Eigenschaften der Funktion herausfinden

30.05.2013, 14:45

Bodo

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Eigenschaften der Funktion herausfinden

Meine Frage:
Kurze Frage:

Die Funktion lautet:

f(x)= 1/32x^4-1/8x^3-378x^2, x alle reellen zahlen.
Die Frage ist nun:
In dem Funktionsterm wird der Koeffizient -1/8 von x^3 abgeändert.
Jetzt soll man die Eigenschaften sagen!
Die Lösung lautet:

Die neue Funktionsgleichung lautet: 1/32x^4+bx^3-3/8x^2

Alle Schaubilder dieser Funktion haben folgende beide Eigenschaften:

1.Sie kommen alle von links oben und verlaufen nach rechts oben (1/32>0 und die Kurve ist 4.Grades)

2. Sie verlaufen alle durch den Koordinatenursprung 0,

Aber wo bitte sehe ich das die alle von links oben kommen und dann nach rechts oben gehen, was hat das mit 1/32>0 zu tun und mit 4.Grades. Was sagt es aus das die Funktion 4.Grades ist?

Und warum durch den Koordinatenursprung. Kapiere ich nicht.
Wäre sehr dankbar wenn mir einer helfen könnte.

Meine Ideen:
Ich würde für b einfach eine sehr große oder eine sehr kleine Zahl angeben und dann sehen wie das Schaubild mit dem GTR aussieht

30.05.2013, 14:54

Bodo

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Entschuldigung die Funktion lautet:

1/32x^4-1/8x^3-3/8x^2

30.05.2013, 15:20

10001000Nick1

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Die Funktion heißt $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{32}x^4-\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{8}x^2 \end{eqnarray*}$ , oder?

Bei Polynomfunktionen musst du beim Grenzwert gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ nur den Term mit der höchsten Potenz betrachten. Das ist hier $\begin{eqnarray*} \frac{1}{32}x^4. \end{eqnarray*}$
Kannst du jetzt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{32}x^4 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{32}x^4 \end{eqnarray*}$ bestimmen?

30.05.2013, 16:14

Bodo

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Genau das ist die Funktion!

Ich weiss nicht wie man dem lim bestimmt?
Und wie kommen die darauf das die Funktion von links oben kommt und dann nach rechts oben verläuft, und durch den Ursprung geht. Ich versteh nicht wie man darauf kommt!

30.05.2013, 16:32

10001000Nick1

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Zu überprüfen, ob die Funktion durch den Ursprung geht, ist hier am einfachsten. Setz einfach die Koordinaten des Ursprungs in die Funktionsgleichung ein, und guck, ob eine wahre Aussage rauskommt.

Zu den Grenzwerten: Wenn man $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}x^4 \end{eqnarray*}$ bestimmen will, muss man sich überlegen, dass die x-Werte ja immer größer werden (wegen $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ ). Deswegen muss $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ auch immer größer werden. Also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}x^4=\infty. \end{eqnarray*}$ Und jetzt versuch mal, $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{32}x^4 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Das ist nicht schwer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Bodo
Und wie kommen die darauf das die Funktion von links oben kommt und dann nach rechts oben verläuft

Das erkennt man, wenn man die Grenzwerte berechnet hat.

30.05.2013, 18:22

Bodo

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Also bei lim 1/32x^4 wird die Zahl immer größer, je größer der Wert ist der man einsetzt oder?
Aber wie sehe ich jetzt daran das die Funktion von links oben kommt?

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30.05.2013, 18:24

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo
Aber wie sehe ich jetzt daran das die Funktion von links oben kommt?

Dazu musst du den Grenwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{32}x^4 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

30.05.2013, 18:26

Bodo

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Da wird die Zahl auch immer größer egal ob ich eine negative oder positive einsetze, weil Potenzieren ja immer eine postive Zahl gibt oder?
Aber woher weiss ich denn dass dieses lim gegen minus unendlich anzeigt das die Funktion von oben kommt?

30.05.2013, 18:37

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo
weil Potenzieren ja immer eine postive Zahl gibt oder?

"Immer" ist falsch. Das gilt nur für gerade Exponenten. Aber hier hast du ja einen geraden Exponenten, also ist es richtig, dass die Funktionswerte immer größer werden. D.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{32}x^4=\infty \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du dir mal bildlich vorstellen, wie eine Funktion aussieht, die diesen Grenwert hat. Wenn man weiter nach linkst geht, kommt man immer weiter nach oben. D.h. wenn man von links kommt, geht man immer weiter von oben nach unten.

