Teilen im faktoriellen Ring

27.05.2013, 00:17

gnusmas

Teilen im faktoriellen Ring

Abend!
Kann mir jemand helfen?

Sei R faktorieller Ring. $\begin{eqnarray*} a,b,c \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a|bc \end{eqnarray*}$ und a ist teilerfremd zu b.
Ich will zeigen: $\begin{eqnarray*} a|c \end{eqnarray*}$ .

Ansatz:
R faktorieller Ring impliziert die Existenz eines ggT, allerdings nicht die Existenz einer Bezout-Darstellung. Also kann diese nicht verwendet werden.

$\begin{eqnarray*} a,b,c \in R \Rightarrow \exists a_1,...,a_n,b_1,...,b_m,c_1,...,c_r \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n,b_1,...,b_m,c_1,...,c_r \end{eqnarray*}$ prim.

Weiter weiß ich allerdings nicht. Es läuft ja aber darauf hinaus, dass ich sagen will:
a teilt bc, aber a teilt nicht b, daher muss a irgendwie in c drin stecken.

Wie komme ich zum Ziel?

Grüsse

27.05.2013, 17:13

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachmittag!

in faktoriellen Ringen hast du die eindeutige Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} x=\prod_{i=1}^n \epsilon p_i^{e_i} \end{eqnarray*}$ .
Damit kann man das ganze sehr schnell zeigen.

27.05.2013, 17:17

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilen im faktoriellen Ring
hallo,
ja, du bist doch schon fast am ziel, das wesentliche ist hier ja,das der ring
faktoriell ist, das heisst es gibt nur eine möglichkeit, ein element aus dem ring
als produkt von primelementen zu schreiben, und wenn a teiler von b*c ist,
dann muss ja jeder primteiler von a auch teiler von b*c sein, und wenn a und
b teilerfremd sind, bleibt für die primteiler doch nur c übrig, eigentlich doch logisch...
gruss ollie3
edit:@ watcher: na da hatten wir ja die gleichen gedanken und parallel
geantwortet Big Laugh

27.05.2013, 17:53

gnusmag

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Und ersteinmal danke für eure Antworten!

Ich sage also, dass wenn a und b teilerfremd sind, alle Primzahlen der Zerlegungen paarweise teilerfremd sein müssen, da sonst 1 kein ggT von a und b wäre? Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} a|bc \Rightarrow a|c \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1,...,b_m \end{eqnarray*}$ paarweise teilerfremd.
So richtig?

Aber die Darstellungen exisiteren ja nur, wenn a, b und c nicht Null und keine Einheiten sind.
Die Sonderfälle a=0, b=0 und c=0 habe ich schon betrachtet. Die müssten ja alles abdecken.

Aber bei den Einheitenfällen sehe ich nicht, wie ich zum Ziel komme:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in R^{\ast} \end{eqnarray*}$ . Dann ex. $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in R^{\ast}: a\varepsilon =1 \end{eqnarray*}$ .

27.05.2013, 18:24

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

alle Primzahlen der Zerlegungen paarweise teilerfremd sein müsse

d.h. dass es paarweise nicht-assoziirte Primzahlen sind?

Zitat:

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} a|bc \Rightarrow a|c \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1,...,b_m \end{eqnarray*}$ paarweise teilerfremd. So richtig?

Das ist kein Beweis. Das ist eine leichte sprachliche Umformulierung der Behauptung.

Und Einheiten untereinander sind immer teilerfremd.

27.05.2013, 18:33

gnusmas

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist kein Beweis. Das ist eine leichte sprachliche Umformulierung der Behauptung.

Ich habe jetzt gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \forall i \in \lbrace 0,...,n \rbrace, j \in \lbrace 0,...,m \rbrace \end{eqnarray*}$ gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} a_i \neq b_j \end{eqnarray*}$ , da sonst 1 kein ggT von a und b wäre.
Damit folgt, dass wenn a bc teilt, a in c enthalten sein muss, da es nicht in b enthalten sein kann. Und damit folgt a teilt c.

Ist das so in Ordnung?

Zitat:

Und Einheiten untereinander sind immer teilerfremd.

