Sattelpunkt berechnen

29.05.2013, 16:20

Toddy

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Sattelpunkt berechnen

Ich möchte wissen, wie man den Sattelpunkt berechnet.

Ich weiß schon, dass der Sattelpunkt kein Vorzeichenwechsel hat. Dennoch hat er eine waagerechte Tangente.

Ich habe eine Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{24}x^4-\frac{1}{6}x^3=f(x) \end{eqnarray*}$

Nun muss ich für diese Funktion drei Ableitungen bilden:
$\begin{eqnarray*} 0,166x^3-0,5x^2=f'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5x^2-x =f''(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1 =f'''(x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt ?
Ich benutze zum ersten mal den Latex-Editor xD

29.05.2013, 16:25

Gast11022013

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Ein Sattelpunkt ist eigentlich ein "Nebenprodukt" wenn du ganz normal die Extrempunkte und Wendepunkte bestimmst.

Ein Sattelpunkt ist eine spezielle Form des Wendepunktes, da hier eine waagerechte Tangente vorliegt, wie du ja schon sagtest.

Für einen Sattelpunkt gilt also:

$\begin{eqnarray*} f '(x_0)=0<br /> <br /> f ''(x_0)=0<br /> <br /> f '''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Du berechnest also ganz normal erstmal die Extrempunkt, indem du die erste Ableitung gleich Null setzt.
Wenn du nun in der zweiten Ableitung prüfen möchtest ob dies ein Hoch oder Tiefpunkt ist, dann kommt auch hier eine Null raus, weshalb keine Aussage möglich ist, ob es Hoch oder Tiefpunkt ist.

Ist dieser Punkt dann auch noch Wendepunkt, sprechen wir von einem Sattelpunkt.

29.05.2013, 16:46

Toddy

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Extrema:
Notwendige Bedingung für Extremstellen: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,166x^3-0,5x^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=3,012 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte: $\begin{eqnarray*} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0,5*(0^2)-0 = 0 \end{eqnarray*}$ keine Extremstelle

$\begin{eqnarray*} f''(3,01) = 0,5*(3,01^2) =1,5 > 0 \end{eqnarray*}$ relatives Minimum

Berechnung der y-Koordinate:

$\begin{eqnarray*} f(3,01) = -1,12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(3,01/-1,12) \end{eqnarray*}$

Notwendige Bedingung für Wendestellen: $\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5x^2-x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0) = -1 < 0 \end{eqnarray*}$ links rechts Krümmung

$\begin{eqnarray*} f'''(2) = 1 > 0 \end{eqnarray*}$ rechts links Krümmung

Hier kommt aber was anderes raus^^
Latex-Editor ist kompliziert

29.05.2013, 17:13

Gast11022013

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Du solltest mit Brüchenrechnen. In deinen Lösungen stecken Rundungsfehler.

Was meinst du mit "hier kommt aber was anderes raus"?

29.05.2013, 17:18

Toddy

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Woran erkennt man den Sattelpunkt ? Werde ich beim nächsten mal beachten

29.05.2013, 17:37

Gast11022013

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Zitat:

Original von Gmasterflash

Für einen Sattelpunkt gilt also:

$\begin{eqnarray*} f '(x_0)=0<br /> <br /> f ''(x_0)=0<br /> <br /> f '''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn diese drei Bedingungen gelten, dann haben wir einen Sattelpunkt.

Das ist für x=0 der Fall.

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29.05.2013, 17:42

Toddy

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Vollzitat gelöscht. Steffen

Die Bedingungen sagen doch bloß aus, dass wir die Funktionen gleich 0 setzen.
Meinst du vielleicht, dass bei der ersten Ableitung als auch bei der zweiten Ableitung der Wert 0 rauskommt? Und woher weißt du das der Sattelpunkt bei S(0/0) liegt ?

29.05.2013, 17:56

Gast11022013

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Du hast die Berechnung der Extremstellen durchgeführt.
Da hast du das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} x_1=0<br /> <br /> x_2=3 <br /> \end{eqnarray*}$

erhalten.

Danach hast du diese in die zweite Ableitung eingesetzt um zu prüfen ob diese größer oder kleiner Null ist um auf einen Hoch oder Tiefpunkt zu schließen.

Dabei hast du gemerkt, dass für x=0 die zweite Ableitung auch Null wird.

Danach hast du x=0 in die dritte Ableitung eingesetzt. Diese war ungleich Null.
Alle drei Kriterien sind erfüllt:

$\begin{eqnarray*} f '(0)=0<br /> <br /> f ''(0)=0<br /> <br /> f '''(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Wir haben einen Sattelpunkt.

