Bestimme die komplexen Zahlen z

23.05.2013, 20:15

aviator

Bestimme die komplexen Zahlen z

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Habe ein kleines Problem mit der Bestimmung der komplexen Zahlen z in der Gleichung.

Hier die Angabe:

Bestimmen sie alle komplexen Zahlen z, welche die folgende Eigenschaft haben:

$\begin{eqnarray*} z* \bar z -4* \bar z -5*i* \bar z -4*z+ 5*i*z < -40 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe mir gedacht ich setzte mal einfach
$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar z=a-bi \end{eqnarray*}$
nun bekomme ich durch ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} a^2 +b^2 -8*a +5*b + 5*a*i < -40 \end{eqnarray*}$

wie kann nun mein z bestimmen und is das bis dahin richtig.
Hoffe es hat kurz wer Zeit , danke schon im voraus smile

23.05.2013, 20:49

original

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RE: Bestimme die komplexen Zahlen z

Zitat:

Original von aviator

$\begin{eqnarray*} z* \bar z -4* \bar z -5*i* \bar z -4*z+ 5*i*z < -40 \end{eqnarray*}$

Habe mir gedacht ich setzte mal einfach
$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar z=a-bi \end{eqnarray*}$
nun bekomme ich durch ausmultiplizieren smile

$\begin{eqnarray*} a^2 +b^2 -8*a +5*b + 5*a*i < -40 \end{eqnarray*}$ unglücklich

wie kann nun mein z bestimmen und is das bis dahin richtig. unglücklich

-> rechne das nochmal richtig
(zB wirst du nachher keinen Summanden mehr bekommen, der den Faktor i enthält
nebenbei: für komplexe Zahlen gibt es ja auch keine Anordnung, kein ">" oder "<".))

die Ungleichung (mit rein reellen Termen) wird dann am Schluss erfüllt von allen Punkten im
Inneren eines (Einheits?-) Kreises mit Mittelpunkt vielleicht in (4;5) oder so ..

Wink

23.05.2013, 21:01

Rabbi

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RE: Bestimme die komplexen Zahlen z

Zitat:

Original von aviator
...
$\begin{eqnarray*} a^2 +b^2 -8*a +5*b + 5*a*i < -40 \end{eqnarray*}$

wie kann nun mein z bestimmen und is das bis dahin richtig.

Hey !

1. Es ist nicht z zu bestimmen sondern a und b !

2. Woher soll der Term $\begin{eqnarray*} 5\,a\,\i \end{eqnarray*}$ kommen ?
unglücklich

23.05.2013, 21:08

original

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RE: Bestimme die komplexen Zahlen z

Zitat:

Original von Rabbi

1. Es ist nicht z zu bestimmen sondern a und b ! traurig

..DOCH .. -> es sind Punkte z in der Gauss-Ebene zu bestimmen ..

aber auch sonst steht ja längst alles schon geschrieben.. geschockt

23.05.2013, 21:17

aviator

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Ach ja hab nen kleinen Rechenfehler drinnen gehabt
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2-8*a-10*b= -40 \end{eqnarray*}$ sollte jetzt stimme.

Ich weiß dass in der Gaußischen Zahlenebene der Wert a die X-Koordinate ist und der wert B die Y-Koordinate , wie bekomm ich diese Werte nun aus meiner Gleichung? Die Lösungsformel funktioniert meines Wissens nach nur mit einer unbekannten Variable und einer die Gleichung gleich 0 ist ?? verwirrt

23.05.2013, 21:24

original

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$\begin{eqnarray*} x^2 - 8x + .. +y^2 -10y + .. < - 40 + .. + .. \end{eqnarray*}$

.. man nennt sowas "quadratische Ergänzung"
(hast du sicher in grauer Vorzeit mal gerüchteweise gehört?)

also ->.. ?

23.05.2013, 21:45

aviator

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Ach ja

$\begin{eqnarray*} (x-4)^2 +(y-5)^2=1 \end{eqnarray*}$

also ein Kreis mit Mittelpunkt X=4 Y=5 und Radius ist 1 smile

Danke an euch für die schnelle Hilfe!

23.05.2013, 21:50

original

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Zitat:

Original von aviator

$\begin{eqnarray*} (x-4)^2 +(y-5)^2=1 \end{eqnarray*}$ unglücklich

JEIN .. du sollst doch die UNGLEICHUNG lösen ->

$\begin{eqnarray*} (x-4)^2 +(y-5)^2 < 1 \end{eqnarray*}$

welche Punkte z erfüllen diese Ungleichung?

-> 1) Antwortsatz?

-> 2) Lösung mit z aufgeschrieben => ?

verwirrt

23.05.2013, 22:04

aviator

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ok

$\begin{eqnarray*} z=4+5*i \end{eqnarray*}$

und die Ungleichung gilt für alle z welche sich innerhalb des Kreises
$\begin{eqnarray*} (x-4)^2 +(y-5)^2=1 \end{eqnarray*}$

befinden.

so besser? verwirrt

23.05.2013, 22:15

original

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ja - INNERHALB des Einheitskreises ...

das Ergebnis könntest du dann auch so notieren:

$\begin{eqnarray*} | z- (4+5i)| < 1 \end{eqnarray*}$

dazu: Beträge sind
- reelle Zahlen
und beschreiben Abstände

also hier gelesen:

alle Punkte z der GaussEbene ,
die vom Punkt z_m= (4;5)
(oder z_m =4 +5i ) weniger als eine Einheit entfernt liegen smile

ok?

