Aufgaben zur Kombinatorik

28.05.2013, 17:48

zero-light

Aufgaben zur Kombinatorik

Edit (mY+): Hilfeersuchen sehen wir hier nicht gerne, schon gar nicht in der Überschrift. Diese werden deshalb entfernt. Erstelle stattdessen besser einen aussagekräftigeren Titel für dein Thema.

Hi Leute,

habe hier ein paar Aufgaben zur Kombinatorik. Hab zwar selber Lösungen raus, aber bin mir so gar nicht sicher ob die stimmen...

Für Hilfreiches schonmal vielen Dank!

Es sollen mehrere verschiedenfarbige Lampen an einer Lichterkette angebracht werden. Die Lampen haben fünf Farben (rot, weiß, gelb, blau, grün) und von jeder Farbe wurden vier Stück besorgt.

1. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn fünf nicht zwingend verschiedenfarbige Lampen angebracht werden sollen und es auf die farbliche Reihenfolge ankommt?

Meine Lösung:

mR, oW

n!/(n-k)! = 20!/(20-5)! = 1.860.480

2. Wie viele in Teil 1) berechnete Möglichkeiten entfallen, wenn zusätzlich keine roten Lampen nebeneinander hängen dürfen?

Meine Lösung:

mR, oW ; nur noch mit drei roten möglich

19!/(19-5)! = 1.395.360

1.860.480 - 1.395.360 = 465.120 entfallen

3. Eine Sekretärin muss fünf Briefe in die passenden Umschläge mit richtiger Adresse einordnen. Dabei achtet sie jedoch nicht auf die richtige Zuordnung und schickt die Briefe ab.

In wie viel Prozent der der Fälle bekommt mind. einer der fünf Empfänger den für ihn bestimmten Brief?

Meine Lösung:

Mögliche Fälle wie die Briefe eingeordnet wurden:

5! = 120

Fälle in denen das Gesuchte eintritt:

fünf richtig: 5C5 = 1
vier richtig: 5C4 = 5
drei richtig: 5C3 = 10
zwei richtig: 5C2 = 10
einer richtig: 5C1 = 5
= 31

31/120 = 0,2583 also 25,83%

Danke schonmal für Anregungen, Lösungen und Lob Augenzwinkern

29.05.2013, 11:11

Huggy

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RE: Hilfe zu Kombinatorik

Zitat:

Original von zero-light
Danke schonmal für Anregungen, Lösungen und Lob Augenzwinkern

Mit Lob wird es erst mal nichts, denn das ist alles falsch! Man hat den Eindruck, du hast völlig gedankenlos in irgendwelche Formeln irgendwelche Zahlen aus der Aufgabe eingesetzt in der vagen Hoffnung, dabei das Richtige zu treffen.

Beginnen wir mal mit 1.
Die Lichterkette hat 5 Positionen. Wenn man die Restriktion außer Acht lässt, dass man von jeder Farbe nur 4 Lampen hat, gibt es für jede Position 5 Möglichkeiten (Farben). Das ergäbe

$\begin{eqnarray*} 5^5=3125 \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten. Das sind bedeutend weniger Möglichkeiten, als du ausgerechnet hast. Und von denen sind noch die abzuziehen, bei denen man 5 Lampen gleicher Farbe verwendet hat. Wieviele Möglichkeiten bleiben?

Und jetzt denk noch mal über 2. nach! Mit 3. beschäftigen wir uns anschließend.

29.05.2013, 13:06

zero-light

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Also, nochmal zum Verständnis für mich...

Ich rechne hier mit Wiederholung, da ich fünf Positionen habe, welche stets von der selben Farbe eingenommen werden können (abgesehen von eben 5 mal die selbe)?

Somit 5^5 = 3.125

Dann noch die fünf Fälle abziehen... 3.125 - 5 = 3.120

Dann zu 2.

Wenn ich mir das ganze mal aufschreibe in der Form RRRRX ; RRRXR ; ...

komme ich auf insgesamt 18 Fälle in denen rote Lampen nebeneinander hängen.

Aber ich finde leider keinen logischen Zusammenhang wie ich das ohne es aufzuschreiben berechnen könnte...

