uneigentliche integrale konvergenz

26.05.2013, 12:20

lalilu234

uneigentliche integrale konvergenz

Meine Frage:
Hallöchen,

ich bräuchte schnellstmöglich eine Lösung für folgende Probleme.
Diskutieren Sie (in Abhängigkeit von eventuellen Parametern) mit dem Majoranten / Minoranten-Kriterium die Existenz / Nichtexistenz der
folgenden uneigentlichen Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{pi/2} \! \frac{1}{\sqrt{\sin(x) } } \, dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^{r}\left(1- x\right)^{s} \, dx \end{eqnarray*}$ für r,s element R.

Vielen lieben Dank!

Meine Ideen:
leider haben wir erst mit dem thema begonnen und bin daher ratlos.

26.05.2013, 12:36

Theend9219

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RE: uneigentliche integrale konvergenz
Ein Uneigentliches Integral lässt sich bestimmen, indem du den Grenzwert von der entsprechenden Grenze die einen uneigentlichen Funktionswert bringt bildest.

26.05.2013, 13:02

lalilu234

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würdest du mir des an den 2 beispielen mal zeigen? danke smile

26.05.2013, 13:10

Theend9219

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Sei $\begin{eqnarray*} -\infty <a <b \leq \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:[a,b[ \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion. So ist das uneigendliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx :=\lim_{\beta \nearrow b} \int_a^{\beta} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das ist die Wikipedia definition.
also du bildest den Grenzwert

26.05.2013, 13:26

Theend9219

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Du suchst dir bei deiner Funktion ein Integral $\begin{eqnarray*} [a,\beta] \end{eqnarray*}$ und bildest davon das Integral. Wenn du das gemacht hast bildest du davon den Grenzwert (lim).

26.05.2013, 13:27

Che Netzer

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RE: uneigentliche integrale konvergenz

Zitat:

Original von lalilu234
Diskutieren Sie (in Abhängigkeit von eventuellen Parametern) mit dem Majoranten / Minoranten-Kriterium die Existenz / Nichtexistenz der
folgenden uneigentlichen Integrale

26.05.2013, 13:32

Mulder

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Zitat:

Original von Theend9219
Du suchst dir bei deiner Funktion ein Integral $\begin{eqnarray*} [a,\beta] \end{eqnarray*}$ und bildest davon das Integral. Wenn du das gemacht hast bildest du davon den Grenzwert (lim).

Was wäre denn deiner Meinung nach eine Stammfunktion von z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\sin(x)}} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Die Aufgabenstellung beachten.

Edit: Der vorige Post war mir irgendwie entgangen...

26.05.2013, 13:36

Theend9219

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schwiierig

26.05.2013, 17:07

lalilu234

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und kann mir jemand die 2 beispiele einmal komplett machen. dann kann ich es alles vll nachvollziehen smile

wär echt nett smile

26.05.2013, 17:14

Theend9219

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Komplett wird dir hier niemand etwas machen

26.05.2013, 17:28

Mulder

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Zu 1: Wir müssen ja gucken, was bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ passiert. Nahe $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} \sin(x) \approx x \end{eqnarray*}$ . Dann gibt's z.B. ein $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \sin(x) > \frac x 2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left ( 0, a \right ] \end{eqnarray*}$ zum Beispiel. Damit ließe sich doch eine gute Majorante basteln für die Umgebung nahe 0 (mit der Monotonie der Wurzel)

26.05.2013, 18:30

thk

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Zitat:

Original von Mulder
Zu 1: Wir müssen ja gucken, was bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ passiert. Nahe $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} \sin(x) \approx x \end{eqnarray*}$ . Dann gibt's z.B. ein $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \sin(x) > \frac x 2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left ( 0, a \right ] \end{eqnarray*}$ zum Beispiel. Damit ließe sich doch eine gute Majorante basteln für die Umgebung nahe 0 (mit der Monotonie der Wurzel)

Im geg. Intervall $\begin{eqnarray*} \left(0 \ ,\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} sin(x)<x \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \sqrt{sin(x)} < \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Dann ist dort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ Minorante von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{sin(x)}} \end{eqnarray*}$ .

Reicht die Divergenz des Integrals der Minorante nicht schon verwirrt

26.05.2013, 18:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von thk
Reicht die Divergenz des Integrals der Minorante nicht schon verwirrt

Zu dumm, dass diese Minorante (und auch das Originalintegral) nicht divergiert, sondern konvergiert. Augenzwinkern

Lass mal ruhig Mulder weitermachen, der weiß, was er tut.

26.05.2013, 19:18

thk

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ups stimmt Hammer

(Doppelhammer), ja zu dumm...

Aber entsprechend ist z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x}} \end{eqnarray*}$ konvergente Majorante.

Und wech.

27.05.2013, 14:53

lalilu234

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also ich bin jetzt darauf gekommen, dass da uneigentliche integral (das erste) existiert. habe es jetzt mit 1/2 x probiert und ich denke es passt. beim 2. bin ich jedoch kläglich am scheitern, da ich leider gar keine ahnung hab wie und mit was ich abschätzen soll.

27.05.2013, 15:41

HAL 9000

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Ich geb mal folgenden "heuristischen" Tipp: Für "kleine" $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\varepsilon} x^r (1-x)^s ~ \dd x \approx \int\limits_0^{\varepsilon} x^r ~ \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1-\varepsilon}^1 x^r (1-x)^s ~ \dd x \approx \int\limits_{1-\varepsilon}^1 (1-x)^s ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Das sollte dir eigentlich helfen, die kritischen Werte für $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ zu finden.

P.S.: Zur Vertiefung (aber hier noch nicht nötig) der eigentliche Integralwert im Konvergenzfall:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Betafunktion

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