Tschebyscheff-Markov-Ungleichung

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nix Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff-Markov-Ungleichung
Meine Frage:
Ich finde keinen Ansatz zur folgenden Aufgabe:

Es werde mit einem idealen Würfel n-mal gewürfelt. Die Zufallsvariable
Xn zähle, wie oft dabei eine Sechs aufgetreten ist. Bestimmen Sie unter Benutzung der Tschebysche ff-Markov-Ungleichung ein möglichst kleines , so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 gilt.


Meine Ideen:
Wir haben im Skript die Ungleichung so notiert



mit epsilon und gamma Konstanten >0 und X reelwertige Zufallsvariable
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, einfach anwenden auf und , was dann Tschebyscheff in seiner gewohnten Form liefert:



In deinem Fall geht es um die binomialverteilte Zufallsgröße , was u.a. und bedeutet.

Damit wird deine Doppelungleichung nach Subtraktion von zu



also bei Wahl von . Das sollte nun aber reichlich Starthilfe sein.


Anmerkung: Die Formulierung

Zitat:
Original von nix
so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 gilt.

kann übrigens als



missverstanden werden, was hier sicher nicht gemeint ist, und übrigens auch nicht erfüllbar ist. Gemeint ist hier stattdessen

. Augenzwinkern
nix Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es auch ohne das gehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt1

Dann sag mal an, was du dir da vorstellst.
nix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe versucht es damit durchzuspielen. Mir ist klar, dass die Zufallsvariable Binomialverteilt ist und ich dann diesen Erwartungswert und diese Varianz habe. Das wusste ich bereits...aber Ich komme mit der Doppelungleichung nicht so ganz klar...also du schreibst nach Subtraktion mit E(Xn)....das verstehe ich nicht. Ich wäre jetzt so weit:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe lediglich versucht klarzumachen, wie man das in der Aufgabenstellung angegebene



äquivalent in



umformt. Wenn du das nicht begreifst, dann sag das doch in deutlichen Worten statt mit so einem befremdlichen "Würde es auch ohne das gehen?"


Denn nein, es geht nicht ohne, schließlich taucht diese Differenzstruktur nun mal im Betrag auf. unglücklich
 
 
nix Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ich zumindest das verstanden ;-)

Hätte ich also dann das hier?

nix Auf diesen Beitrag antworten »

Und damit kriege ich n=32400 raus...

Vielleicht kannst du mir noch sagen, ob ich nun wieder völlig falsch liege...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich auch raus. Aber das Ergebnis richtig einordnen:

Mit Tschebyscheff ergibt sich, dass die geforderte Eigenschaft hat - aber: Es ist nicht das kleinste mit

,

nur eben das kleinste, welches sich mit der groben Tschebyscheff-Ungleichungsabschätzung erzielen lässt. Augenzwinkern
nix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schon wieder eine Tschebycheff-Markov-Aufgabe ;-)

Schon wieder bin ich mir bei dem Ansatz unsicher, also bitte ich nochmals um Hilfe:

Für eine Partei ist bekannt, dass sie in der Wählergunst zwischen 25% und 35% liegt. Die Parteichefi n will bei der anstehenden Wahl nur dann als Spitzenkandidatin antreten, wenn ihre Partei mit mindestens 30% der Stimmen (aller Wahlberechtigten) rechnen kann. Um genauer zu ermitteln,
wie populär ihre Partei ist, lässt sie eine Umfrage durchführen, bei der eine repräsentative Auswahl an Personen nach ihrem voraussichtlichen Abstimmungsverhalten gefragt wird. Von Interesse ist
dabei, wie groß die Anzahl n0 der Teilnehmer an der Umfrage mindestens sein muss, damit die relatove Häufigkeit an Stimmen für die Partei bei der Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% um weniger als 1% von der Wählergunst abweicht.

Bestimmen Sie unter Benutzung der Tschebysche -Markov-Ungleichung eine möglichst kleine obere Schranke für n0.


Also ich denke, dass es sich wieder um eine Binominalverteilung handelt und habe daher die Ungleichung so aufgestellt:

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