29.05.2013, 17:57

Toddy

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Gilt es nur für den Wert 0 ??? Oder auch für andere Werte?

29.05.2013, 18:05

Gast11022013

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Hast du den bei deinen Berechnungen festgestellt, dass die oben genannten drei Bedingungen für eine weitere Zahl als die Null erfüllt sind?

29.05.2013, 18:06

Toddy

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Nein Also gibt es immer nur einen Sattelpunkt im Ursprung?

29.05.2013, 18:11

Gast11022013

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Das hängt von der Funktion ab.
Die Funktion, welche wir gerade untersuchen hat nur einen Sattelpunkt für x=0

Wie schon mehrfach erwähnt müssen die oben genannten drei Bedingungen erfüllt sein, damit ein Sattelpunkt vorliegt.

29.05.2013, 18:18

Toddy

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Kann ich mir das so erklären?

Wenn ich die Sattelpunkt Untersuchung durchführe, soll ich erst die Funktion auf Extrema und Wendestellen untersuchen. Wenn ich nun die drei abgeleiteten Funktionen gebildet habe und ich feststellen, dass bei der hinreichenden Bedingung der Wert 0 rauskommt und bei den Wendestellen ungleich 0, haben wir es mit einem Sattelpunkt zu tun.

Nur noch eins habe ich nicht verstanden, wie kann man bestimmen wo jetzt genau der Sattelpunkt liegt?

29.05.2013, 18:25

Leopold

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Für einen Sattelpunkt gilt also:

$\begin{eqnarray*} f '(x_0)=0<br /> <br /> f ''(x_0)=0<br /> <br /> f '''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Das ist in dieser Allgemeinheit nicht korrekt.

Zitat:

Original von Gmasterflash
Wenn diese drei Bedingungen gelten, dann haben wir einen Sattelpunkt.

Das ist für x=0 der Fall.

So stimmt es.

Zitat:

Original von Gmasterflash
Wie schon mehrfach erwähnt müssen die oben genannten drei Bedingungen erfüllt sein, damit ein Sattelpunkt vorliegt.

Das ist wieder falsch.

Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^5 \end{eqnarray*}$ hat im Ursprung einen Sattelpunkt.

29.05.2013, 18:26

Gast11022013

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Bei der Sattelpunktbestimmung geht man eigentlich so vor wie immer und erhält dann den Sattelpunkt als eine Art "Nebenprodukt" der Rechnung. Der Sattelpunkt ist eigentlich auch nicht wo man gezielt seine Rechnungen drauf auslegt.
Man erhält ihn einfach.

Du gehst vor wie bei jeder Kurvendiskussion auch.
Irgendwann bestimmst du dann die Extrema.
Danach prüfst du diese in der zweiten Ableitung und merkst, dass die zweite Ableitung für einen, oder ruhig auch mehrere x-Werte ebenfalls gleich Null ist. Du kannst also keine Aussage treffen ob es nun ein Hoch oder Tiefpunkt ist.

Wenn du nun zur Berechnung der Wendepunkte übergehst, dann erhältst du für die selbe Stelle auch einen Wendepunkt, ist ja klar, weil die zweite Ableitung an dieser Stelle auch Null ist.

Du weißt also, dass dieser ominöse "Extrempunkt" für den du keine Aussage, ob er nun ein Hoch oder Tiefpunkt ist, treffen konntest ein Wendepunkt ist. Nun muss es bei dir schon klingeln, dass hier wohl ein Sattelpunkt ist. (Eigentlich schon wenn du keine Aussage treffen kannst ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist.)

Wenn nun auch noch die dritte Ableitung ungleich Null ist, dann haben wir hier einen Sattelpunkt.

Wo der Sattelpunkt liegt kriegst du raus wie immer. Den x-Wert hast du ja bereits berechnest (bei den Extrempunkten oder der Wendepunktberechnung) du musst also einfach in f(x) diesen Punkt einsetzten und erhältst deinen zugehörigen y-Wert.

Edit:

@Leopold: Muss nicht für einen Wendepunkt gelten, dass die dritte Ableitung ungleich Null ist?

Hier würde es auch so stehen:

http://www.mathematik-wissen.de/wendepunkt.htm

http://www.frustfrei-lernen.de/mathemati...-berechnen.html

verwirrt

Ich kann dein Beispiel zwar nachvollziehen, aber ich bin verwirrt...

29.05.2013, 18:27

Toddy

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Jetzt habt ihr mich komplett durcheinander gebracht unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

Wie muss ich mir das jetzt vorstellen?

