Lineare Unabhängigkeit

31.05.2013, 11:50

MatheNoobii

Lineare Unabhängigkeit

Sind die Mengen $\begin{eqnarray*} \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\} \end{eqnarray*}$ jeweils linear unabhängig, so ist auch $\begin{eqnarray*} \{x,y,z \} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Aus der Voraussetzung ( $\begin{eqnarray*} \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\} \end{eqnarray*}$ sind lin. unabh.) folgt:

$\begin{eqnarray*} ax+by=0 , ax+cz=0, by +cz= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax+by=ax+cz=by +cz= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax+by+ax+cz+by+cz= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+a)x+(b+b)y+(c+c)z= 0 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir hier überhaupt nicht sicher?
Habe ich die Koeffizienten richtig gewählt?
Meiner Meinung nach wären die Menge $\begin{eqnarray*} \{x,y,z \} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Bitte um Hilfe!

31.05.2013, 14:00

Mulder

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RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von MatheNoobii
Meiner Meinung nach wären die Menge $\begin{eqnarray*} \{x,y,z \} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

Dem würde ich zustimmen. Bzw. sie können linear abhängig sein (muss natürlich nicht). Also schau dich doch mal nach einem ganz einfachen Gegenbeispiel um, z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

31.05.2013, 14:22

MatheNoobii

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Irgendwie fällt es mir gerade schwer ein Gegenbeispiel zu finden.

Ich erhalte dann immer Vektoren die lin. unabh. sind.

Kann ich das nicht mit der Gleichung oben begründen, dass auch lin. abh. Vektoren gebildet werden können?

31.05.2013, 14:26

Mulder

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RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von MatheNoobii
Kann ich das nicht mit der Gleichung oben begründen, dass auch lin. abh. Vektoren gebildet werden können?

Ich weiß gar nicht, was deine Gleichungen überhaupt darstellen sollen. Die machen wenig bis gar keinen Sinn.

Und da machst du dir das Leben auch sowieso bestimmt nicht einfacher, wenn du das allgemein angehen willst.

31.05.2013, 14:47

MatheNoobii

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Okay, das wollte ich wissen Big Laugh

Dann versuch ich es nochmal weiter!

01.06.2013, 17:01

MatheNoobii

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Sei $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix} , y = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} , z = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\} \end{eqnarray*}$ sind ilinear unabhängige Mengen.

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1& 4 & -3 \\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix} = 40 +9-6-36-12+5= 0 \Rightarrow \{x,y,z\} \end{eqnarray*}$ ist eine linear abhängige Menge.

01.06.2013, 17:10

tmo

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Ja, das passt.

@Mulder: Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ wäre ein Gegenbeispiel viel einfacher zu finden Augenzwinkern

01.06.2013, 17:14

MatheNoobii

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Wohl wahr

02.06.2013, 10:27

Mulder

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Ja, ich hatte halt das Beispiel

(1,0,0), (0,1,0) und (1,1,0)

als erstes... im Prinzip (wenn auch genau genommen nicht) ist man da ja im R². ^^

Dachte auch nicht, dass MatheNoobii sich das Leben da so schwer machen würde. Aber R² zu schreiben wäre wohl besser gewesen, ja. Den Schuh zieh ich mir an.

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