Orthogonales Komplement

24.05.2013, 16:29

Lyla93

Orthogonales Komplement

Meine Frage:
U ist endlichdimensionaler Unterraum des euklidischen Raumes V.
i) Sei { $\begin{eqnarray*} u_{1}u_{2}...u_{r} \end{eqnarray*}$ eine Basis von U. Beweise, dass v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V genau dann in $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ liegt, wenn <v, $\begin{eqnarray*} u_{i} \end{eqnarray*}$ > = 0 ist für alle 1 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ i $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ r.
ii) Sei
U=< $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{5} \end{eqnarray*}$ , dem kanonisch 5-dimn. euklidischen Raum. Bestimme eine Basis des orthogonalen Komplements zu U.

Meine Ideen:
i) Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, was ich da beweisen soll? Ist das orthogonale Komplement nicht schon so definiert, dass v in $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ liegt, wenn <v, $\begin{eqnarray*} u_{i} \end{eqnarray*}$ > = 0 ??
ii) Absolut keine Ahnung.

24.05.2013, 16:58

Leopold

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$\begin{eqnarray*} U^{\bot} = \left\{ \, v \in V \, \left| \, \forall \, u \in U: \langle u,v \rangle = 0 \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Und du sollst nun zeigen, daß es bereits genügt, die Forderung $\begin{eqnarray*} \langle u,v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ statt für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ nur für die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ einer Basis zu überprüfen.

24.05.2013, 17:06

Lyla93

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Achsooo okay, der Unterschied war mir nicht so ganz bewusst.
Kannst du mir einen Tipp geben wie ich hier am besten anfange, ich steh komplett auf dem Schlauch verwirrt

24.05.2013, 17:12

Leopold

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Formulieren wir erst nochmal die Aufgabe genau:

$\begin{eqnarray*} v \in U^{\bot} \ \ \Leftrightarrow \ \ \forall \, i: \langle v,u_i \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist trivial? Warum?

Jetzt die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ . Nimm also an, daß $\begin{eqnarray*} \langle v,u_i \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gilt. Was mußt du jetzt überhaupt zeigen?

25.05.2013, 11:31

Lyla93

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Vielen Dank, dass du mir bei dieser Aufgabe hilfst, ich wäre alleine wirklich aufgeschmissen!
Also:

Zitat:

Original von Leopold
Formulieren wir erst nochmal die Aufgabe genau:

$\begin{eqnarray*} v \in U^{\bot} \ \ \Leftrightarrow \ \ \forall \, i: \langle v,u_i \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist trivial? Warum?

Habe jetzt nach einem Lemma gesucht, dass das ganze so definiert, aber irgendwie keines gefunden. Aber ich hätte jetzt einfach geschrieben:
"Nach Definition des orthogonalen Komplements gilt für alle $\begin{eqnarray*} v \in U^\perp \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} U^\perp:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} v \in V:v \perp u \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ }, womit obige Behauptung bereits bewiesen ist."

Okay, ich denke ich muss wahrscheinlich noch irgendwie mit einbringen, dass es sich bei den u's um die Basisvektoren von U handelt, oder? Muss ich evtl. zeigen, dass U nur aus diesen Vektoren besteht?

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ . Nimm also an, daß $\begin{eqnarray*} \langle v,u_i \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gilt. Was mußt du jetzt überhaupt zeigen?

Hm... Wenn ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} \langle v,u_i \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ , dann weiß ich ja theoretisch schon, dass u_i und v orthogonal sind. Wenn gelten soll $\begin{eqnarray*} U^\perp \perp U \end{eqnarray*}$ , müsste ich noch zeigen, dass ALLE Vektoren aus U und $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ orthogonal sind ?

25.05.2013, 11:53

Leopold

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Das ist vom Aufschrieb irgendwie konfus. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist ein gewisses dieser Elemente) sind dadurch charakterisiert, daß sie auf allen (!!!) $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ senkrecht stehen. Jetzt sind ja aber die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ spezielle Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Also stehen sie auch auf diesen senkrecht.
Und das war es, was $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ angeht, schon.

Vielleicht wolltest du das sagen. Versuche, in einer mathematischen Argumentation die Sache auf den Punkt zu bringen. Bringe nicht weitere Dinge ins Spiel, die zum momentanen Untersuchungsgegenstand nichts beitragen. Das verdunkelt nur die Argumentation.

Jetzt zur Gegenrichtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ . Auch hier bleibst du etwas nebulös. Warum redest du von allen Elementen von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ , wo es doch gerade um ein bestimmtes, nämlich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , geht? Von dem weißt du, daß es auf allen $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ senkrecht steht. Und von diesem $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mußt du jetzt zeigen, daß es auf allen $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ (nicht nur auf den paar $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ ) senkrecht steht.
Nutze zum Nachweis aus, daß sich jedes $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ als Linearkombination bezüglichh der $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ schreiben läßt:

$\begin{eqnarray*} u = \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \ \ \text{mit geeigneten Skalaren} \ \alpha_i \end{eqnarray*}$

und verwende die Eigenschaften einer bilinearen Abbildung, wie sie für $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ gelten.

25.05.2013, 12:52

Lyla93

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Zitat:

Original von Leopold
Das ist vom Aufschrieb irgendwie konfus. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist ein gewisses dieser Elemente) sind dadurch charakterisiert, daß sie auf allen (!!!) $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ senkrecht stehen. Jetzt sind ja aber die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ spezielle Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Also stehen sie auch auf diesen senkrecht.
Und das war es, was $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ angeht, schon.

