(Taylor)Reihen- und DGL-Aufgaben

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Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »
(Taylor)Reihen- und DGL-Aufgaben
Hallo Leute.

Ich bins mal wieder smile
Das nächste Mathepraktikum steht an und unsere Dozentin ist auch pünktlich zu der Woche krank geworden sodass man jede Hilfe aus der Richtung vergessen kann.
Leider sind auch Ihre Skriptfolien alles andere als wirklich aussagekräftig...
Also ist meine einzige Hoffnung mal wieder hier Hilfe zu finden.
Dieses mal ist es leider nicht nur 1 Aufgabentyp der mir Probleme bereitet sondern gleich mehrere unglücklich

Die [spoiler][/spoiler] Funktion scheint leider nicht zu funktionieren sonst würde ich den, doch etwas längeren Post, etwas übersichtlicher machen...wenn wer weiß wie man hier Texte verstecken kann bitte bescheid sagen dann editier ich das rein.

Bestimmung des Konvergenzradius bei Potenzreihen

Da wir das im Unterricht nur geschätzte 10min behandelt haben musste ich mich im Internet nen bissle schlau machen.
Auf folgende Formeln bin ich dafür gestoßen:
I:
II:

Nach nen paar Beispielen hab ich das glaub ich einigermaßen verstanden...
1a)


Jetzt hab ich das so verstanden, dass der Teil ohne das x mein a_n-Teil ist von Formel I.
Also: und damit
Eingesetzt in II:
Wenn ich da jetzt einsetze wird der Bruch ja zu 1 und es kommt 2 raus.
Mit x=2 jetzt in die Betrachtung mit I:

Dürfte divergieren... bei x=-2 kommt -k-2 raus welches ebenfalls divergieren dürfte oder?

1b)



Wieder in I eingesetzt:

Das dürfte doch auch divergieren oder?
Generell bin ich mir bei der Aufgabe nicht so sicher ob das so stimmt :/

1c)


So hier hab ich keine Ahnung wie ich das x isolieren soll um auf die Form von I zu kommen....unglücklich

Entwickle die folgenden Funktionen an der Stelle x_0 in eine Taylorreihe:
2a)

Ich hab das ganze mal 3x abgeleitet und daraus folgt diese Taylorreihe:


So jetzt soll man das allerdings mithilfe eines Summenzeichens ausdrücken...leider erkenne ich da kein Schema um dies zu tun...das gleiche Problem ergibt sich für die 2 Folgenden Aufgaben....

2b)

Nach 4x ableiten komm ich auf folgende Reihe:

Auch hier bin ich zu blöd nen System zu erkennen....

2c)

Wieder 4x abgeleitet:

Ich erkenne zwar nen gewisses Schema aber zu ner Form mit Summenzeichen krieg ich es irgendwie nicht hin...


Als nächstes sind 4 Funktionen angegeben zu denen man die ersten 4 nicht verschwindenden Glieder der Taylorreihe angeben soll.

Bei der Aufgabe weiß ich nichtmal wirklich was ich genau machen soll...ich könnte jetzt 4x ableiten aber wie gehts weiter?

DGLs lösen
Mit denen komme ich noch am besten klar....allerdings habe ich auch hier bei einer nen Problem:
1a)

Lösung mit TdV:


1b)

Wieder TdV (bin mir allerdings bei dieser nicht ganz so sicher)


1d)

Nochmal TdV:


1c)

So hier krieg ich nach TdV das ganze bis zu folgender Stelle vereinfacht:

Ich krieg für eine Lösung das Y aber leider nicht isoliert :/


So erstmal vielen vielen Dank für die Aufmerksamkeit (is ja doch was mehr Text).
Ich wäre wirklich dankbar wenn mir jemand bei den Aufgaben ein wenig helfen könnte.

