Varianz und Erwartungswert gegeben

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xbody Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz und Erwartungswert gegeben
Zwei Schüler wollen sich etwa um 14 Uhr am Bahnhof treffen.
Beide sind aber jeweils nur höchstens 15 Minuten bereit auf den anderen zu warten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden treffen,
wenn die Ankunftszeiten T1 und T2 voneinander unabhängig und normalverteilt sind mit Erwartungswert 14 Uhr und Varianz 50 (Minuten^2)?

Mein Problem: Ich weiß überhaupt nicht, wie man soetwas ausrechnet. Ich denke es ist nicht schwer, aber wie? Ich habe die Nomalverteilung verstanden. Aber logisch komme ich nicht auf die Lösung. Was und wie, welche Formel soll ich verwenden? Vermutlich ist das wieder bloß Formel einsetzen und fertig.

Ich habe als Ansatz bisher folgendes betrachtet: (konnte aber nichts angfangen damit)


und daraus folgt =


und daraus folgt =

Das heißt im Mittel kommen die beiden jeweils etwa 7 Minuten zu spät oder zu früh.
Weil wir damit die Abweichung vom Mittelwert also 14 Uhr (840 Minuten nach 0 Uhr)
ausgerechnet haben.

Ebenso gilt:



Ich kann mir das alles schön vorstellen, aber nichts damit anfangen.

Ich denke, dass folgender Ansatz richtig ist


Dann gilt nämlich.

(T normalverteilt zu Parametern ...)

Wenn

und


Somit ist

Aber wie rechne ich damit weiter?
Ich kann mit Differenzwahrscheinlichkeit nichts anfangen.
Vielleicht gibt es auch eine anschaulichere Lösung... Ich bräuchte es bis zum Wochenende, aber keinen Plan, wie ich soetwas hinbekomme, denn ich habe soetwas noch nie gemacht. Hammer

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, zweiten Beitrag gelöscht. Steffen
gastt Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Aufgabenstellung hast du folgendes vergessen zu verwenden:

Zitat:

Beide sind aber jeweils nur höchstens 15 Minuten bereit auf den anderen zu warten.


D.h. die Differenz zwischen den Ankunftszeiten darf höchstens 15min betragen sonst verpassen sie sich.

Gesucht ist somit:

xbody Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Ja ich schaue mir das an. smile
xbody Auf diesen Beitrag antworten »
Erledigt
Ja der Tipp hat es gebracht. Ist ja ganz einfach, wenn man noch die Notation blickt.
Man musste einfach nur noch die Gauss-Kurve von integriereren in dem Intervall von -15 bis 15. Also die Wahrscheinlichkeiten, dass die Differenz der Zeitpunkte T1 - T2 zwischen -15 und 15 Minuten liegt, dann hat man die gesuchte Gessamtwahscheinlichkeit.
gastt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xbody
Man musste einfach nur noch die Gauss-Kurve von integriereren in dem Intervall von -15 bis 15.


Also dieses gefällt mir garnicht, du meinst eventuell schon das richtige aber gängig ist so eine Schreibweise nicht. Bei stetigen Verteilungen gilt übrigens:

für alle t, sofern dir das noch nicht bekannt war.

Ganz exakt suchst du die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis:



D.h. der Betrag muss kleiner gleich 15 sein. Es gilt:



Das letzte Integral berechnet man allerdings nicht per Hand, sondern überträgt das Problem auf eine Standardnormalverteilte Zufallsvariable und löst es per Standardnormalverteilungstabelle (siehe Rechnen mit der Standardnormalverteilung in Wikipedia).
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