Einkauf

23.05.2013, 22:05	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
Einkauf Hi, Leider weiß ich den genauen Wortlaut des Rätsels nicht, er lautete ungefähr: Ein verkäufer multipliziert 3 Produktpreise miteinander statt diese zu addieren und erhält als Gesamtsumme 90,09. Wie hoch sind die einzelnen Preise, wenn sein Ergebniss dennoch richtig ist? lg
23.05.2013, 22:21	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einkauf Hi Tipso! auch wenn der Stress nun vorbei ist... du meinst sicher : Das Produkt der Preise = Summe der Preise $\begin{eqnarray} \approx 90.09 \end{eqnarray}$ auch beim Rätsel kommt es auf Genauigkeit an ! ------------------------------------- so ganz ohne Matheboard geht es anscheinend doch nicht !
23.05.2013, 22:42	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
hi ja an der Genauigkeit fehlts noch etwas. Danke für die Richtigstellung.
24.09.2013, 14:08	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einkauf Hi, falls die Aufgabe also x+y+z = xyz = 90,09 lautet, gäbe es dann eine elegantere Möglichkeit als die numerische Bestimmung von z.B. $\begin{eqnarray} min(90.09-x-y-\frac{90.09}{xy}) ? \end{eqnarray}$
31.03.2024, 23:44	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einkauf Nach über 10 Jahren schließe ich dieses Rätsel ab: Nein, es existiert keine elegantere Möglichkeit bei Produktpreisen mit 2 Nachkommastellen. $\begin{eqnarray} f: \mathbb N^{3} \to \mathbb Z, 100 \cdot \left(x+y+z\right) - 100 \cdot x \cdot y \cdot z = x'+y'+z'- x' \cdot y' \cdot z' = f \left(x',y',z'\right) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \left(x',y',z'\right) \stackrel{?}{=} 0 \Leftrightarrow z'=\frac{x'+y'}{x' \cdot y' -1} \end{eqnarray}$ . Ein Ringtausch hätte keine wesentlichen Auswirkungen. Wegen hier $\begin{eqnarray} z' \in \mathbb N \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} x'+y' \geq x' \cdot y' - 1 \Leftrightarrow y' \leq \frac{x'+1}{x' -1} \end{eqnarray}$ . () Das Einsetzen von Primfaktor(en)/-Produkten $\begin{eqnarray} 100 \cdot 90.09 = 9009 =3^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \end{eqnarray}$ in () führt jedoch ausnahmslos zu Widersprüchen, weshalb die Lösungsmenge leer ist. Ein erster Versuch über $\begin{eqnarray} \frac{x \cdot y \cdot z}{3} \stackrel{?}{=} \frac{x+y+z}{3} \stackrel{(AGM)}{\geq} \left(x \cdot y \cdot z\right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ führte zu $\begin{eqnarray} x \cdot y \cdot z \geq 5.196... \end{eqnarray}$ und ungültigen Lösungen, z.B. $\begin{eqnarray} \left(x,y,z\right) = \left(3,1,2\right) \end{eqnarray}$ .
01.04.2024, 18:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Aufgabe so: Das Produkt der Preise sind $\begin{eqnarray} 90.09\, \textrm{Euro}^3 \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} 90090000 \,\textrm{ct}^3 \end{eqnarray}$ . Die Primfaktorzerlegung ist $\begin{eqnarray} 90090000 = 2^4\cdot 3^2\cdot 5^4 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \end{eqnarray}$ . Jetzt ist die Frage nach einer Partition der Primfaktoren, so dass die Summe $\begin{eqnarray} 9009 \,\text{ct} \end{eqnarray}$ ergibt. Und da gibt es einige Lösungen. Um eine zu nennen: Produkt 1: $\begin{eqnarray} 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \,\textrm{ct} = 7700\,\textrm{ct} = 77 \, \textrm{Euro} \end{eqnarray}$ Produkt 2: $\begin{eqnarray} 2^2 \cdot 5^2 \cdot 13 \,\textrm{ct} = 1300 \,\textrm{ct} = 13 \, \textrm{Euro} \end{eqnarray}$ Produkt 3 $\begin{eqnarray} 3^2\,\textrm{ct} = 9\,\textrm{ct} = 0.09 \, \textrm{Euro} \end{eqnarray}$ . In der Summe offensichtlich 90,09 Euro und $\begin{eqnarray} 77 \cdot 13 \cdot 0.09 = 90.09 \end{eqnarray}$ . Das "kritische" war hier zu erkennen, dass die Einheiten beim Produkt andere sind als bei der Summe. Damit skalieren diese anders wenn man diese in "Cent" umwandelt, um sauber mit Primfaktoren einfach eine diskrete potentielle Lösungsmenge zu bekommen. Edit: Nachdem ich Duplikate rausgefiltert hab, ist es wohl die "eindeutige" Lösung. Neben Permutation der Produkte.
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01.04.2024, 19:32	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Es existiert anscheinend doch eine elegantere Möglichkeit . Dass mein Ansatz möglicherweise fehlerbehaftet ist, hatte ich schon befürchtet, z.B. wegen $\begin{eqnarray} 100 \cdot x \neq 100^{1/3} \cdot x \end{eqnarray}$ . Irritiert hatte mich auch mein angenommenes $\begin{eqnarray} Euro \neq Euro^{3} \end{eqnarray}$ . Wahrscheinlich ist das dann wie $\begin{eqnarray} 1 = 1^{3} \end{eqnarray}$ .

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