Danke schonmal vorab,
mfg Monkey101
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme bei (Taylor)Reihen- und DGL-Aufgaben
Wink

verregnete Grüße aus Thüringen

Ich hab mir mal den Punkt Differentialgleichungen gegriffen

Aufgabe a : Lösung ist richtig

Aufgabe b: habe ich folgendes:



Aufgabe c: Lösung ist richtig
(PS: kann nicht weiter umgeformt werden , sowas gibt es bei Differentialgleichungen
als Lösung)

Aufgabe d : habe ich folgendes:





zu Bestimmung des Konvergenzradius bei Potenzreihen
a und b habe ich auch so den Wert

c kann durch das Wurzelkriterium z. B gelöst werden
Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Erstmal vielen Dank für die Antwort smile

Zur DGL 1d):
Da komm ich immernoch auf was anderes ich schreib mal den Rechenweg von mir rein:

Aus der Mathe-Formelsammlung von Papula hab ich auf S.131 folgendes gefunden:

Damit folgt dann:

Ist da irgendwo nen Fehler drin?

Zur 1b):
Da hab ich leider blind nem Integralrechner aus dem Internet vertraut...fakt ist leider das ich Brüche nicht mehr integrieren kann...ich saß da heute ne Stunde dran und kam nicht mehr drauf unglücklich

Muss ich das mit Partialbruchzerlegung machen? Nee oder?

Das ich das mit dem Radius einigermaßen verstanden hab freut mich smile
Die c) werd ich gleich mal mit dem Wurzelkriterium probieren...muss mich da eben nochmal einlesen.

Wäre schön wenn du nochmal gucken könntest.
Danke wieder vorab.

mfg Monkey101
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

zu 1d)

kein Fehler

Generell gilt bei Differentialgleichungen:

Die Konstante auf der linken Seite wird weggelassen und mit nur einer Konstante
auf der rechten Seite gerechnet. So hab ich es gelehrt bekommen.
Oder besser gesagt die 2 Konstanten werden zu einer zusammengefasst.


Es gilt allgemein:




zu b)

Partialbruchzerlegung ist nicht nötig.

Man kann ja die x+2 aus Zähler und Nenner kürzen.





Entwickle die folgenden Funktionen an der Stelle x_0 in eine Taylorreihe:

Ich komme auf folgende Ergebnisse:

a.)





b) stimmt



c) stimmt



Um auf die Summenformel zu kommen ,muss man sich die einzelnen Glieder in Ruhe anschauen und dann sehen, wie kommt man von einem zum anderen Glied

Ein Vorzeichenwechsel wird zum Beispiel durch



ausgedrückt

Hier mal ein Beispiel , wo man sehen kann, wie so eine Summenformel entsteht:

Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Danke für die schnelle Antwort smile

Auf die Idee den Bruch einfach mal zu kürzen bin ich Trottel garnicht gekommen Hammer
Wir haben das mit den Konstanten so gelernt das die direkt nach der Integration auf einer der Seiten zusammen gepackt werden...spielt ja im Endeffekt auch keine Rolle mehr ob es * oder / ist am Ende kann ja, je nach dem, auch nen Kehrwert einsetzen und komm aufs selbe raus.

Dann Dankeschön dann wäre der DGL-Teil abgehackt.

Zu der Konvergenzradiusaufgabe mit dem Wurzelkriterium wäre nen kleiner Denkanstoß noch nett.
Käme mit dem Wurzelkriterium (wenn ich es richtig angewendet hab) auf folgendes:

Soll ich das jetzt nach x auflösen?
Ich hab ja so jetzt keine Angaben für a_k und a_k+1 und kriegs auch nicht in die Form für
Oder einfach nach x auflösen un die Werte dann in die Ausgangsgleichung einsetzen?

Danke wieder vorab ich gucke heute abend wieder rein.

Mit freundlichen Grüßen,
Monkey101
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

der Wert stimmt , brauchst nichts weiter machen.
für| 2+x|^2 < 2 konvergiert diese Reihe.

Die Antworten zu den Taylorreihen siehe bitte letzten Eintrag.


PS:
hier mal ein Link zu "nicht verschwindenden Glieder der Taylorreihe"

] Taylorreihen B Man bestimme die Taylorreihe zur Funktion f(x) = 1 ...

Vielleicht erkennst Du, was gemeint ist.
 
 
Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Wieder Danke für die Antwort smile

Gut dann kann ich den Konvergenzradius auch abhacken.

