Berechnen von A^n

31.05.2013, 20:03	nixchecker213	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen von A^n Nabend, ich soll A^n für alle n berechnen. A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -9 & 8\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habe bereits $\begin{eqnarray} A^{2}, A^{3} und A^{4} \end{eqnarray}$ berechnet, allerdings sehe ich keinen Zusammenhang :/, mit Hilfe der ich eine allgemeine Formel angeben könnte. $\begin{eqnarray} A^{2}= \begin{pmatrix} -20 & 16 \\ -36 & 28\ \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{3}=\begin{pmatrix} -64 & 48 \\ -108 & 80\ \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{4}=\begin{pmatrix} -176 & 128 \\ -288 & 208\ \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Übersehe ich vielleicht etwas?:/
31.05.2013, 20:11	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sind Jordan-Matrizen bekannt?
31.05.2013, 20:20	nixchecker213	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, , ja sind gerade mitten drin.
31.05.2013, 20:24	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bring A in Jordan-Normalenform. Damit geht das Potenzieren viel einfacher.
31.05.2013, 20:40	nixchecker213	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Jordan-Normalform ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2^n & 2^nn/2 \\ 0 & 2^n \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wie hängen denn die Potenzen einer Matrix und der ihrer Jordan-Normalform zusammen? Das erschließt sich mir nicht ganz. Es gilt ja, dann $\begin{eqnarray} S^{-1}J_AS=A \end{eqnarray*}$
31.05.2013, 20:49	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal in der letzten Form A² aus. Die Jordan-Potenz stimmt, wobei ich die etwas anders hinschreiben würde.
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01.06.2013, 18:01	nixchecker213	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, welches A^2 soll ich denn herausschreiben?
03.06.2013, 21:52	nixchecker213	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner eine Idee ?
03.06.2013, 23:10	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A = S^{-1}J_AS \end{eqnarray}$ Dann folgt: $\begin{eqnarray} A^2 = ..... \end{eqnarray}$
04.06.2013, 02:03	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sowas hat $\begin{eqnarray} S^{-1}A B S \end{eqnarray}$ dann kann man immer eine Eins dazwischen schieben: $\begin{eqnarray} S S^{-1} = E \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} S^{-1} A S S^{-1} B S= (S^{-1} A\cdot S)\cdot(S^{-1} B S) \end{eqnarray}$ (die Klammern nur zur Verdeutlichung)

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