30.05.2013, 18:45

Bodo

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Ja aber kann ich nicht auch die Funktion von rechts kommen lassen?
Und warum geht sie erst von links oben und geht danach nach rechts oben? Dann ist es doch eine Parabel?

Und was wäre wenn es -1/32 wäre? Dann wäre es ja kleiner als 0, würde es dann von rechts kommen und nach links oben gehen? Dann wäre es ja aber auch eine Parabel?

30.05.2013, 18:56

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo
Und warum geht sie erst von links oben und geht danach nach rechts oben? Dann ist es doch eine Parabel?

Nein, es gibt ja noch mehr Funktionen mit Grenzwert Unendlich als nur Parabeln.

Zitat:

Original von Bodo
Ja aber kann ich nicht auch die Funktion von rechts kommen lassen?

Kannst du. Du weißt ja schon, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{32}x^4=\infty \end{eqnarray*}$ ist, also kommt die Funktion von rechts auch von oben.

Zitat:

Original von Bodo
Und was wäre wenn es -1/32 wäre?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}-\frac{1}{32}x^4=\lim_{x\to \infty}-\frac{1}{32}x^4=-\infty \end{eqnarray*}$ Also würde die Funktion von links unten kommen und nach rechts unten verlaufen.

30.05.2013, 19:09

Bodo

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Hä aber warum kommt die Funktion von links und von rechts oben? Sry aber ich kapier das irgendwie nicht.
Und bei -1/32x^4 , wenn man für x eine positve Zahl angibt geht es doch wieder gegen Unendlich und nicht gegen minus Unendlich?

Ich soll begründen, warum jedes der folgenden Schaubilder nicht zu dem geänderten Funktionsterm gehören kann, wenn die anderen Koeffizienten gleich bleiben:
Es ist die Aufgabe 1.3. Vielleicht kannst du mir da besser helfen
Die eigl. Aufgabe:

[attach]30334[/attach]

30.05.2013, 19:16

10001000Nick1

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Geht es bei der Aufgabe um die gleiche Funktion wie oben? Also $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{32}x^4+bx^3-\frac{3}{8}x^2? \end{eqnarray*}$ Mit $\begin{eqnarray*} b=-\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Die Lösung hast du ja eigentlich schon. Du weißt ja, das $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ ist. Das ist jedoch beim ersten Bild nicht der Fall. Das kann es also nicht sein.
Das zweite Bild ist auch nicht möglich, weil die Funktion dort nicht durch den Ursprung verläuft.

30.05.2013, 19:28

Bodo

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Ja genau es geht um die gleiche Funktion!
Warum ist es bei dem ersten Bild zum Beispiel nicht der Fall?
Und wer sagt denn das die Funktion durch den ursprung gehen muss?

30.05.2013, 19:30

10001000Nick1

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Rechne doch einfach mal den Funktionswert an der Stelle x=0 aus. Also f(0). Dann siehst du das.

30.05.2013, 19:35

Bodo

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Ah okay stimmt wenn ich 0 einsetze geht sie durch den Ursprung, aber warum es das erste Bild nicht sein kann verstehe ich nicht.
In der Lösung steht nur:

erstes Bild kann nicht sein da, alle Schaubilder der neuen Funtkion 1/32x^4+bx^3-3/8x^2
folgende Eigenschaften haben müssen:

Sie kommen alle von links oben und verlaufen nach rechts oben (1/32>0 und die Kurve ist 4.Grades)

Und das erste Bild kommt von unten und geht nach unten, also kann es nicht sein.

Aber das ist es was ich nicht verstehe. Woher weiss ich das die alle von links oben kommen und dann nach rechts oben gehen nur weil 1/32 kleiner als Null ist und die Kurve 4.Grades ist.

30.05.2013, 19:40

10001000Nick1

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Du hast doch gesehen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ ist. Im Bild kann man sich das so vorstellen. Je weiter man sich auf der x-Achse nach links oder nach rechts bewegt, umso größer werden die y-Werte. Das ist jedoch beim ersten Bild eindeutig nicht der Fall. Wenn man sich da auf der x-Achse nach rechts bewegt, werden die Funktionswert (y-Werte) immer kleiner.