Zu den Taylorreihen.
Für Aufgabe c) ist es mir tatsächlich gelungen die Summenformel genau wie deine aufzustellen.

Bei Aufgabe a) komme ich auch jetzt auf die gleiche Reihe (hatte den Taschenrechner nicht auf Bogenmaß gestellt).
Nur zeigt mein Taschenrechner mir die Brüche nicht an sondern nur die Zahlen was es erschwert nen Schema zu erkennen.
Auf die Summenformel komm ich allerdings nicht.
Auch mit deiner Formel krieg ich nicht das richtige raus unglücklich

Für n=0 => 1/2
Für n=1 => 1/2 (x-pi/3)
Für n=2 => 1/4 (x-pi/3)²
Für n=3 => 0,083333 (x-pi/3)³

Auch bei der b) komm ich mit deiner Summenformel nicht auf die Reihe...

Für n=0 => 0
Für n=1 => 1
Für n=2 => 1,414 (x-1)²
Für n=3 => 1,73 (x-1)³
Wenn ich mich jetzt nicht irgendwo vertan hab.

Die Reihe war ja:


Das System was ich erkenne ist der Vorzeichenwechsel (also ) und das die Nenner der Brüche sich immer abwechselnd mit 2,4,2,8,2,4,2,8 multiplizieren.
Leider krieg ich das nicht in nen Summenzeichen und selbst wenn würden mir noch die Zähler zu schaffen machen die ja ab n=4 1 werden...

Ich bin echt kein Freund von Reihen & Co ...was wünsch ich mir die Vektorrechnung zurück...

Den Link mit den verschwindenden Gliedern guck ich mir jetzt mal an.

Danke wieder vorab.

Mit freundlichen Grüßen,
Monkey101
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

zu a)

Es heißt n! (n Fakultät) , Du hast das ! vergessen


zub)

Das ist ein Binominalkoeffizient , schauh nochmal

Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

Zu a) hatte das "!" in der Formel vergessen.
Aber wenn ich die Werte durch den Taschenrechner jage kommen die Werte die ich oben gepostet habe raus.

Zu b) von dem hab ich noch nie was gehört verwirrt

Hab aber folgende Formel gefunden:

Aber da gibts doch dann Probleme mit (1/2)! oder?

Hab mir auch den Link angeguckt und es glaub ich halbwegs verstanden.
Das Problem ist nur das unsere Dozentin nur die Funktionen ohne Entwicklungspunkte angegeben hat.
Soll man das dann als Mac Lauren-Reihe interpretieren und einfach x0=0 nehmen?

Danke wieder vorab,

mfg Monkey101
Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok nochmal zu b).
Deine Lösung ist völlig richtig.
Aus irgendeinem Grund will mein Taschenrechner keine gebrochenen Fakultäten akzeptieren(kommt immer "Mathe-Fehler") :/
Habs jetzt mitm Google-Rechner durchgerechnet und komme genau auf die Werte smile

Bei der a) spuckt er immernoch die oben geposteten Werte aus.
Ich muss jetzt leider weg werds aber nachher nochmal mit dem Google-Rechner probieren.

Mit freundlichen Grüßen,
Monkey101
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

zu a)

Der Sinusteil in der Summenformel muß am Ende sein:




alles andere in der Summenformel bleibt.

Dann stimmt alles .

Zu Deiner Frage:

Das Problem ist nur ,das unsere Dozentin nur die Funktionen ohne Entwicklungspunkte angegeben hat.

Schauh noch mal , was wörtlich dort steht . Ohne Angabe der Entwicklungspunkte ist die Aufgabe schwer zu lösen , diese Angabe muß in der Aufgabenstellung stehen.
Natürlich kann man spekulieren , das die Aufgabe für



gilt.
Monkey101 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok dann wäre das auch abgehackt.

Dann bedanke ich mich vielmals für die gute und geduldige Hilfe smile

Für die Tayloraufgaben werde ich unsere Dozentin nochmal kontaktieren.
Falls dann nochwas sein sollte werde ich mich bestimmt nochmal melden...

Also dann wünsche ich noch nen schönes Wochenende smile

Mit freundlichen Grüßen,
Monkey101
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

gern doch

Schönes WE

:-)
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