Funktionalgleichung

30.07.2004, 18:21

Mathestudent

Funktionalgleichung

Hi Leute,

ich habe ein kleines Problem. Es geht darum das mir die Lösung von einer Übungsaufgabe fehlt und ich in ein paar Tagen meine Ana I Klausur schreiben werde.
Da ich alle Übungsaufgaben vor der Klausur nochmal durchrechnen möchte, fände ich es super nett von euch wenn mir jemand bei der Lösung der folgenden Aufgabe behilflich sein könnte.

Es sei f:IR->IR stetig in IR, und es gelte die Funktionalgleichung
f( $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ )=f(x) für $\begin{eqnarray*} \forall x\in IR \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie: f ist konstant.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Mathestudent

30.07.2004, 18:36

Leopold

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Betrachte zunächst für ein festes a>0 die Folge

$\begin{eqnarray*} a , \ \sqrt{a} , \ \sqrt{\sqrt{a}} , \ ... \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a_n \ = a^{\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$ .

30.07.2004, 18:56

Mathestudent

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Funktionalgleichung
Hi Leopold,

du meinst also wenn ich jetzt die
Folge a(n)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ,..., $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{2n}} \end{eqnarray*}$
in die Funktionalgleichung einsetze dann erhalte ich:
f( $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ ),f(a), f( $\begin{eqnarray*} a^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ ),
f( $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ ),f( $\begin{eqnarray*} a^{\frac{2}{5}} \end{eqnarray*}$ ),
f([latex]a^{3},...
Daraus folgt dann das wenn du die Funktionen dann alle miteinander multiplizierst du eine konstante Funktion a erhälst?
Habe ich das jetzt richtig erklärt bzw. richtig verstanden?

Mathestudent

30.07.2004, 19:19

Philipp-ER

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Sehr schöner Tipp Leopold.
@Mathestudent:
Deine Antwort verstehe ich nicht wirklich.
Betrachte doch mal die Bildfolge von Leopolds Folge unter f. Was gilt für sie? Wie lautet jedoch auf Grund der Stetigkeit ihr Grenzwert (dafür brauchst du den Grenzwert von a_n, der aber bekannt sein dürfte)? Damit ist für positive a alles gezeigt, der negative Fall lässt sich jedoch mit der Funktionalgleichung sehr schnell erledigen.

30.07.2004, 19:30

Mathestudent

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Funktionalgleichung
Hi,

also der Grenzwert der Folge a(n) = 1 wenn du den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a(n) \end{eqnarray*}$ bildest oder habe ich jetzt irgendwie total den Faden verloren? :P
Denn dadurch das der grenzwert 1 ist und alle anderen werte sich aufheben (siehe oben) ergibt es das die Funktion f(x) konstant sein muss.
Falls das jetzt falsch ist bitte ich um Erklärung.
Danke
Mathestudent

30.07.2004, 19:45

mathemaduenn

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Hallo Mathestudent,
Dein Beweis klingt irgendwie wenig exakt. Mit Leopolds Tip kannst Du aber bestimmt einen Widerspruchsbeweis hinkriegen. f(a)ungleich f(b) daraus folgt f unstetig in einem Punkt.
gruß
mathemaduenn

30.07.2004, 19:58

Philipp-ER

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Ich denke, du meinst das Richtige, aber so kann man das nicht formulieren. Versuche doch mal, mathematisch sauber aufzuschreiben, was du meinst.

Einen Widerspruchsbeweis braucht man hier meiner Meinung nach nicht, man kann direkt f(a)=f(1) für alle a>0 zeigen (den Fall a=0 hatte ich vorhin noch vergessen, aber der ist, nachdem man es für a>0 gezeigt hat, dann wohl trivial).

30.07.2004, 20:59

Mathestudent

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Beweis Funktionalgleichung
Hallo nochmal,

ich denke ich habe den Beweis jetzt verstanden. Er funktioniert für a>0 folgendermaßen (nähere Informationen siehe Bild)
Daraus folgt dann das wenn du jetzt den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a(n \end{eqnarray*}$ das dann nur noch das einzelne a stehen bleibt und daraus folgt, weil a konstant ist, das es sich um eine konstante Funktion handelt.
Ist der Beweis jetzt schlüssig genug?

mathestudent

30.07.2004, 21:08

mathemaduenn

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Hallo Mathestudent,
In deinem Beweis kommt f(a) gar nicht vor.
Du willst doch aber etwas für f(a) zeigen oder?
gruß
mathemaduenn

30.07.2004, 21:22

Mathestudent

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Beweis Funktionalgleichung
Das f(a) habe ich weggelassen aber das kann man sich dann ja auch jeder Seite in dem obigen Bild hinzudenken.
Aber der Beweis ist doch dann trotzdem in ordnung oder etwa nicht?

mathestudent

30.07.2004, 22:07

mathemaduenn

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Hallo Mathestudent,
f(a)=f(a) das scheint logisch aber was soll das beweisen.
f(a)=a dies scheint unlogisch.
In der Klausur gilt ein weggelassenes f vorm a bestimmt auch nicht.
Vielleicht versuchst Du's mal mit limes und so aufzuschreiben.
@Phillip_ER
Recht hattest Du ohne Widersruch ist's kürzer.
gruß
mathemaduenn
Edit: Eigentlich stand hier schon eine Lösung aber das wäre ja weniger hilfreich.