30.05.2013, 19:47

Bodo

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Okay warte, ich versuche zu rekonstruieren:

Also bei dem ersten Bild geht es vom dritten Quadranten nach oben und dann eine kleine Kurve beim Nullpunkt und dann geht es aber wieder im ersten Quadranten nach oben und wieder nach unten.
Aber dann stimmt deine Aussage nicht, das wenn ich mich auf der x Achse nach rechts bewege die y Werte immer kleiner werden. Sie werden erst immer größer und am Hochpunkt dann wieder kleiner oder?

Und habe ich das mit dem Lim einigermaßen richtig verstanden? Ich mach ein Beispiel:

-5x^3+3x^2+4x

So jetzt muss ich den x Wert mit dem höchsten Exponenten nehmen, das wäre
-5x^3.
Jetzt schaue ich wie es aussieht mit gegen unendlich und gegen minus unendlich.
Da ist es genau gleich, egal ob ich eine positive oder negative Zahl für x einsetze es geht immer gegen plus unendlich. Heisst das ich könnte hier auch sagen, dass Schaubild kommt von links oben und geht nach rechts oben?

30.05.2013, 20:02

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo
Aber dann stimmt deine Aussage nicht, das wenn ich mich auf der x Achse nach rechts bewege die y Werte immer kleiner werden.

OK, da habe ich mich etwas unglücklich ausgedrückt. Richtig ist: Für große x-Werte müssen die Funktionswerte größer werden, wenn man weiter nach rechts geht. Was z.B. am Nullpunkt passiert, interessiert da gar nicht. Beim zweiten Bild siehst du, was ich meinte: Dort werden ja ganz rechts die Funktionswerte immer größer.

Zitat:

Original von Bodo
So jetzt muss ich den x Wert mit dem höchsten Exponenten nehmen, das wäre
-5x^3.
Jetzt schaue ich wie es aussieht mit gegen unendlich und gegen minus unendlich.
Da ist es genau gleich, egal ob ich eine positive oder negative Zahl für x einsetze es geht immer gegen plus unendlich. Heisst das ich könnte hier auch sagen, dass Schaubild kommt von links oben und geht nach rechts oben?

Nein. Der Anfang ist richtig. Du musst tatsächlich nur die größte Potenz betrachten. Aber die Grenzwerte stimmen nicht. Überleg mal: Wenn x gegen Unendlich geht, muss $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ auch gegen Unendlich gehen. D.h. $\begin{eqnarray*} -x^3 \end{eqnarray*}$ muss (wegen dem umgedrehten Vorzeichen) gehen minus Unendlich gehen. Das gilt dann auch für $\begin{eqnarray*} -5x^3 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}-5x^3=-\infty \end{eqnarray*}$
Jetzt überleg mal, wie es bei $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ aussieht, und wie man das begründen kann.

30.05.2013, 20:08

Bodo

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Okay moment , aber wenn ich für -5x^3 für x z.b. eine 10 einsetzt kommt doch:
5000 heraus, und wenn ich -10 einsetze kommt ebenfalls 5000 heraus, also geht doch lim-5x^3 nur gegen plus unendlich oder?

Ja eben du fragtes wie es bei x -> -unendlich aussieht.

Also ich setze für x eine negative Zahl ein: -5*(-10)^3
also es kommt eine positive zahl raus, also es geht gegen plus unendlich!

30.05.2013, 20:11

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo
Okay moment , aber wenn ich für -5x^3 für x z.b. eine 10 einsetzt kommt doch:
5000 heraus

Nein, da kommt -5000 raus. Aber für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ stimmt der Grenzwert jetzt. Der ist plus Unendlich.

30.05.2013, 20:12

Bodo

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Hä ich dachte egal ob man eine positive oder negative Zahö potenziert es kommt doch immer eine positive Zahl bei Potenzen heraus?

30.05.2013, 20:15

10001000Nick1

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Nein, das gilt nur für gerade Exponenten. Da kommt immer eine positive Zahl raus.
Bei ungeraden Exponenten hat das Ergebnis das selbe Vorzeichen wie die ursprüngliche Zahl. Deswegen ist z.B. $\begin{eqnarray*} (-5)^3=-125. \end{eqnarray*}$ Und das ist kleiner als 0.

30.05.2013, 20:23

Bodo

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AHH okay danke.

Aber beim Taschenrechner ist es komisch, der gibt auch bei geraden Exponenten eine negative Zahl aus!

