Grenzwert einer integrierbaren Funktion

31.05.2013, 12:09

Georg90

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Grenzwert einer integrierbaren Funktion

Meine Frage:
Hallo,
ich beschäftige mich mit folgender Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine integriertbare Funktion, also $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{f(x)}=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn man diese gezeigt hätte, dann müsste doch auch gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\frac{\partial ^n f(x)}{\partial x^n}}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
Wie könnte man denn jetzt erstmal die erste Aussage beweisen?

Meine Ideen:
Also anschaulich ist mir dies schon klar und ich denke, dass der Beweis auch nur aus wenigen Schritt besteht

31.05.2013, 17:08

Che Netzer

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RE: Grenzwert einer integrierbaren Funktion
Die Aussage stimmt überhaupt nicht.
Auch dann nicht, wenn man Stetigkeit oder Glattheit fordert.

31.05.2013, 20:04

HAL 9000

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Ergänzend sei hinzugefügt: Selbst für glatte Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{f(x)}=0 \end{eqnarray*}$ folgt nicht

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\frac{\partial ^n f(x)}{\partial x^n}}=0 \end{eqnarray*}$ .

schau dir z.B. mal

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sin(x^3)}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

an.

02.06.2013, 12:57

Georg90

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ok, meine 2. Behauptung, das der Grenzwert der Ableitungen auch Null sein muss, gilt nicht. Aber meine 1. Behauptung müsste stimmen, dass wenn die Funktion integrierbar ist, dass der Grenzwert der Funktion Null ist, aber warum gilt dies?

02.06.2013, 13:21

Che Netzer

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Wie gesagt: Nein, das stimmt nicht! Hast du meinen ersten Beitrag nicht gelesen?

02.06.2013, 13:35

HAL 9000

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Dabei hatte ich extra "ergänzend" geschrieben.

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02.06.2013, 15:54

Georg90

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jo ok, aber stimmt denn jetzt folgende Aussage:
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine integrierbare Funktion, also $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{f(x)}=0 \end{eqnarray*}$ und wenn ja, warum und falls nein gegenbeispiel??

02.06.2013, 17:29

Che Netzer

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Nein, das gilt nicht, wie ich dir jetzt zum dritten mal sage.
Das Gegenbeispiel darfst du dir selbst überlegen; eigene Ideen vor "falls nein gegenbeispiel??" schaden nicht.

Wie müsste die Funktion denn aussehen, wenn es zwar bis ins Unendliche immer wieder Punkte mit einer gewissen Höhe $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ geben soll, die Fläche unter der Funktion aber dennoch endlich bleiben soll?

02.06.2013, 17:41

RavenOnJ

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Nimm folgende Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}1\text{ für $n\le x < n+\frac 1{n^2}, n\in \mathbb N_+$}<br /> 0\text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ existiert nicht, das Integral aber schon, es ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty f(x) = \sum_{k=1}^\infty\frac 1 {k^2} = \frac{\pi^2} 6 \end{eqnarray*}$

Dass die Funktion nicht stetig ist, stört nicht, man könnte sie stetig und glatt machen durch eine leichte Modifikation ohne etwas an der Aussage zu ändern.

02.06.2013, 17:44

Che Netzer

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Und durch eine weitere leichte Modifikation kann man sie sogar unbeschränkt machen.
Aber zumindest das kann sich der Fragesteller ja mal selbst überlegen.

02.06.2013, 17:47

RavenOnJ

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Stimmt, das wäre dann noch verwirrender Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.06.2013, 18:17

Georg90

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ok, aber wenn jetzt meine Funktion f(x) auf ganz R differenzierbar sein soll, dann müsste die Aussage aber jetzt stimmen, wie könnte man das beweisen??

02.06.2013, 18:19

Che Netzer

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Entweder ist dir nicht klar, was eine glatte Funktion ist (dann frag danach) oder du hast wieder diverse Beiträge nicht oder nur teilweise gelesen.

02.06.2013, 18:54

Georg90

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Warum existiert der Limes denn nicht?? Wenn bei eurem Beispiel aber n=1 wäre, dann existiert doch der Limes und das Integral müsste doch auch dann 1 sein.
Im folgenden Link Satz 4.2 wird aber auch gesagt, dass das wenn das integral existiert, dann der Limes der funktion null ist

02.06.2013, 18:55

Georg90

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http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/sem_an08.pdf
Satz 4.2 und dann im Beweis...

02.06.2013, 19:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von Georg90
Warum existiert der Limes denn nicht?? Wenn bei eurem Beispiel aber n=1 wäre, dann existiert doch der Limes und das Integral müsste doch auch dann 1 sein.

Im Beispiel ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aber nicht fest.

Zitat:

Im folgenden Link Satz 4.2 wird aber auch gesagt, dass das wenn das integral existiert, dann der Limes der funktion null ist

Die Argumentation ist unvollständig.
Wichtig ist dazu noch die Integrierbarkeit der Ableitung.

02.06.2013, 20:51

Georg90

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na dann ist alles, klar, habe aber etliche beweise gefunden, wo die integrierbarkeit der ableitung nicht voraussetzung war, dann sind diese wohl anscheinend alle unvollständig, ok, dass vermutet man aber erst zum schluss, dass mehere beweise zum selben satz unvollständig sind und zweifelt doch zuerst an sein mathematischen verstand...

02.06.2013, 20:52

Che Netzer

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Wo hast du diese Beweise denn gefunden?

02.06.2013, 21:07

Georg90

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poste ich morgen, mit meinem handy ist es unbequem pdfs zu öffnen und habe morgen erst wieder die möglichkeit, meinen pc zu benutzen...

03.06.2013, 12:04

Georg90

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http://docs.sfz-bw.de/phag/skripte/fourier.pdf s.17
http://itp.uni-frankfurt.de/~jeschke/E4/kapitel1_2up.pdf s.15

03.06.2013, 12:35

Che Netzer

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Tja, im ersten Skript wird gar nichts argumentiert, im zweiten ist die Begründung falsch.

03.06.2013, 13:28

Georg90

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http://itp.tugraz.at/LV/bulla/MMThPh/MMThPhII.pdf Seite 3

hier ist die Argumentation korrekt, meines Erachtens

03.06.2013, 13:37

Che Netzer

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Sehr schön Freude

Freude

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