Reihen (Konvergenz)

26.05.2013, 19:32

Amplitude

Reihen (Konvergenz)

Ich hänge gerade bei zwei Reihen. Diese werden definiert wie folgt:

1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n cos(\frac{k\pi }{4})* \frac{k^{28} }{7^{k} } \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{\left(6+i\right)^{3k} }{(k!)^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Zu 1) Nach dem Wurzelkriterium folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \sqrt[k]{cos\left(\frac{k\pi }{4} \right) }| *\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Kann man das weiter berechnen? Also der Kosinus in der Wurzel bereitet mir ein Problem. Oder muss ich ein anderes Kriterium verwenden, da das lösen hier nicht möglich ist? Das k aus der Klammer zu ziehen ist glaube ich nicht erlaubt oder?

Zu 2) Nach dem Quotientenkriterium folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }\frac{\left(6+i\right)^{3} }{\left(k+1\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Mir bereitet die Imaginäre Einheit ein Problem. Ich sehe zwar, dass die Folge gegen 0 läuft, da Nenner schneller wächst. Man kann das überprüfen in dem man Realteil und Imaginärreil einzeln betrachtet. Ich versteh leider nicht wie ich das anstellen soll, deshalb wäre ein kleines Beispiel dazu Prima.

Ich bedanke mich schon einmal im Vorraus für jede Hilfe.

mfg

26.05.2013, 19:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Amplitude
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \sqrt[k]{cos\left(\frac{k\pi }{4} \right) }| *\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert existiert gar nicht. unglücklich

Verwende $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ bei der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Wurzel, also ähnlich wie in der bei Potenzreihen verwendeten Cauchy-Hadamard-Formel.

26.05.2013, 19:44

Amplitude

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \sqrt[k]{cos\left(\frac{k\pi }{4} \right) }| *\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert existiert gar nicht. unglücklich

[/quote]

Das heißt die Reihe divigiert oder ich hab ein falsches Kriterium genutzt ?

Zitat:

Wir nutzen nur Majoranten/Minorantenkriterium,Leibniz, Wurzel-und Quotientenkriterium, Nullfolgenkriterium zur Untersuchung.

Weisst du vielleicht auch wie ich den Realteil und Imaginärteil der zweiten Folge einzeln betrachten kann?

26.05.2013, 19:53

HAL 9000

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Dann eben Majorantenkriterium. Das Quotientenkriterium mit $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ ist eh nichts anderes als das Majorantenkriterium mit einer geometrischen Reihe als Majorante. Augenzwinkern

26.05.2013, 19:59

Amplitude

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Edit:

Oh, stimmt jetzt fällt es mir ein wenig auf.

Moment!!

Edit 2: Mich würde deine Abschätzung nun doch ein wenig interessieren. Wie erkennst du das so schnell? Ich kann z.b. nicht abschätzen ob k^28 oder 7^k schneller wächst.

26.05.2013, 20:27

Che Netzer

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RE: Reihen (Konvergenz)
Dieser Thread für die zweite angegebene Reihe genügte nicht?

Die Betragsstriche wurden übrigens in beiden Lösungsansätzen falsch (bzw. gar nicht) gesetzt.

26.05.2013, 20:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Amplitude
Ich kann z.b. nicht abschätzen ob k^28 oder 7^k schneller wächst.

Dann solltest du dir ein für allemal merken (bzw. noch besser: selbst mal beweisen), dass für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ jede Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto a^x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ schneller wächst als jede Potenzfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^m \end{eqnarray*}$ . Das gilt z.B. auch für $\begin{eqnarray*} a=1.001,m=1000000 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.05.2013, 20:57

Amplitude

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Amplitude
Ich kann z.b. nicht abschätzen ob k^28 oder 7^k schneller wächst.

Sehr wichtiger Hinweis, den ich tollpatsch schon öfters gehört hatte aber nie ernstgenommen hatte! Vielen dank. Ich hoffe das hilft mir weiter. Ich melde mich wenn ich keine Abschätzung finde.

26.05.2013, 21:21

Amplitude

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Ich finde einfach keine passende Abschätzung zu einer konvergenten Geometrischen Reihe:

Was ist falsch bei meinem Vorgehen?

26.05.2013, 21:59

HAL 9000

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Dann schlage ich nal vor, du machst es zweistufig: Zunächst mal schätzt du die Reihe der Absolutwerte wie eben ab

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left| \cos\left( \frac{k\pi}{4} \right) \right| \cdot \frac{k^{28}}{7^k} \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{28}}{7^k} \end{eqnarray*}$ ,

und die rechts stehende Majorante unterziehst du nun Wurzel- oder Quotientenkriterium. Das müsstest du dann aber endlich packen, wählerisch wie du bist. Augenzwinkern

26.05.2013, 22:06

Amplitude

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Moment, was hast du den da gerade gemacht? Ist das erlaubt ? Das macht die Sache viel einfacher in Bezug auf diese Aufgabe.

Wann darf ich so eine Abschätzung den immer machen, wobei ich nach der Abschätzung ein Kriterium verwende? Bisher war mir nur bekannt, dass ich eine Reihe mit einer minorante bzw. majorante vergleiche. Aber das ich sie abschätze wie in diesem Beispiel und dann ein Kriterium verwende ist mir neu.

Also kurz: Wann darf ich eine Abschätzung machen und nach dieser Abschätzung ein Kriterium verwenden?

mfg

Edit 1: Mithilfe des Wurzelkriteriums kommt 1/7 heraus für die abgeschätzte Reihe. Das heißt, da 1/7 <1 konvergiert die Reihe.

Edit 2: Ok, ich hab es verstanden. Man verwendet im Prinzip das Majorantenkriterium. Und wenn diese konvergiert (Hier konvergiert sie mithilfe des Wurzelkriteriums) dann konvergiert auch die betrachtete Reihe).

Kannst du mir bitte trotzdem einen Tipp geben wie ich ein Vergleich mit einer Geometrischen Reihe machen kann? Ich will das auch verstehen.^^

27.05.2013, 08:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Amplitude
Wann darf ich eine Abschätzung machen

"Darf"? Wenn sie stimmt.

Natürlich macht es nur Sinn, wenn sie in der richtigen Richtung liegt. Die Abschätzung nach unten durch eine konvergente Reihe wäre z.B. ziemlich sinnfrei.

Zitat:

Original von Amplitude
Mithilfe des Wurzelkriteriums kommt 1/7 heraus für die abgeschätzte Reihe. Das heißt, da 1/7 <1 konvergiert die Reihe.

Ja.

Zitat:

Original von Amplitude
Kannst du mir bitte trotzdem einen Tipp geben wie ich ein Vergleich mit einer Geometrischen Reihe machen kann?

Das ist eher technischer Natur und basiert wieder auf der obigen Aussage

Zitat:

Original von HAL 9000
dass für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ jede Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto a^x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ schneller wächst als jede Potenzfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^m \end{eqnarray*}$ .

Denk doch mal selbst nach: Nach dieser Aussage gelingt die Majorisierung von $\begin{eqnarray*} \frac{k^{28}}{7^k} \end{eqnarray*}$ durch jedes $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} < q < 1 \end{eqnarray*}$ .
Zwar nicht notwendig für jedes $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ , aber für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ mit hinreichend groß gewählten $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ - und das reicht!

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