surjektiver Gruppenhomomorphismus und der kern

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fedding Auf diesen Beitrag antworten »
surjektiver Gruppenhomomorphismus und der kern
Meine Frage:
f : (Z,+) --> (R_n,+) mit a --> R_n(a)

zeigen sie, dass die menge nZ = {...,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n....} ein Normalteiler von Z, indem sie ker(f) = nZ nachweisen.

ich möchte erstmal die frage klären, bevor es in der aufgabenstellung weiter geht.

Meine Ideen:
ok.. also es ist ja klar, dass nZ ne untergruppe von Z ist.
im kern sind ja alle elemente aus Z, die in den restklassen Rn auf die null abbilden.
also z. b. 1 e Z bildet in (R3,+) ja 1+1+1=0.

aber wie gesagt.. wie ich genau, den kern nachweisen kann, ist mir noch nicht ganz klar, kann mir das jmd erklären?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: surjektiver Gruppenhomomorphismus und der kern
hallo,
...´nein, das hast du falsch verstanden, die abbildung f bildet jedes element
aus Z auf seine restklasse mod n ab, die R_n sind ja die restklassen selbst,
und der kern von f müssen ja dann die elemente sein, die auf 0 abgebildet werden. Wie muss der kern von f dann also aussehen?
gruss ollie3
fedding Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, danke für die antwort..

in den restklassen wird nur was auf 0 abgebildet, wenn die zahl additiv verknüpft keinen rest hat. also muss die zahl entweder die zahl selbst, null oder ein teiler von einer zahl sein.
der kern ist ja nZ.. weiß nur noch nicht genau, warum und wi ich das zeigen soll.

leider weiß ich nicht, was mit mod n gemeint ist, dies hatten wir bisher noch nicht.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
oje, hier geht immer noch viel durcheinander.
Fangen wir mal mit den restklassen an nehmen als beispiel n=3. Wenn man
eine ganze zahl durch 3 dividert, erhält man als rest entweder 0,1 oder 2 und
hat somit 3 restklassen. Und unsere abbildung ordnet jeder ganzen zahl seine
restklasse zu. Und das ganze macht man darum, um zu beweisen, das nZ
ein normalteiler von Z ist, es ist nämlich dann eine untergruppe normalteiler,
wenn sie kern von einem homomorphismus von der gruppe zur untergruppe ist,
gruss ollie3
fedding Auf diesen Beitrag antworten »

ach gott... jetzt bin ich verwirrt!.. tut mir leid!

mein problem ist eigentlich nur, dass ich nicht weiß, wie ich zeigen kann, dass nZ der kern ist...
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
das ist doch klar, der kern ist doch das, was auf 0 abgebildet wird, das ist in
diesem falll die restklasse 0, und das sind doch die zahlen, die ohne rest durch
n teilbar sind, und das können doch dann nur die vielfachen von n sein, nicht
wahr? Die sache ist eigentlich ein einzeiler.
gruss ollie3
 
 
fedding Auf diesen Beitrag antworten »

hehe.. ja so hab ich mir das gedacht und oben versucht auszudrücken! xDDD


in der aufgabe gehts mit ii) es sei m element Z. beschreiben sie die nebenklasse von m bzgl nZ und geben sie die Menge Z/nZ an

iii) Zeigen Sie, dass die Gruppenisomorphie (Z/nZ, °) isom. (Rn, +)

also m ist so beschaffen, dass m°nZ = nZ°m also rechtsund linksnebenklassen stimmen überein.

bei iii) zeige ich, dass ein bijektiver gruppenhomomorphismus besteht..

ich versteh es zwar, kann es aber hier nicht praktisch umsetzen. wäre nett, wenn du mir nen ansatz zeigst oder so.
fedding Auf diesen Beitrag antworten »

warum antwortet niemand??? unglücklich
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