29.05.2013, 18:58

Leopold

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Zitat:

Original von Gmasterflash
@Leopold: Muss nicht für einen Wendepunkt gelten, dass die dritte Ableitung ungleich Null ist?

Die von dir genannten Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig.
Für eine Wendestelle bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muß man eigentlich nur die einmalige Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ fordern und daß $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein lokales Extremum besitzen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot |x| \, , \ f'(x) = 2 |x| \, ; \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ hat bei $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum, also besitzt der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ einen Wendepunkt.

Im ersten Link wird es falsch, wo es heißt "Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein". Es ist gerade umgekehrt: Wenn sie erfüllt sind, dann liegt ein Wendepunkt vor.

Im zweiten Link ist es besser formuliert. Allerdings stört mich auch dort das Wörtchen "muß" bei "Praktische Vorgehensweise 5."
Wenn ich mir wünsche, daß etwas so oder so ist, dann "muß" es nicht so sein. Das ist vielleicht umgangssprachlich üblich, in diesem Zusammenhang aber schwer mißverständlich.

29.05.2013, 19:04

Toddy

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Nehmen wir mal das Beispiel von Leopold:

$\begin{eqnarray*} x^3=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2=f'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x=f''(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6=f'''(x) \end{eqnarray*}$

Notwendige Bedingung für Extremstellen: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingung für Extrema: $\begin{eqnarray*} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$ kein Extrema

Notwendige Bedingung für Wendestellen: $\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0) = 6 > 0 \end{eqnarray*}$ rechts links Krümmung

Sattelpunkt:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(0|0) \end{eqnarray*}$

BITTE SAG es ist richtig smile

smile

Sorry für den anderen Beitrag, war ausversehen, löscht ihn pls

29.05.2013, 19:10

Gast11022013

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@Toddy: Ja, bei (0|0) hätten wir einen Sattelpunkt.

@Leopold: Okay. Ist es den dann besser die Bedingung $\begin{eqnarray*} f '''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ einfach wegzulassen?

29.05.2013, 19:32

Toddy

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Vielen dank ich glaube ich habe es verstanden Freude

Freude

Freude

Freude

Freude

29.05.2013, 20:00

Leopold

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Zitat:

Original von Toddy
Nehmen wir mal das Beispiel von Leopold:

$\begin{eqnarray*} x^3=f(x) \end{eqnarray*}$

Stammt zwar nicht von mir. Aber sei's drum.

Zitat:

Original von Toddy
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$ kein Extrema

Zunächst einmal ein bißchen Sprachkunde: Es heißt "das Extremum" und in der Mehrzahl "die Extrema".
Aus $\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$ kann man nicht den Schluß ziehen, daß bei $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ keine Extremstelle vorliegt. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 \end{eqnarray*}$

Du verwendest die logischen Begriffe "notwendig" und "hinreichend" nicht korrekt. Die beiden Bedingungen

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0, \ f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$

sind, zweimalige Differenzierbarkeit vorausgesetzt, jede für sich allein notwendig für einen Sattelpunkt bei $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Dagegen ist, dreimalige Differenzierbarkeit vorausgesetzt, die Bedingung $\begin{eqnarray*} f'''(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ nicht notwendig für einen Wendepunkt (und in diesem Fall dann einen Sattelpunkt). Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^5 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Toddy
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Die Kombination

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0, \ f''(0) = 0, \ f'''(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

ist hinreichend für einen Sattelpunkt bei $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ , allerdings nur als Kombination (die letzten beiden sind als Kombination hinreichend für einen Wendepunkt). Es macht aber überhaupt keinen Sinn, hier von einer einzelnen Bedingung als hinreichend zu sprechen.

Tut mir leid. Einfacher ist das nicht.

Zitat:

Original von Gmasterflash
@Leopold: Okay. Ist es den dann besser die Bedingung $\begin{eqnarray*} f '''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ einfach wegzulassen?

Ich habe überhaupt nichts gegen diese Bedingung. Es stört mich nur, wenn es heißt, sie "müsse" gelten. Das klingt so, als sei sie für einen Wendepunkt notwendig. Das ist sie aber nicht. Wenn klar zum Ausdruck kommt, daß die Kombination $\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'''(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ hinreichend für einen Wendepunkt ist, ist alles in Ordnung.

29.05.2013, 20:39

Toddy

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Ich habe nochmal eine Frage ^^

Ich habe das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} x^5=f(x) \end{eqnarray*}$ berechnet

Wieso existiert dort ein Sattelpunkt?

Ich glaube das forum ist verbuggt ; wieso zeigt er jetzt mein gelöschten beitrag an

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