!

richtig ?

20.05.2013, 21:07

Kasen75

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Wenn du die Variablen mit Lamda bezeichnest, dann gibt es zwei Lambdas: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, ist $\begin{eqnarray*} \lambda_2 =0\ \ \checkmark \end{eqnarray*}$

Was genau ist dann der Wert für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ bei dir ?

20.05.2013, 21:14

Algebraundmehr

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Vorbetrachtung: 1 Spalte sei x und die 2. Spalte sei y!

Aus

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

folgt

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix}

Lineare Gleichungssysteme lauten:

I) x+y=0
II) 0x+0y=0
III) -6y=0

Lösen der LGS von unten nach oben:

y=0
(y=0 einsetzten in II) 0x=0 -> x=lambda (Für Lineare abhängigkeit sei lambda=0)
x+y=0 (Nur erfüllt, für lambda=0)

Etwa falsch?

20.05.2013, 21:16

Algebraundmehr

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sorry für den Doppelpost. Ich meine:

Vorbetrachtung: 1 Spalte sei x und die 2. Spalte sei y!

Aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lineare Gleichungssysteme lauten:

I) x+y=0
II) 0x+0y=0
III) -6y=0

Lösen der LGS von unten nach oben:

y=0
(y=0 einsetzten in II) 0x=0 -> x=lambda (Für Lineare abhängigkeit sei lambda=0)
x+y=0 (Nur erfüllt, für lambda=0)

Etwa falsch?

20.05.2013, 21:32

Kasen75

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Zitat:

(Für Lineare abhängigkeit sei lambda=0)

Das kommt mir ein bisschen spanisch vor. Was soll das bedeuten?

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn nur die triviale Lösung möglich ist. Somit dürfen die beiden Variablen nur den Wert 0 annehmen.

Deine Rechnung ist im Prinzip richtig.

x=0 und y=0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{Vektoren linear unabhängig} \end{eqnarray*}$

Du musst dich nur für 2 Variablen entscheiden.

Entweder x und y

oder $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$

Üblicherwiese nimmt man die Lambdas bei der Überprüfung von linearer Abhängigkeit.

Somit wäre deine erste Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$
usw.

Damit kommst du dann auch auf $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt natürlich auch lineare Unabhängigkeit. Es sind ja nur andere Variablenbezeichnugnen.

20.05.2013, 21:41

Algebraundmehr

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x=Lambda sei 0 gewählt, damit die Teilmengen linear abhängig sind! Ansonsten ist nicht x+y=0 erfüllt! Und folglich gilt für lambda ungleich 0 lineare unabhängigkeit,

Das ist doch korrekt oder?

Und wenn ich als Linearkombination x und y verwende und lambda1 als lösung von x, ist das doch auch korrekt?

Du hast mich jetzt etwas verwirrt, da ich ausgegangen bin, meine lösung sei richtig.

20.05.2013, 21:44

Algebraundmehr

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Zitat:

Original von Kasen75

Deine Rechnung ist im Prinzip richtig.

x=0 und y=0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{Vektoren linear unabhängig} \end{eqnarray*}$

Wenn x=y=0 ist, dann sind die Vektoren linear abhängig und nicht linear unabhängig oder? ich denke du täuscht dich da.

20.05.2013, 22:15

Amplitude

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Zitat:

Original von Algebraundmehr

Zitat:

Original von Kasen75

Deine Rechnung ist im Prinzip richtig.

x=0 und y=0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{Vektoren linear unabhängig} \end{eqnarray*}$

Wenn x=y=0 ist, dann sind die Vektoren linear abhängig und nicht linear unabhängig oder? ich denke du täuscht dich da.

Bist wahrscheinlich in derselben Vorlesung. Hab die gleiche Aufgabe und wollte ebend auch etwas dazu fragen. xD

Bezüglich deiner Aussage. Ja, das ist korrekt.

20.05.2013, 22:22

Kasen75

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Zitat:

Wenn x=y=0 ist, dann sind die Vektoren linear abhängig und nicht linear unabhängig oder? ich denke du täuscht dich da

Wenn die einzige Lösung x=y=0 ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig, da du den einen Vektor nicht als Linearkombination des anderen Vektors darstellen kannst.

Letztendlich musst du nur das Gleichungssystem mit zwei Variablen (egal wie du sie nennst) lösen. Gibt es nur die Lösung, dass beide Variablen den Wert 0 annehmen, dann sind die beiden Vektoren linear unabhägig.

Zitat:

Und wenn ich als Linearkombination x und y verwende und lambda1 als lösung von x, ist das doch auch korrekt?

Wenn dann $\begin{eqnarray*} \lambda_2=y \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das im Prinzip ok.

20.05.2013, 22:27

Algebraundmehr

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huhu amplitude smile

ich habe gelesen das vektoren nur linear abhängig sind wenn die einzelnen variablen denselben wert besitzen. warum sind dann die vektoren nicht linear abhängig wenn die variablen der lgs alle 0 sind ?

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