Vielleicht wolltest du das sagen. Versuche, in einer mathematischen Argumentation die Sache auf den Punkt zu bringen. Bringe nicht weitere Dinge ins Spiel, die zum momentanen Untersuchungsgegenstand nichts beitragen. Das verdunkelt nur die Argumentation.

Okay, vielen Dank! Ich tue mir mit der mathematischen Ausdrucksweise manchmal wirklich noch etwas schwer.

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt zur Gegenrichtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ . Auch hier bleibst du etwas nebulös. Warum redest du von allen Elementen von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ , wo es doch gerade um ein bestimmtes, nämlich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , geht? Von dem weißt du, daß es auf allen $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ senkrecht steht. Und von diesem $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mußt du jetzt zeigen, daß es auf allen $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ (nicht nur auf den paar $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ ) senkrecht steht.
Nutze zum Nachweis aus, daß sich jedes $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ als Linearkombination bezüglichh der $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ schreiben läßt:

$\begin{eqnarray*} u = \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \ \ \text{mit geeigneten Skalaren} \ \alpha_i \end{eqnarray*}$

und verwende die Eigenschaften einer bilinearen Abbildung, wie sie für $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ gelten.

Danke schon mal für den Tipp mit der Linearkombination, darauf wäre ich gar nicht gekommen!
Meinst du mit den Eigenschaften einer bilinearen Abbildung nur die Bilinearität, oder auch symmetrisch und positiv definit? Ich dachte erst, es bringt mir etwas, wenn ich setze: <v,u>=0 (da sie orthogonal sind) und dann mit den drei Eigenschaften herum hantiere, bis ich evtl. folgern kann, dass die drei Eigenschaften und das =0 für alle u's gelten. Aber mit <v,u>=0 gilt positiv definit auf jeden fall schon mal nicht ?
Abgesehen von dieser Idee sehe ich noch nicht so ganz, wie ich ansonsten von diesen Eigenschaften folgern könnte, dass v senkrecht zu allen u's steht.

25.05.2013, 13:05

Leopold

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Zitat:

Original von Lyla93
Ich dachte erst, es bringt mir etwas, wenn ich setze: <v,u>=0 (da sie orthogonal sind) und dann mit den drei Eigenschaften herum hantiere

Auch hier nicht präzise genug. Da wird nichts "gesetzt", sondern es ist etwas "zu zeigen":

$\begin{eqnarray*} \langle v,u \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

Also Vorsicht! Davon darfst du nicht ausgehen. Das ist nachzuweisen.

Und jetzt darfst du $\begin{eqnarray*} u = \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \end{eqnarray*}$ annehmen (weil die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bilden). Hier kannst du von mir aus von "setzen" sprechen. Forme also

$\begin{eqnarray*} \left \langle v \, , \, \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \right \rangle \end{eqnarray*}$

solange um, bis hoffentlich einmal das Gewünschte herauskommt. In der Tat brauchst du nur die Eigenschaften der Bilinearität. Die positive Definitheit ist für den Beweis nicht maßgeblich.

25.05.2013, 13:50

Lyla93

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Zitat:

Original von Leopold
Und jetzt darfst du $\begin{eqnarray*} u = \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \end{eqnarray*}$ annehmen (weil die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bilden). Hier kannst du von mir aus von "setzen" sprechen. Forme also

$\begin{eqnarray*} \left \langle v \, , \, \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \right \rangle \end{eqnarray*}$

solange um, bis hoffentlich einmal das Gewünschte herauskommt. In der Tat brauchst du nur die Eigenschaften der Bilinearität. Die positive Definitheit ist für den Beweis nicht maßgeblich.

Also irgendwie komme ich einfach nicht weiter. Mir fehlt glaub ich noch eine entscheidende Eigenschaft, die ich gerade übersehe.
Ich setze:
$\begin{eqnarray*} \left \langle v \, , \, \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i \right \rangle \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left \langle v , \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_r u_r \right \rangle \end{eqnarray*}$
Dann nutze ich die Bilinearität: $\begin{eqnarray*} \left \langle v , \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_r u_r \right \rangle \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \left \langle v , u_1 \right \rangle + \alpha_2 \left \langle v , u_2 \right \rangle + ... + \alpha_r \left \langle v , u_r \right \rangle \end{eqnarray*}$ .
So, jetzt wollte ich dann erst noch das Skalarprodukt richtig berechnen, also praktisch für $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \left \langle v , u_1 \right \rangle = \alpha_1*(v_1*u_{11}+v_2*u_{12}+...+v_r*u_{1r}) \end{eqnarray*}$ das gleiche natürlich für die restlichen Vektoren (u2,...ur) auch, aber bringt mir diese Schreibweise was?

Ich habe mich nochmal ein wenig in die Eigenschaft einer Basis eingelesen, weil ich dachte ich könnte das irgendwie nutzen. Das einzige, was mir noch ein wenig hilfreich erschien, war, dass die $\begin{eqnarray*} u_i's \end{eqnarray*}$ ja alle linear unabhängig sind, und somit in der Linearkombination nur null, wenn die Skalare null sind. Aber direkt anwenden kann ich das jetzt auch nirgends.

Was übersehe ich denn schon wieder? verwirrt

25.05.2013, 18:17

Leopold

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Zitat:

Original von Lyla93
Was übersehe ich denn schon wieder? verwirrt

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} v \in U^{\bot} \ \ \Leftrightarrow \ \ \color{red} \forall \, i: \langle v,u_i \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

Wir sind ja bei $\begin{eqnarray*} \color{red} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ . Die rechte Seite wird also vorausgesetzt.

26.05.2013, 11:23

Lyla93

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