Also ich versuche jetzt mal die Aufgabe zu rekonstruieren:

Der ursprüngliche Funktionsterm f(x)= 1/32x^4-1/8x^3-3/8x^2 wird abgeändert indem der Koeffizient von x^3 nämlich -1/8 abgeändert wird. Der neue Term heisst dann folglich:

1/32x^4+bx^3-3/8x^2

So jetzt schaue ich was passiert wenn man für 1/32x^4 gegen minus unendlich und plus unendlich geht.
Also: Egal ob ich eine positive Zahl oder eine negative Zahl für x einsetze es kommt immer eine positive heraus, das heisst es geht x-> plus unendlich!
Daraus schließt man das die Funktion vom Ursprung nach links sowie nach recht im Y-Bereich immer größer wird. Das ist beim 1. Bild aber nicht der Fall, da es kleiner wird. Also 1. Bild kanns nicht sein.
So jetzt schaue ich ob der Term 1/32x^4+bx^3-3/8x^2 durch den Ursprung verläuft. Setze 0 ein und ja er verläuft durch den Ursprung. Das 2 Bild aber nicht, deswegen kann es auch nicht das zweite Bild sein. Stimmt das so ungefähr?

Und stimmt es auch das man sagen kann wenn x gegen plus unendlich geht, man vom URSPRUNG sagt das es nach recht und links größer wird, also in y -Richtung die Werte?
Und wenn z.b. x gegen minus unendlich geht, die Werte vom Ursprung immer kleiner in y Richtung werden. Das heisst ja aber auch es ist immer eine Parabel oder eine umgedrehte Parabel oder?

30.05.2013, 20:32

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo
Stimmt das so ungefähr?

Genau so!

Freude

Zitat:

Original von Bodo
Und stimmt es auch das man sagen kann wenn x gegen plus unendlich geht, man vom URSPRUNG sagt das es nach recht und links größer wird, also in y -Richtung die Werte?

Was meinst du damit? Wenn x gegen plus unendlich geht, bedeutet das ja, dass man auf der x-Achse nach rechts geht. Was meinst du mit "links vom Ursprung"?

Zitat:

Original von Bodo
Aber beim Taschenrechner ist es komisch, der gibt auch bei geraden Exponenten eine negative Zahl aus!

Das liegt wahrscheinlich daran, dass du es nicht richtig eingibst. Du musst da Klammern setzen. Also wenn du z.B. -4 quadrieren willst, musst du eingeben: $\begin{eqnarray*} (-4)^2 \end{eqnarray*}$ eingeben. Da kommt dann 16 raus.
Du hast wahrscheinlich eingegeben: $\begin{eqnarray*} -4^2 \end{eqnarray*}$ . Da wird das Minus nicht mitquadriert, deswegen kommt da -16 raus.

30.05.2013, 20:35

Bodo

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Ah okay danke!

Zitat:

Was meinst du damit? Wenn x gegen plus unendlich geht, bedeutet das ja, dass man auf der x-Achse nach rechts geht. Was meinst du mit "links vom Ursprung"?

Ja ich meine damit, das man wenn man sagt gegen plus unendlich. Dann geht man vom Ursprung immer weiter nach Rechts auf der X-Achse. Und bei minus unendlich immer weiter nach links vom Ursprung auf der X-Achse oder?

30.05.2013, 20:36

10001000Nick1

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Richtig!

Freude

Jetzt hast du es ja anscheinend verstanden, oder?

30.05.2013, 20:43

Bodo

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Ja so im Groben nur hätte ich noch eine Aufgabe, wenns möglich wäre smile

smile

:

1.5 Gegeben ist die Funktion h mit h(x)= a-be^cx, x enthält alle reellen Zahlen und a,b,c sind ungleich 0.
Das Schaubild von h geht durch den ursprung und es gilt h'(0)=h''(0). Zeigen sie das a=b und c= 1 ist.

Legen Sie einen Punkt fest, der auf dem Schaubild der Funktion h mit h(x)=a-ae^x liegt, und berechnen Sie dann den Wert von a.

Zur Lösung:
Also ersteinmal mache ich natürlich die ganzen Ableitungen der Funtkion:

h'= -bce^cx
h''=-bc^2e^cx

So jetzt soll ich zeigen das a=b ist, aber wie soll ich das zeigen?
In der Lösung steht:
Das Schaubild geht durch den Ursprung, also soll ich 0 einsetzen.
Okay mache ich:

a-be^0=0
a-b=0
a=b Okay kapiert.

Jetzt soll ich zeigen das c= 1 ist .

