Restklassenaddition

24.05.2013, 15:31	Lurchi_der_Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassenaddition Meine Frage: Hey! Ich bezeichne mit $\begin{eqnarray} R_b(a)=\left\{x\|x\equiv a\mbox{ mod }b\right\} \end{eqnarray}$ die Restklasse von a modulo b. Ich würd gern zeigen, dass $\begin{eqnarray} R_b(a)+R_b(c)=R_b(a+c) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Dazu habe ich mir für die eine Inklusion überlegt: $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ : Seien $\begin{eqnarray} x\in R_b(a) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y\in R_b(c) \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} \Rightarrow b \| (x-a)~\wedge b \| (y-c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow b \| k\cdot (x-a)+m\cdot (y-c)~\forall~k,m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} k=m=1 \end{eqnarray}$ , dann also $\begin{eqnarray} b \| x+y-(a+c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x+y\equiv a+c\mbox{ mod }b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x+y\in R_b(a+c) \end{eqnarray}$ Aber wie kann man die andere Inklusion zeigen?
24.05.2013, 17:22	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenaddition Was bedeutet denn $\begin{eqnarray} x \equiv a+c (b) \end{eqnarray}$ . Damit sollte die Rückrichtung ins Auge fallen Du zeigst es nur für $\begin{eqnarray} \mathbb Z / b \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder? Zumindest funktioniert dein Beweis nur dort. Es geht aber auch für allgemeine Faktorringe
24.05.2013, 17:54	Lurchi_der_Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenaddition Ja, der Beweis soll nur für $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ sein. Was meint Deine Schreibweise $\begin{eqnarray} x\equiv a+c(b) \end{eqnarray}$ ? Meinst Du damit $\begin{eqnarray} x\equiv (a+c)\mbox{ mod b} \end{eqnarray}$ ? Falls ja, so bedeutet das $\begin{eqnarray} b\|x-(a+c) \end{eqnarray}$ . Aber weiter?
24.05.2013, 17:58	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenaddition ja pardon ^^ genauer wäre natürlich gewesen $\begin{eqnarray} x \equiv (a+c) \mod b \end{eqnarray}$ ja nicht falsch aber exakter ausgedrückt ist doch $\begin{eqnarray} x=(a+c)+kb \text{ für ein } k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und jetzt überleg mal wie du x als Summe aus Elementen der Restklassen von a und c schreiben kannst
24.05.2013, 18:08	Lurchi_der_Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenaddition Ich könnte das so aufschreiben: $\begin{eqnarray} x=(a+c)+k\cdot b=\underbrace{a+k\cdot b}_{=:q}+\underbrace{c+m\cdot b}_{=:r}, k,m\in\mathbb{Z}, m=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q\in R_b(a), r\in R_b(c) \end{eqnarray}$ . Also kann man x schreiben als Summe eines Elements aus $\begin{eqnarray} R_b(a) \end{eqnarray}$ und eines Elements aus $\begin{eqnarray} R_b(c) \end{eqnarray}$ . Damit müsste die Inklusion auch gezeigt sein?
24.05.2013, 18:14	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenaddition genau. Und die $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ kann man mit dem gleichen Argument zeigen
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24.05.2013, 18:17	Lurchi_der_Lurch	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die andere Inklusion hatte ich doch schon gezeigt? Oder meinst Du alternativ könnte man sie auch so zeigen?
24.05.2013, 18:24	sbh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, war als Alternative gedacht. Im Zweifelsfall sollte man aber den Weg nehmen den man am besten versteht.

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