f injektiv <=> f(A ? B) = f(A) ? f(B) |
24.05.2013, 15:02 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
f injektiv <=> f(A ? B) = f(A) ? f(B) Sei eine Abbildung und Zu zeigen ist die folgende Äquivalenz: ist injektiv Meine Ideen: Die Hinrichtung müsste klar sein. "" Sei injektiv. Zunächst zeige man . Dazu sei . Jetzt zeigt man Also sei Jetzt kommt die Injektivität von f ins Spiel. Da injektiv ist, besitzt jedes höchstens ein , d.h. es gibt keine zwei oder mehr x-Werte, die nicht in der Schnittmenge liegen und trotzdem beide auf abgebildet werden, also Damit wäre die Hinrichtung gezeigt. Jedoch verstehe ich nicht ganz wie ich die Rückrichtung zeigen soll, zumal ich mir ein Beispiel gedacht habe, in dem nicht injektiv ist, jedoch die Behauptung trotzdem gilt. Sei z.B. und und . leiste Folgendes: Damit ist wegen schonmal sicherlich nicht injektiv. Jedoch ist . Was mache ich hier falsch? Vielen Dank für Hilfe im Voraus! |
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24.05.2013, 16:30 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, So, wie sie da steht, ist die Aufgabe nicht richtig gestellt. Das Gegenbeispiel dafür hast du selbst geliefert. Richtig wäre es so: Sei eine Abbildung. Zeige: ist injektiv Für alle gilt Verstehst du den Unterschied ? |
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24.05.2013, 20:03 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: f injektiv <=> f(A ? B) = f(A) ? f(B) Ja okay, dankeschön, dann ergibt es natürlich Sinn! Um die Rückrichtung zu zeigen, muss ich doch jetzt nur annehmen, dass f nicht injektiv ist und dann zeigen, dass es ein A und B gibt, für das die obige Gleichung nicht erfüllt ist, richtig? |
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24.05.2013, 20:10 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, genau. |
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24.05.2013, 20:36 | SchauSchau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich finde die Argumentation bei der Beweisrichtung ein bisschen unschön. Also z.B., dass Du mit "Sei ..." beginnst, statt mit: Sei . |
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24.05.2013, 21:25 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber x ist doch garnicht unbedingt ein Element der Urbildmenge oder wie ist das jetzt gemeint? |
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24.05.2013, 21:31 | SchauSchau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich meinte es einfach so, dass man halt irgendein Element im Bild annimmt, das heiße etwa x, also z.b. und dann sagt, es gibt also ein . Und nicht gleich anfängt mit: Sei . Aber das sind bestimmt nur Kleinigkeiten. --- Wichtiger ist: Hast du schon Mengen A und B gefunden für die die Identität bei Annahme von Nicht-Injektivität nicht stimmt? |
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24.05.2013, 21:42 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
achso okay, danke nein, bin gerade garnicht zuhause, darüber denk ich morgen nach |
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24.05.2013, 21:47 | SchauSchau | Auf diesen Beitrag antworten » |
okay ist auch nicht so schwer |
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24.05.2013, 22:39 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
So, hab mir grad doch noch kurz Gedanken drüber gemacht Also: Sei f nicht injektiv. Dann gibt es mit . Nun wähle man A und B, so dass und nicht in der Schnittmenge von A und B liegen. Dann ist , da und weil weder noch in liegt, gilt Somit muss auch die Kontraposition, also f injektiv gelten. |
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24.05.2013, 22:43 | SchauSchau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber du musst A und B schon konkret angeben und nicht einfach nur sagen: und lägen nicht im Schnitt von A und B. Klar, dass das dann stimmt. |
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24.05.2013, 22:45 | SchauSchau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sollte und heißen. |
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24.05.2013, 22:51 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Reicht es zu sagen A und B seien Teilmengen einer Obermenge M mit und . Dann gilt ja . Reicht das? |
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24.05.2013, 22:53 | SchauSchau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Warum nicht gleich ? |
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24.05.2013, 23:07 | Luke94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na gut, stimmt^^ |
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