Es gilt ja h'(0) = h''(0)

Also okay:

-bc=-bc^2 | +bc^2
bc^2-bc= 0

So jetzt kommt was was ich nicht verstehe, in der nächsten Zeile kommt

bc(c-1) = 0

Wie kommt die plötzlich auf c-1, wo ist das bc^2?

und dann steht:

Wegen a, b, c ungleich 0 folgt:

c-1=0 -> c=1

30.05.2013, 20:47

10001000Nick1

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Tut mir leid, ich hab jetzt noch was zu tun. Wollen wir die Aufgabe morgen machen?

30.05.2013, 20:52

Bodo

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Okay alles klar!

30.05.2013, 20:53

10001000Nick1

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OK, dann schönen Abend noch und bis Morgen. Wink

Wink

30.05.2013, 21:23

Bodo

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danke dir auch bis morgen!

31.05.2013, 13:39

10001000Nick1

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So, ich bin wieder da.

Zu der neuen Aufgabe:

Zitat:

Original von Bodo
-bc=-bc^2 | +bc^2
bc^2-bc= 0

So jetzt kommt was was ich nicht verstehe, in der nächsten Zeile kommt

bc(c-1) = 0

Wie kommt die plötzlich auf c-1, wo ist das bc^2?

Klammer bei $\begin{eqnarray*} bc^2-bc=0 \end{eqnarray*}$ einfach mal $\begin{eqnarray*} bc \end{eqnarray*}$ aus, dann kommst du auf diese Zeile.

Zitat:

Original von Bodo
und dann steht:

Wegen a, b, c ungleich 0 folgt:

c-1=0 -> c=1

Man darf dann bei $\begin{eqnarray*} bc(c-1)=0 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} bc \end{eqnarray*}$ dividieren, weil b und c ungleich 0 sind. Wenn eins davon 0 wäre, dürfte man das nicht so einfach dividieren, weil man ja dann durch 0 teilen würde.

31.05.2013, 13:50

Bodo

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Okay aber wenn du wie oben sagst man muss bc ausklammern, komme ich auf
bc(bc-1)= 0 , wie kann das sein?

31.05.2013, 13:56

10001000Nick1

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Wenn du bei $\begin{eqnarray*} bc^2-bc=0 \end{eqnarray*}$ bc ausklammerst, erhältst du doch $\begin{eqnarray*} bc\left(\frac{bc^2}{bc}-\frac{bc}{bc}\right)=0. \end{eqnarray*}$ Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{bc^2}{bc} \end{eqnarray*}$ kürzt, kommt man da auf c, und nicht bc.

Das was du vielleicht gemacht hast, war folgendes: Du hast bc bei $\begin{eqnarray*} (bc)^2-bc=0 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert. Da würde man auf das kommen, was du hattest.

31.05.2013, 14:34

Bodo

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Ah ich dachte immer ausklammern ginge so:

x^3+x^2+x

x ausklammern:

x( x^2+x+1)

Das was du meinst hab ich noch nie gesehen^^

31.05.2013, 14:38

10001000Nick1

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Das ist ja auch richtig. Das, was ich geschrieben habe, war einfach nur noch ein Zwischenschritt mehr. Na gut, wenn du das noch nie gesehen hast, dann vergiss es einfach wieder.

Hast du jetzt aber verstanden, warum $\begin{eqnarray*} bc^2-bc=bc(c-1) \end{eqnarray*}$ ist? Und nicht $\begin{eqnarray*} bc(bc-1) \end{eqnarray*}$ ?

31.05.2013, 14:42

Bodo

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Hmm nicht ganz, denn das bc/bc 1 gibt ist ja klar, aber bc2 durch bc müsste doch eigl bc geben, weil ja noch ein bc übrigbleibt, warum das b wegfällt verstehe ich nicht

31.05.2013, 14:46

10001000Nick1

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Das liegt daran, dass sich der Exponent 2 in $\begin{eqnarray*} bc^2 \end{eqnarray*}$ nur auf das c bezieht, nicht auf das b. Das b steht also immer noch einfach da, deswegen wird das b in $\begin{eqnarray*} \frac{bc^2}{bc} \end{eqnarray*}$ einfach weggekürzt.

Du meinst vielleicht $\begin{eqnarray*} (bc)^2 \end{eqnarray*}$ . Da muss man beides quadrieren, also ist $\begin{eqnarray*} (bc)^2=b^2c^2 \end{eqnarray*}$ und damit wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{(bc)^2}{bc}=\frac{b^2c^2}{bc}=bc \end{eqnarray*}$

31.05.2013, 14:53

Bodo

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Vielen Dank super erklärt!
Ich muss mal weg, könnte ich dich später noch was zu einer Aufgabe fragen?

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