K-Algebra, Ideale und Algebrahomomorphismus

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MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »
K-Algebra, Ideale und Algebrahomomorphismus
Hallo Leute,

habe momentan eine Aufgabe für die ich keine Idee habe.

Aufgabe:

Seien A und B zwei K Algebren mit A einfach. Sei



ein K-Algebrahomomorphismus.

Zeigen Sie, dass oder f injektiv ist.

Mein Ansatz:

Also ich weiß nur, dass dadurch das A einfach ist für alle Ideale I von A gilt I = 0 oder I = A

Hat irgendwer nen Tipp, wie man weitermacht?

LG,
MCM
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: K-Algebra, Ideale und Algebrahomomorphismus
Hey wie sieht es denn mit dem Injektivitätsansatz

aus?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzige was du brauchst ist, dass der Kern ein (beidseitiges) Ideal ist.
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

@Theend
Das könnte ich ja jetzt mit dem Homomorphismus auseinanderziehen, aber was das bringen soll habe ich leider noch nicht ganz verstanden. =/

@tmo
Ok das der kern von f ein Ideal ist musste ich schon in einer anderen Aufgabe zeigen. Das hat auch geklappt. Nur in wie fern hilft mir das hier?

LG,
MCM
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss was ich gesagt habe hihi
Es gibt jemand anders der sich damit besser auskennt Augenzwinkern

Ich hatte nur recherchiert und ähnliches gefunden.

LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt doch, dass es in A nur zwei verschiedene Ideal gibt.

Das macht also 2 Möglichkeiten für den Kern. Und die korrespondieren genau mit den beiden Eigenschaften aus der Aufgabenstellung.
 
 
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Ich denke ich habe verstanden, was du meinst.

Wenn der Kern ganz A ist dann heißt das ja f = 0, weil alles auf 0 abbildet.

Wenn der Kern = 0 ist muss f ja injektiv sein weil es gilt ja, dass wenn ein Homomorphismus vorliegt und der Kern nur die 0 enthält ist f injektiv.

Zumindest nach Wikipedia..

Danke dir!


EDIT:

Ok der 2. Aufgabenteil macht für mich leider noch keinen Sinn:

Sei A eine endlich dimensionale einfache K-Algebra. Zeigen Sie, dass alle K-Algebraendomorphismen



null oder bijektiv ist.

Für den Fall würde ich wieder wie im ersten Aufgabenteil argumentieren.

Aber bei dem 2. Fall habe ich leider keine Idee. =/

LG,
MCM
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ok da ich leider nicht mehr editieren kann:

1. Fall: Sollte so sein, wie ich das gesagt habe.

2. Fall: A ist endlich dimensional und ich habe ja schon gezeigt, dass f wenn der kern = 0 ist injektiv ist. Für injektive Endomorphismen gilt ja, dass sie auch surjektiv und somit auch bijektiv sind oder nicht?

LG
MCM
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Genau so ist es.
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