Inwiefern hilft mir das? Ich dachte ich muss jetzt jeden Fall durchgehen:
a Einheit, b und c nicht
b Einheit, a und c nicht
c Einheit, a und b nicht
a und b Einheit, c nicht
a und c Einheit, b nicht
b und c Einheit, a nicht
a und b und c Einheit

27.05.2013, 19:04

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich habe jetzt gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \forall i \in \lbrace 0,...,n \rbrace, j \in \lbrace 0,...,m \rbrace \end{eqnarray*}$ gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} a_i \neq b_j \end{eqnarray*}$ , da sonst 1 kein ggT von a und b wäre. Damit folgt, dass wenn a bc teilt, a in c enthalten sein muss, da es nicht in b enthalten sein kann. Und damit folgt a teilt c.

Das ist besser.

Von deinen Fällen fallen einige aus Symmetriegründen weg.

Vielleicht hilft es dir hier mal die Def. auszuschreiben:
$\begin{eqnarray*} a|bc :\Leftrightarrow \exists \mu: a\mu=bc \end{eqnarray*}$
Eine Einheit teilt übrigens jedes Element.

27.05.2013, 19:53

gnusmas

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Von deinen Fällen fallen einige aus Symmetriegründen weg.

Ich habe jetzt alle Fälle außer c ist Einheit hinbekommen. Mit der Argumentation, dass eine Einheit ein trivialer Teiler ist.
Mir ist gerade allerdings nicht mehr so ganz klar wie die Begründung dafür ist. Würde es dir was ausmachen nochmal kurz zu erläutern warum eine Einheit jedes Ringelement teilt?

Für den $\begin{eqnarray*} c \in R^{\ast} \end{eqnarray*}$ Fall:
$\begin{eqnarray*} c \in R^{\ast} \Rightarrow \exists c^{-1} \in R: c \cdot c^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \exists \mu \in R : a \mu = bc \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a\mu c^{-1}=b \Rightarrow a|b \end{eqnarray*}$ Widerspruch.
Also kann c keine Einheit sein.

Korrekt?

27.05.2013, 22:25

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ Einheit, $\begin{eqnarray*} r\in R \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} r=\epsilon (\epsilon ^{-1} r) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Für den $\begin{eqnarray*} c \in R^{\ast} \end{eqnarray*}$ Fall: $\begin{eqnarray*} c \in R^{\ast} \Rightarrow \exists c^{-1} \in R: c \cdot c^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ Es gilt: $\begin{eqnarray*} \exists \mu \in R : a \mu = bc \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a\mu c^{-1}=b \Rightarrow a|b \end{eqnarray*}$ Widerspruch. Also kann c keine Einheit sein.

Da ist kein Widerspruch. Aus a|b folgt a|ggT(a,b)=1, d.h. a ist Einheit.
Damit gilt dann auch a|c.

28.05.2013, 09:29

gnusmas

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir!

Zitat:

Da ist kein Widerspruch. Aus a|b folgt a|ggT(a,b)=1, d.h. a ist Einheit.

Nunja, aber es wird ja vorausgesetzt dass a und b teilerfremd sind und wenn ich dann a|b erhalte, kann ich ja schliessen das nach Voraussetzung c keine Einheit sein darf, sonst würde ein Widerspruch vorliegen?

28.05.2013, 09:34

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

c ist nach Voraussetzung ein Einheit. geschockt

Zitat:

Für den $\begin{eqnarray*} c \in R^{\ast} \end{eqnarray*}$ Fall:

28.05.2013, 10:49

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Teilbarkeit ist nur bis auf Assoziiertheit definiert. Wenn also ein Element a ein anderes Element b teilt, dann tun dies auch alle assozierten Elemente von a, da man alle zu a assozierten Elemente schreiben kann als $\begin{eqnarray*} ae, e\in R^* \end{eqnarray*}$ . Gilt also $\begin{eqnarray*} a\mid b \end{eqnarray*}$ dann gilt auch $\begin{eqnarray*} ae\mid b \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a = a\cdot 1 = aee^{-1}, ad = b = ae\cdot e^{-1}d \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Teilen im faktoriellen Ring

Verwandte Themen