Integral zur Berechnung des Erwartungswertes

23.05.2013, 16:28

KaRlos

Integral zur Berechnung des Erwartungswertes

Meine Frage:
Hallo zusammen,
kurze Frage zum Berechnen des Erwartungswertes mit einer Dichtefunktion:

Bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/ Erwartungswert#Erwartungswert_einer_reellen_Zufallsvariablen_mit_Dichtefunk
tion) steht für den Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \end{eqnarray*}$
Sind die Grenzen hier korrekt? Für eine Dichtefunktion wie z.B. Weibull muss die untere Grenze doch 0 sein oder?

Meine Ideen:
Für eine Normalverteilung ist das korrekt, aber für eine Weibullverteilung z.B. nicht. Als Grenzen des Integrals sollte also der Definitionsbereich der jeweiligen Funktion angegeben sein...

Danke!

23.05.2013, 16:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von KaRlos
Sind die Grenzen hier korrekt? Für eine Dichtefunktion wie z.B. Weibull muss die untere Grenze doch 0 sein oder?

Die Grenzen sind in jedem Fall korrekt - du musst halt berücksichtigen, dass die Dichte der Weibullverteilung auf der negativen reellen Achse identisch Null ist.

23.05.2013, 16:38

KaRlos

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Okay. Und bei einer Lognormalverteilung?

23.05.2013, 16:49

HAL 9000

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Da ebenfalls.

23.05.2013, 17:03

KaRlos

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Obwohl sie für negative Zahlen nicht definiert ist?

23.05.2013, 17:06

HAL 9000

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Was ist für negative Zahlen "nicht definiert"? Die lognormalverteilte Zufallsgröße nimmt nur positive Werte an, trotzdem ist ihre Dichte auf den negativen Zahlen doch definiert! Und zwar gleich Null dort, wie es sich gehört, weil ja $\begin{eqnarray*} P(X<0)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Du scheinst deine Vorstellungen korrigieren zu müssen: Nur weil eine Zufallsgröße Werte in einem Bereich nicht annehmen kann, heißt das nicht, dass die Dichte dort nicht definiert ist - Nein: Sie ist dort definiert und gleich Null.

23.05.2013, 18:15

KaRlos

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Ich glaub dir ja, versteh es aber tatsächlich noch nicht so ganz. In der Lognormalverteilung kommt der Term lg(x) vor, der für negative Argumente nicht definiert ist. Daher dachte ich, dass eine negative Grenze im Integral keinen Sinn macht...

23.05.2013, 18:52

HAL 9000

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Ein allerletzter Erklärungsversuch, dann gebe ich auf: Die Dichte der Lognormalverteilung ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x }\,\exp\Big( -\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big) & x > 0 \\ 0 & x\leq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wo siehst du da ein Problem, auch auf der negativen Achse zu integrieren? Natürlich teilt man wegen der abschnittsweise definierten Funktion das Integtal auch in die entsprechenden Abschnitte auf, wenn es an die Auswertung geht, hier also

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} xf(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 x\cdot 0 ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^{\infty} x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x }\,\exp\Big( -\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big) ~ \dd x = \ldots \end{eqnarray*}$

und der Wert des ersten Teilintegrals ist Null, so dass man es weglassen kann. Aber deswegen erfindet man nicht zig Extraregeln für Erwartungswerte diverser Zufallsgrößen, sondern lässt das mit über "Dichte=0" auf den entsprechenden Bereichen erledigen.

24.05.2013, 09:53

KaRlos

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Mir war einfach nicht klar, dass Dichteverteilungen immer für ganz R definiert sind, was ja eigentlich sogar Sinn macht. Ich habe hier in meinen Unterlagen einfach wiedersprüchliche Definitionen gefunden und deshalb nachgefragt. Z.B. habe ich hier ein Skript, in dem die Dichtefunktion eben nicht Abschnittsweise definiert wurde, das Integral aber für ganz R angegeben wird. In einem anderen Skript ist das Integral sogar unbestimmt, was ja wohl einfach falsch ist. In einem technischen Buch was ich hier vorliegen habe ist das Integral mit den Grenzen R+ angegeben (vermutlich schlicht, weil hier negative Werte keinen Sinn ergeben).
Ich wollte jetzt nur nochmal Klarheit haben. Mit der Definition der Dichte, wie du sie angegeben hast ist das auch völlig klar. Das du mich mit dem Satz

"Ein allerletzter Erklärungsversuch, dann gebe ich auf"

ein wenig dümmlich erscheinen lässt, finde ich nicht besonders nett. Trotzdem natürlich danke für die Hilfe und Erklärungen!

24.05.2013, 11:22

Leopold

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Die Vereinbarung, daß man die Dichte außerhalb der Werte der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ festlegt, ist angenehm. Damit hat man immer $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als Ergebnisraum und kann folglich über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder, was dasselbe ist, von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ integrieren. Beim praktischen Rechnen entfallen dann die Intervalle, wo die Dichte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Stattdessen könnte man auch von vorneherein mit einem kleineren Ergebnisraum arbeiten, hier etwa mit $\begin{eqnarray*} \Omega = (0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Dann würde auch gleich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ integriert.
Man wird den Standpunkt einnehmen, der für die zu behandelnde Aufgabe der bequemere ist.

24.05.2013, 11:44

KaRlos

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So sehe ich das auch. Leider wird das scheinbar oft inkonsistent behandelt, was mich jetzt z.T. etwas verwirrt hat. Vielleicht bin ich da auch zu penibel, aber wenn ich das Thema in einer Ausarbeitung behandle bemühe ich mich um formale Korrektheit.

24.05.2013, 11:58

Leopold

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Am Anfang deiner Ausarbeitung legst du die Vereinbarungen fest (das sind in der Regel wenige Sätze), dann hältst du dich daran.

aus Richard Wagners "Meistersinger von Nürnberg":

WALTHER
Wie fang' ich nach der Regel an?

SACHS
Ihr stellt sie selbst und folgt ihr dann.

24.05.2013, 12:00

KaRlos

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Eben! Ich meinte mit inkonsistent auch gar nicht generell, sondern speziell z.B. in einem Skript oder Buch.

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