23.05.2013, 22:25

aviator

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ja super danke kapiert, habe hier noch ein zweites Beispiel mit derselben Fragestellung was ist z:

$\begin{eqnarray*} z^2 -2*i*z+8=0 \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt wieder so ergänzend zu behandeln versuche weiß ich aber nun nicht was ich mit den i machen soll
$\begin{eqnarray*} a^2+ 2a*b*i -2*a*i +2*b +8=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

23.05.2013, 23:33

Rabbi

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Zitat:

Original von aviator
...
$\begin{eqnarray*} z^2 -2*i*z+8=0 \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt wieder so ergänzend zu behandeln versuche weiß ich aber nun nicht was ich mit den i machen soll
$\begin{eqnarray*} a^2+ 2a*b*i -2*a*i +2*b +8=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Überprüfen ! Es fehlt ein Summand.

$\begin{eqnarray*} z^2 -2*i*z=-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Uparrow \end{eqnarray*}$
Bestimmungsgleichung für Real- und Imaginärteil von z !

23.05.2013, 23:53

aviator

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oh shit ja , dennoch fallen die i hier nicht weg

$\begin{eqnarray*} a^2+2*a*b*i-b^2-2*a*i+2*b=-8 \end{eqnarray*}$

was nun verwirrt

24.05.2013, 00:20

Rabbi

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1. Linke Seite sortieren nach Real- und Imaginärteilen.

2. Linke Seite vergleichen mit rechter Seite.

Realteil der rechten Seite = ... ?
Imaginärteil der rechten Seite = ... ?

24.05.2013, 09:57

aviator

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Also hab jetzt sortiert
$\begin{eqnarray*} a^2-b^2+2*b+(2*a*b-2*a)*i=-8 \end{eqnarray*}$

Realteil $\begin{eqnarray*} a^2-b^2+2b \end{eqnarray*}$
Imaginärteil $\begin{eqnarray*} (2*a*b-2*a)*i \end{eqnarray*}$

passt das so ? und ws nun ?

24.05.2013, 10:18

Grautvornix

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Du kannst hier doch ganz einfach faktorisieren:

$\begin{eqnarray*} z^2-i2z+8=0\Leftrightarrow (z+i2)(z-i4)=0 \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 11:38

aviator

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Also denkt ihr dass hier als Antwort auf die Frage
Bestimmen sie alle komplexen Zahlen z, welche die folgende Eigenschaft haben:

Die Antwort :
$\begin{eqnarray*} z=-2*i \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} z=4*i \end{eqnarray*}$

reicht?

24.05.2013, 15:09

aviator

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Iwer ne Idee ob das so passt weil würds bissl dringend brauchen danke schon mal im Voraus smile

24.05.2013, 16:01

Grautvornix

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Was lässt Dich daran noch zweifeln?

24.05.2013, 16:02

original

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Zitat:

Original von aviator

$\begin{eqnarray*} a^2+2*a*b*i-b^2-2*a*i+2*b=-8 \end{eqnarray*}$

Also hab jetzt sortiert
..
..

Imaginärteil $\begin{eqnarray*} (2*a*b-2*a)*i \end{eqnarray*}$ geschockt

-> da hast du aber offenbar etwas Entscheidendes immer noch nicht mitbekommen ?

-> der IMAGINÄRTEIL einer komplexen Zahl ist die REELLE ZAHL, die als Faktor
beim i herumsteht
MERKE -> beim Imaginärteil hat das i NICHTS mehr zu suchen !

kurz: z=a+bi => die reelle Zahl b ist der Imaginärteil von z ..

also: z=x+iy ->

$\begin{eqnarray*} x^2+2xy*i-y^2-2x*i+2y +8 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - (y^2 -2y ) +8 +2x(y-1)*i =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - (y-1)^2 +9 +2x(y-1)*i =0+ 0*i \end{eqnarray*}$

-> Vergleich linke-rechte Seite:
=>

Realteil: $\begin{eqnarray*} x^2 - (y-1)^2 +9 =0 \end{eqnarray*}$

Imaginärteil: $\begin{eqnarray*} 2x(y-1) =0 \end{eqnarray*}$

damit hast due ein reelles Gleichungssystem (2 Gleichungen, zwei Variable)
aus dem du nun nur noch die richtigen Schlüsse ziehen musst,
um herauszufinden welche Zahlenpaare (x,y) beide Gleichungen erfüllen

mach mal -> ..

und ganz nebenbei:
bei dieser Aufgabe ist der Weg, den Grautvornix dir vorschlägt
wesentlich eleganter ..
und natürlich solltest du auf dem von dir oben eingeschlagenen
Weg am Schluss zum selben Ziel kommen .. hast du's inzwischen?
.

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