Vorausgesetzt 18 stimmt überhaupt verwirrt

Hast du vielleicht nochmal einen Tipp in welche Richtung ich da zumindest denken muss?

Das einzige was mir dabei noch kommen würde wäre:

5^2 da fünf Möglichkeiten und zwei nebeneinander

macht 25 abzüglich die Fäll alle fünf rot, keiner rot, nur einmal rot (an fünf verschiedenen Positionen)

würde 18 ergeben

29.05.2013, 13:52

Huggy

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Wenn man die Fälle zählen will, in denen mindestens 2 rote Lampen nebeneinander sind, muss man natürlich mitzählen, auf wieviele Arten die restlichen Positionen besetzt sein können.

Angenommen, man hat 4 rote Lampen und eine andersfarbige. Dann sind immer mindestens 2 rote Lampen nebeneinander. Diese Fälle muss man also alle abziehen. Nun kann die andersfarbige Lampe auf 5 Positionen sein. Und für jede dieser Positionen kann sie noch eine der 4 anderen Farben haben. Wieviel Möglichkeiten gibt das insgesamt?

Analog muss man die Fälle genau 3 rote Lampen und und genau 2 rote Lampen behandeln. 5 rote Lampen ist ja eh nicht möglich und bei genau einer roten Lampe können nicht 2 nebeneinander sein.

29.05.2013, 14:30

zero-light

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Also,

somit habe ich für eine andere farbe 5x4 Möglichkeiten

zwei farben 4^2 x 9

drei farben 4^3 x 4

-> 4 x 5 + 16 x 9 + 64 x 4 = 420 Möglichkeiten die entfallen.

29.05.2013, 15:05

Huggy

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Richtig!
Und nun ist ein kleines Lob nicht verkehrt.

Kommen wir zu 3.
Dein Grundgedanke war wohl, die Fälle zu addieren, bei denen genau 1, 2, 3, 4, 5 Empfänger den für ihn bestimmten Brief bekommen. Der Gedanke ist in Ordnung, aber nicht korrekt ausgeführt. Betrachten wir den Fall, genau 1 Empfänger bekommt den für ihn bestimmten Brief. Für diesen Empfänger hat man 5 Möglichkeiten. Diese 5 steht bei dir. Aber zu jeder dieser Möglichkeiten gibt es noch eine Reihe von Möglichkeiten, wie die restlichen Briefe verteilt sein können, ohne dass ein weiterer Empfänger den für ihn bestimmten Brief bekommt. Diese weitere Unterteilung hast du außer Acht gelassen.

Man kann versuchen, die weitere Unterteilung abzuzählen. Das ist aber etwas unhandlich. Es gibt einen anderen systematischen Weg. Es sei $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ die Menge der Möglichkeiten, bei denen der Empfänger i den für ihn bestimmten Brief bekommt, unabhängig davon, ob andere Empfänger den richtigen Brief bekommen oder nicht. Die Menge der Möglichkeiten, bei denen mindestens ein Empfänger den für ihn bestimmten Brief bekommt ist dann gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} A=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 \end{eqnarray*}$

Nun lässt sich $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ nach der sogenannten Siebformel bestimmen. Für das Briefproblem und seine diversen Einkleidungen ist das wiederholt hier im Forum besprochen worden. Schau dir z. B. mal hier

Kombinatorik

die Antworten von Leopold an.

30.05.2013, 14:03

zero-light

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Um das ganze nun erfolgreich zu beenden...

das gesuchte Ereignis ist A, also dass mind. ein Brief richtig zugeschickt wird.

$\begin{eqnarray*} | A | = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} * 4! - \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} * 3! + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} * 2! - \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} * 1! + \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} * 0!<br /> <br /> = 76 \end{eqnarray*}$

Restmenge:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} * 5! - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} * 4! + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} * 3! - \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} * 2! + \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} * 1! - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} * 0!<br /> <br /> = 44 \end{eqnarray*}$

Probe:

76 + 44 = 120 = 5!

in Prozent:

76/1,2 = 63,33 %

also in 63,33% erhält mind. ein Adressat den richtigen Brief.

30.05.2013, 15:38

Huggy

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Korrekt! Freude

30.05.2013, 15:47

zero-light

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RE: Hilfe zu Kombinatorik
Super, vielen Dank!

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