Quadrat einer Zufallsvariablen

26.05.2013, 18:06

climber1978

Quadrat einer Zufallsvariablen

Hallo Zusammen

Ich hänge grade bei folgender Aufgabe fest:

Eine unfaire Münze mit Wahrscheinlichkeit von "Zahl"=P("Zahl")=0.6 und Wahrscheinlichkeit von "Kopf"=P("Kopf")=0.4 wird n-mal hintereinander geworfen. Jeder Wurf ist von den vorherigen unabhängig. Somit kann das Ergebnis in jedem Wurf durch die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} <br /> X_i\left\{\begin{matrix}1 \text{ für Zahl}\\0 \text{ für Kopf}\end{matrix}\right.;i=1,...,n<br /> \end{eqnarray*}$

...
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} X_i^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E[X_i^2] \end{eqnarray*}$
...

Mir ist nicht klar, was das Quadrat einer Zufallsvariable sein soll. $\begin{eqnarray*} E[X_i^2] \end{eqnarray*}$ lässt sich denke ich über den "Satz über den Erwartungswert eines Produkts $\begin{eqnarray*} E[X\cdot Y]=E[X]\cdot E[Y] \end{eqnarray*}$ berechnen.

Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank und viele Grüsse
Roland

26.05.2013, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von climber1978
$\begin{eqnarray*} E[X_i^2] \end{eqnarray*}$ lässt sich denke ich über den "Satz über den Erwartungswert eines Produkts $\begin{eqnarray*} E[X\cdot Y]=E[X]\cdot E[Y] \end{eqnarray*}$ berechnen.

Nein, das gilt nur für unabhängige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ist nun garantiert nicht von sich selbst unabhängig - sowas gilt nur für fast sicher konstante Zufallsgrößen. unglücklich

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Eigenartig, dass so viele Leute nicht in der Lage sind, Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsgrößen zu bestimmen. verwirrt

Maßtheoretisch gesprochen: Ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine messbare Funktion, so ist

$\begin{eqnarray*} E(h(X)) = \int\limits_{\Omega} h(X) ~ \dd P = \int\limits_{\mathbb{R}} h(x) ~ \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ das Verteilungsmaß von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist.

Das bedeutet in wichtigen Spezialfällen:

a) Für ein diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die die Werte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\ldots \end{eqnarray*}$ annehmen kann:

$\begin{eqnarray*} E(h(X)) = \sum_{k} h(x_k) P(X=x_k) \end{eqnarray*}$ .

b) Für ein stetige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E(h(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Beiläufig erwähnt:

Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} m\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt sowohl $\begin{eqnarray*} 0^m=0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 1^m = 1 \end{eqnarray*}$ , somit gilt für eine 0-1-Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (wie etwa dein $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ) schlicht und einfach $\begin{eqnarray*} X^m = X \end{eqnarray*}$ , also insbesondere auch $\begin{eqnarray*} E(X^m) = E(X) \end{eqnarray*}$ . smile

27.05.2013, 11:05

HAL 9000

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Da ich gerade diesen Thread

unfaire Münze - Punktschätzung

entdeckt habe, schlage ich vor, du hängst dich da mit dran - man muss ja nicht alles doppelt besprechen. Augenzwinkern

27.05.2013, 19:39

climber1978

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Hey Hal

Danke schon mal für deine Antworten. War bis jetzt hart am Arbeiten, aber jetzt werde ich mal alles durchschauen und dann hoffentlich schlauer sein.

Viele Grüsse
Roland

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