diskrete Metrik/Topologie

25.05.2013, 10:56

gbk97

diskrete Metrik/Topologie

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} M\neq \emptyset \quad bel. \quad d(x,y)= diskrete Metrik \end{eqnarray*}$

außerdem A=(0,1) oder {2}.

Wir sollen nun das innere, den Abschluss, den Rand und die Häufungspunkte bestimmen.

Da ich schon die Lösung habe, kann ich ja gleich meine Frage richtig stellen.

Warum ist zum Beispiel das innere von A = A?
Ich finde doch kein einziges Epsilon, so dass gilt, dass
$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) \subset A \end{eqnarray*}$

ist. Wähle ich Epsilon = 0,5 so hat doch z.B. a mit :
$\begin{eqnarray*} a \neq x \quad und \quad a \in U_{\epsilon}(x) \quad und \quad d(a,x)=1> \epsilon \Rightarrow a \not\in U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$

Und egal, welches Epsilon ich wähle, ich finde doch nie eins, so dass die Bedingung für das Innere erfüllt ist?

Kann mir einer weiterhelfen?

25.05.2013, 11:00

Che Netzer

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RE: diskrete Metrik/Topologie
Erstmal zum Aufschrieb:

Zitat:

Original von gbk97
$\begin{eqnarray*} d(x,y)= diskrete Metrik \end{eqnarray*}$

Das ist formal natürlich nicht schön.

Zitat:

Wir sollen nun das innere, den Abschluss, den Rand und die Häufungspunkte bestimmen.

Wovon und in welchem Raum?

Zitat:

Ich finde doch kein einziges Epsilon, so dass gilt, dass
$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) \subset A \end{eqnarray*}$

Für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Wähle ich Epsilon = 0,5 so hat doch z.B. a mit :
$\begin{eqnarray*} a \neq x \quad und \quad a \in U_{\epsilon}(x) \quad und \quad d(a,x)=1> \epsilon \Rightarrow a \not\in U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$

Was heißt " $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hat"?
Und was ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ überhaupt?

Schreib das ganze sorgfältiger auf.

25.05.2013, 11:06

Leopold

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RE: diskrete Metrik/Topologie

Zitat:

Original von gbk97
Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} M\neq \emptyset \quad bel. \quad d(x,y)= diskrete Metrik \end{eqnarray*}$

außerdem A=(0,1) oder {2}.

Das verstehe ich nicht. Ist $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Intervall?

Zitat:

Original von gbk97
Warum ist zum Beispiel das innere von A = A?
Ich finde doch kein einziges Epsilon, so dass gilt, dass
$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) \subset A \end{eqnarray*}$

Ganz im Gegenteil. Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon < 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) = \{ x \} \subseteq A \end{eqnarray*}$ , wobei natürlich $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ sein soll.

25.05.2013, 11:06

gbk97

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RE: diskrete Metrik/Topologie

Zitat:

Wovon und in welchem Raum?

von A , das in M liegt.

Zitat:

Für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in A? \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Was heißt " $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hat"?
Und was ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ überhaupt?

a ist ein beliebiges Element in der Epsilon-Umgebung um x. Und x ist bel. in A.

Sorry, hatte gedacht, dass das einigermaßen sorgfältig sei. Passts so?

25.05.2013, 11:09

Che Netzer

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RE: diskrete Metrik/Topologie
Dann enthält jede beliebige nichtleere Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{2\} \end{eqnarray*}$ ?

Jedenfalls hast du nur gezeigt, dass es zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} a\in U_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq x \end{eqnarray*}$ existiert.

25.05.2013, 11:16

gbk97

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RE: diskrete Metrik/Topologie
JA, das mit $\begin{eqnarray*} M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist dann wohl nicht sehr intelligent. Stand bei mir im Skript und ich habs mal so einfach aufgeschrieben...da hat mein Dozent wohl auch nicht aufgepasst

Zur Frage: Ja, das sollte nur exemplarisch sein. Das mit den einhalb war natürlich nur beispielhaft. Ich dachte mir dabei, wenn ich epsilon > 2 wähle, gilt ja, dass die komplette Menge A in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ ist. War das dann etwa schon die Lösung?

25.05.2013, 11:23

Che Netzer

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RE: diskrete Metrik/Topologie
Wir gehen also von $\begin{eqnarray*} M=\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der diskreten Metrik aus, oder?
Und wir betrachten $\begin{eqnarray*} A=(0,1)\subset M \end{eqnarray*}$ .