30.07.2004, 23:30

Mathestudent

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Lösung Funktionalgleichung
Hi mathemaduenn,

ich wäre dir wirklich sehr dankbar wenn du mir die Lösung von dir zukommen lassen könntest, damit ich genau weiß wie diese Aufgabe zu lösen ist denn der Lösungsansatz von mir scheint ja schon richtig zu sein nur der Abschluß ist halt noch mein Problem.
Bitte zeig mir mal wie du das bewiesen hast.
Vielen vielen dank

Mathestudent Gott

30.07.2004, 23:50

Leopold

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Betrachte für a>0 die Folge der

$\begin{eqnarray*} a_n \ = \ a^{\frac{1}{2^n}} \ , \ \ n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Diese Folge hat bekanntermaßen den Grenzwert 1 (Stetigkeit der Exponentialfunktion an der Stelle 0). Nun gilt aber aufgrund der Funktionalgleichung (bei jedem zweiten Gleichheitszeichen verwendet)

$\begin{eqnarray*} f(a) = f(a_1^2) = f(a_1) = f(a_2^2) = f(a_2) = f(a_3^2) = f(a_3) = ... \end{eqnarray*}$

d.h. die Folge der $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ ist konstant. Wegen der Stetigkeit kommt sie aber dem Wert f(1) beliebig nahe, da das Argument $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert (siehe oben). Damit muß jedes Folgenglied gleich f(1) sein, insbesondere gilt: f(a)=f(1).

Da a>0 beliebig war, ist damit gezeigt, daß f in x>0 konstant ist.

Und wie man jetzt die Fälle x<0 und x=0 erledigt, solltest du selbst herausfinden.

31.07.2004, 01:43

mathemaduenn

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Hallo Mathestudent,
Leopold hat zwar den Beweis schon geliefert trotzdem nochmal ein klein wenig anders hatte ich's ja doch formuliert.
Also Beweis:
Sei a aus R\{0}
o.B.d.A. a>0 (wg. ...)
$\begin{eqnarray*} a_n=a^{\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$
dann gilt
$\begin{eqnarray*} f(a_0)=f(a) \wedge f(a_{n+1})=f(a^{\frac{1}{2^{(n+1)}}})=f((a^{\frac{1}{2^{(n+1)}}})^2)=f(a^{\frac{1}{2^n}})=f(a_n) \Rightarrow f(a)=f(a_n) \forall n \Rightarrow \lim_{n \to \infty } f(a_n) =f(a) \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt wegen der Stetigkeit von f
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n =1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } f(a_n) =f(1) \end{eqnarray*}$
Also gilt f(a)=f(1)=konstant a war beliebig aus R\{0}
Für die 0 kannst Du's wiederum aus ... schließen.
Bei den ... Hab ich mich mal an Leopold orientiert.
gruß
mathemaduenn Schläfer

Edit :Formel berichtigt

31.07.2004, 02:29

Mathespezialschüler

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@mathemaduenn
Bei dir is beim Schluss von n auf n+1 ein kleiner Fehler drin:

Zitat:

Original von mathemaduenn

$\begin{eqnarray*} f((a^{\frac{1}{2^n}})^2)=f(a^{\frac{1}{2^{(n+1)}}}) \end{eqnarray*}$

Rechts müsste 2^(n-1) stehen, tut aber nichts zur Sache, da du dann bewiesen hättest, dass f_n=f_(n-1). Wenn du aber von n auf n+1 kommen willst, musst du deine Reihenfolge einfach nur umkehren und noch ein bisschen verändern:

$\begin{eqnarray*} f(a_0)=f(a) \wedge f(a_n)=f(a^{\frac{1}{2^n}})=f(a^{\frac{1\cdot 2}{2^n\cdot 2}})=f(a^{\frac{1}{2^{(n+1)}}\cdot 2})=f((a^{\frac{1}{2^{(n+1)}}})^2)=f((a_{n+1})^2)=f(a_{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(a)=f(a_n) \forall n \Rightarrow \lim_{n \to \infty } f(a_n) =f(a) \end{eqnarray*}$

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