Kommutatorgruppe

24.05.2013, 12:06

Daniel_21

Kommutatorgruppe

Hi,

ich hab eine Frage zum Thema Gruppentheorie.

Wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist und $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ die Kommutatorgruppe, die im Zentrum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liege, dann soll ich zeigen, dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \gamma: G \times G \to G' \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} (a,b)\mapsto aba^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$

bimultiplikativ ist.

Also sei $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Dann soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \widetilde{\gamma}: b \mapsto \gamma(a,b) \end{eqnarray*}$
linear ist (und natürlich in der anderen Richtung auch noch, aber das geht - denke ich -analog).

D.h. es ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \widetilde{\gamma}(bc)=\widetilde{\gamma}(b)\widetilde{\gamma}(c) \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \widetilde{\gamma}(b)\widetilde{\gamma}(c)=\gamma(a,b)\gamma(a,c)=aba^{-1}b^{-1} aca^{-1}c^{-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \widetilde{\gamma}(bc) =\gamma(a,bc)=abca^{-1}(bc)^{-1}=abca^{-1}c^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich wohl benutzen, dass die Kommutatorgruppe im Zentrum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt, d.h. es gilt für jedes $\begin{eqnarray*} g' \in G' \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g'h = hg' \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h \in G. \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, wie ich diese Information konkret anwenden soll, um die Linearität zu zeigen.

Wäre schön, wenn ihr mir dabei helfen würdet.

Danke!

Ciao,
Daniel

25.05.2013, 13:26

irre.flexiv

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Zitat:

Jetzt muss ich wohl benutzen, dass die Kommutatorgruppe im Zentrum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt

Ein kleiner Tipp:

$\begin{eqnarray*} abca^{-1}c^{-1}b^{-1} = abeca^{-1}c^{-1}b^{-1} \end{eqnarray*}$

26.05.2013, 10:48

Daniel_21

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Danke für den Tipp.
Ich habe $\begin{eqnarray*} 1=a a^{-1} \end{eqnarray*}$ eingefügt und dann $\begin{eqnarray*} aca^{-1}c^{-1}b^{-1} = b^{-1}aca^{-1}c^{-1} \end{eqnarray*}$ benutzt, und somit folgt die Gleichheit.

26.05.2013, 12:16

RavenOnJ

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RE: Kommutatorgruppe
Was meinst du eigentlich mit "linear" in dem Zusammenhang? Du meinst wohl eher, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handeln muss.

27.05.2013, 12:36

Daniel_21

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Ja, Gruppenhomomorphismus ist der bessere Ausdruck.

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