Bisher hast du allerdings nichts bezüglich Offenheit und Abgeschlossenheit gezeigt.
Die Idee, $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac12 \end{eqnarray*}$ zu wählen, ist aber schon ganz gut.
Nun solltest du eine durchgängige und vollständige Argumentation aufschreiben, um zu zeigen, was auch immer du zeigen möchtest.

25.05.2013, 11:24

Leopold

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Es wäre hilfreich, wenn du dir einmal allgemein überlegtest, was in einem diskreten Raum die offenen Mengen sind. Ist diese Frage erst einmal beantwortet, beantworten sich alle anderen Fragen von selbst.

Deine bisherigen Ansätze sind nicht zielführend. Das liegt alleine schon daran, daß man nie weiß, wovon du ausgehst. Oder wie man früher in der Schule sagte: Was ist gegeben? Was ist gesucht? Zu einem ordentlichen mathematischen Text gehört eine verständliche mathematische Umgangssprache. Einfach irgendwelche Symbole in einer gewissen Anordnung aufeinander folgen zu lassen, ist noch keine Mathematik. Sondern einfach nur unverständlich ...

25.05.2013, 11:32

gbk97

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RE: diskrete Metrik/Topologie
ja, $\begin{eqnarray*} M= \mathbb {R} \end{eqnarray*}$

und wir betrachten $\begin{eqnarray*} A=(0,1) \cup {2} \quad und \quad A\subset M \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun zeigen, dass das Innere von A = A ist.

ich wähle also einfach $\begin{eqnarray*} \epsilon = 2 \end{eqnarray*}$ und habe somit für ein bel. $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ die Epsilon-Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a)=\{x \in M| d(x,a)< \epsilon\} \end{eqnarray*}$ . Bei dieser Wahl für Epsilon müsste ja gelten, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a)=A \end{eqnarray*}$ , da alle Punkte in A einen Abstand kleiner gleich 1 von a haben, und somit ist $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \subset A \end{eqnarray*}$ und weil a bel. in A war, gilt das für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und somit ist das innere von A gleich A?

Passt das so?

25.05.2013, 11:36

Che Netzer

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RE: diskrete Metrik/Topologie

Zitat:

Original von gbk97
und wir betrachten $\begin{eqnarray*} A=(0,1) \cup {2} \quad und \quad A\subset M \end{eqnarray*}$

Die Mengenklammern kannst du übrigens mit \{ und \} erzeugen.

Zitat:

ich wähle also einfach $\begin{eqnarray*} \epsilon = 2 \end{eqnarray*}$ und habe somit für ein bel. $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ die Epsilon-Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x)=(x \in M| d(x,a)< \epsilon) \end{eqnarray*}$ .

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(a) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Bei dieser Wahl für Epsilon müsste ja gelten, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a)=A \end{eqnarray*}$ , da alle Punkte in A den Abstand 1 von a haben

Nein, $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ hat den Abstand Null zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Außerdem enthält $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(a) \end{eqnarray*}$ auch alle Punkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (nicht nur von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ), die genügend kleinen Abstand zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ haben.

25.05.2013, 11:39

gbk97

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Zitat:

Original von Leopold
Es wäre hilfreich, wenn du dir einmal allgemein überlegtest, was in einem diskreten Raum die offenen Mengen sind. Ist diese Frage erst einmal beantwortet, beantworten sich alle anderen Fragen von selbst.

Deine bisherigen Ansätze sind nicht zielführend. Das liegt alleine schon daran, daß man nie weiß, wovon du ausgehst. Oder wie man früher in der Schule sagte: Was ist gegeben? Was ist gesucht? Zu einem ordentlichen mathematischen Text gehört eine verständliche mathematische Umgangssprache. Einfach irgendwelche Symbole in einer gewissen Anordnung aufeinander folgen zu lassen, ist noch keine Mathematik. Sondern einfach nur unverständlich ...

Die offenen Mengen in einem diskreten raum?

Ich nehme an, dass A eine bel. Menge in einem diskreten Raum ist bzgl. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann müsste, vorausgesetzt meine Argumentation im Post darüber stimmt, die offene Menge gerade die Menge wieder selber sein, da ich ja immer einfach ein Epsilon > 1 wählen kann....

25.05.2013, 11:42

gbk97

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@ che Netzer: Ich habe die Fehler im Post drüber jetzt korrigiert. Und so passt die Argumentation dann oder habe ich immer noch irgendwelche Fehler übersehen?

Gruß, gbk 97

25.05.2013, 11:44

Che Netzer

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Du hast nur das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ersetzt, oder?
Viel wichtiger war meine Bemerkung danach.
D.h. du hast nur $\begin{eqnarray*} A\subset U_\varepsilon(a) \end{eqnarray*}$ gezeigt, nicht die umgekehrte Inklusion.

25.05.2013, 11:49

gbk97

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Habe auch ein "kleiner gleich 1" eingefügt.

Folgt die umgekehrte Inklusion nicht daraus, dass $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ bel. war und somit es für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ gilt?

Ansonsten würde ich sagen, dass ich jetzt noch zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \subset A \end{eqnarray*}$ ist, oder?

25.05.2013, 11:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von gbk97
Ansonsten würde ich sagen, dass ich jetzt noch zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \subset A \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Gerade das muss aber nicht gelten.
Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(a)=M \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ oder sogar für jedes $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ .

25.05.2013, 11:53

gbk97

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Das stimmt natürlich. Dann weiß ich jetzt aber nicht, wie ich das dann anders zeigen soll?

25.05.2013, 11:54

Che Netzer

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Was möchtest du nun eigentlich zeigen?

Naja, wenn es um die Offenheit geht, dann probier es doch mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac12 \end{eqnarray*}$ .

25.05.2013, 12:04

gbk97

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Ich möchte zeigen, dass das innere von A = A ist.

Ich wähle also $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und damit ist mein $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a)=\{x \in M | d(x,a) < \epsilon\} = a \end{eqnarray*}$ , da ja alle Punkte , außer a selber, einen Abstand von 1 zu a haben. Und es gilt: $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \subset A \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ . Und jetzt müsste doch diese Argumentation gelten:

Da $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ bel. war, gilt für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , dass ein Epsilon existiert( also z.B. $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ) , so dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von A ist. Daher gilt für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , dass sie innere Punkte von A sind und somit ist das innere von A = A.

25.05.2013, 12:06

Leopold

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Vielleicht sollten wir gbk97 noch einen Hinweis geben.

Zeige, daß in einem diskreten (metrischen) Raum jede Menge offen ist. Und Offenheit einer Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in einem metrischen Raum ist dadurch gekennzeichnet, daß es um jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ gibt, die ganz der Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ angehört. Und da ist dann $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0{,}5 \end{eqnarray*}$ eine gute Wahl. Noch schöner finde ich allerdings $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0{,}99990025052013 \end{eqnarray*}$ .

Wenn erst einmal klar ist, was Offenheit bedeutet, dann ist auch klar, was Abgeschlossenheit bedeutet. Und was offener Kern, abgeschlossene Hülle und Rand sind.

EDIT
Hatte meinen Beitrag bereits abgeschickt, bevor ich gbk97's letzten Beitrag gesehen hatte.

25.05.2013, 12:12

gbk97

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Um nochmal darauf zurückzukommen:

Zitat:

Eine offene Menge ist ja eine Menge, bei der alle Punkte innere Punkte sind. Wähle ich nun eine bel. Menge $\begin{eqnarray*} A \subset M= \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist ja jeder Punkt ein innerer Punkt von A, da ich ja nur ein Epsilon < 1 wählen muss und schon ist $\begin{eqnarray*} U_ {\epsilon}(a)=a \subset A \end{eqnarray*}$ (Begründung siehe Post davor), für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ .

Also ist jede Teilmenge von M eine offene Menge. Stimmt das?

25.05.2013, 12:18

Leopold

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Nachdem ich dich vorhin getadelt habe, muß ich dich jetzt loben. Bitte in der mathematischen Sprache nicht mehr hinter dieses Niveau zurückfallen. Jetzt versteht man dich.

Noch eine kleine Kritik bezüglich der Notation: Schreibe $\begin{eqnarray*} \{ a \} \end{eqnarray*}$ , wenn es um eine einelementige Menge geht, nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Und für die Teilmengenbeziehung, bei der man die Gleichheit nicht ausschließen kann, schreibt man heute $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ . (Zu meiner Jugend war das noch anders.)

Wenn nun aber jede Menge offen ist, wie sieht es dann mit Abgeschlossenheit aus? Und was ist dann bei jeder Menge ihr offener Kern und ihre abgeschlossene Hülle? Was also ihr Rand?

25.05.2013, 12:43

gbk97

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Danke schön. Ja, das hatte vorher teilweise auch mit Faulheit zu tun und weil ich nebenher auch noch was anderes zu tun hatte. Entschuldigung. Kommt nicht wieder vor.

Es gelte im Folgenden. $\begin{eqnarray*} A \subset M=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ bel.
Also, der Rand der Menge:

Laut Def. muss ja gelten, dass für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \cap A^c \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und auch
$\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \cap A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Da nun aber gilt: $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a)=\{a\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ <1, ist $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \cap A^c=\emptyset \end{eqnarray*}$ für alle epsilon mit 1>epsilon>0, da ja $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a \not \in A^c \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \partial A=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Abgeschlossenheit von A: Da die Menge A offen ist, ist sie schon mal nicht abgeschlossen. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ dann für jede Menge A abgeschlossen.

Das Innere von A: ist A selber und die Begründung habe ich oben schon geschrieben.

und der Abschluss/abgeschlossene Hülle von A: Das muss wieder das Innere sein, da gilt, dass : Abschluss von A= das innere von A $\begin{eqnarray*} \cup \partial A \end{eqnarray*}$ .

Die Häufungspunkte von A sind eine Teilmenge des Abschluss von A(?) und somit also auch eine leere Menge.

Und das sollte für alle Teilmengen von M gelten.

25.05.2013, 12:54

Leopold

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Zitat:

Original von gbk97
Abgeschlossenheit von A: Da die Menge A offen ist, ist sie schon mal nicht abgeschlossen.

Das stimmt nicht. Du unterstellst, daß abgeschlossen das Gegenteil von offen ist. Dem ist aber nicht so.

Du hast doch vorhin gezeigt, daß jede Menge offen ist, also muß auch $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ offen sein. Folgerung?

Zitat:

Original von gbk97
Die Häufungspunkte von A sind eine Teilmenge des Abschluss von A(?) und somit also auch eine leere Menge.

Da die Begründung auf einer falschen Voraussetzung fußt, ist sie ungültig. Wobei ich nichts über das Ergebnis gesagt habe ...

25.05.2013, 12:59

gbk97

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also wir haben uns das so definiert:

A heißt abgeschlossen, wenn $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ offen ist. Da jetzt A offen war, müsste $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ sein. Ich vermute mal, dass es dann letztendlich so wie bei der leeren Menge sein wird, die ja sowohl abgeschsollen als auch offen ist. Also ist A dann wohl sowohl abgeschlossen als auch offen.

25.05.2013, 13:23

Leopold

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Wenn alle Teilmengen offen sind, sind auch alle Teilmengen abgeschlossen, denn jede Menge ist das Komplement einer anderen (offenen) Menge.

Und was sind nun die Häufungspunkte einer Menge?

Übrigens: In einem diskreten (lat. discernere ~ absondern) Raum gibt es letztlich keine "Nähe". Jeder Punkt führt ein abgeschiedenes Leben für sich, abgesondert von den anderen. Während man sich die reellen Zahlen mit der gewöhnlichen euklidischen Metrik als Zahlengerade vorstellen kann, bei der die Punkte zu einem zähen Kontinuum aneinandergeschweißt sind und aneinander kleben, muß man diese Vorstellung bei den reellen Zahlen als diskretem Raum aufgeben. Zwischen einem Punkt und einem anderen liegt nichts als "leerer Raum". So liegen die Punkte $\begin{eqnarray*} P = \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q = 3{,}14 \end{eqnarray*}$ genau so weit voneinander entfernt wie $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R = 2013 \end{eqnarray*}$ . Und während man sonst sagen würde: aber $\begin{eqnarray*} S = 3{,}14159 \end{eqnarray*}$ liegt näher an $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , gilt das bei der diskreten Metrik nicht mehr. Zwischen all diesen Punkten liegt nichts als "leerer Raum". Die Punkte liegen wie einzelne Sandkörner im Weltall verteilt, nirgendwo zu einem Haufen zusammengeklumpt.

28.05.2013, 16:33

gbk97

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zuerst einmal Entschuldigung, dass ich so lange nicht mehr geantwortet habe. Um nochmal auf die Häufungspunkte zurückzukommen:

also nochmal: sei $\begin{eqnarray*} M=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und A sei eine bel. Teilmenge von M. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt. Die Frage nach den Häufungspunkten ist noch zu klären.

Die Häufungspunkte müssen eine leere Menge sein, da :

Def des Häufungspunkts:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >\, \, 0 \, \, gilt, dass \quad \dot U_{\epsilon} (x) \cap A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Da jetzt aber für $\begin{eqnarray*} \epsilon <1 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x)=\{a \in M: d(a,x)<\epsilon \}=x \end{eqnarray*}$ ist, folgt, dass $\begin{eqnarray*} \dot U_{\epsilon} (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon <1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x \in a \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt wurde, gilt also, dass die Häufungspunkte eine leere Menge sind.

Stimmt das so vollns?

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