Erwartungswert, Lebensgue-Maß

01.06.2013, 17:16

Silva

Erwartungswert, Lebensgue-Maß

$\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$ , Lebensguemaß,
$\begin{eqnarray*} X_n (\omega)=1_{[\frac{n-k_n}{k_n},\frac{n-k_n +1}{k_n})} \end{eqnarray*}$
(charakteristische Funktion)
$\begin{eqnarray*} k_n = 2^{\lfloor log_2 n \rfloor} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=0 \end{eqnarray*}$
Ich scheitere an: $\begin{eqnarray*} E[|X_n - X| ] =? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[|X_n - X| ] =\int_\Omega |X_n - X | (\omega) dP(\omega)= \int_0^1 dP(\omega) \end{eqnarray*}$
Was ist $\begin{eqnarray*} dP(\omega) \end{eqnarray*}$ ?
Ich weiß dass Lebesguemaß von Intervallen ist die Länge davon..

01.06.2013, 17:20

HAL 9000

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Da $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bei dir das Lebesgue-Maß auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist, kannst du das auch einfach als das entsprechende Riemann-Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega |X_n(\omega) - X(\omega) | ~ \dd P(\omega) = \int_0^1 |X_n(\omega) - X(\omega) | ~ \dd \omega \end{eqnarray*}$

01.06.2013, 17:22

Che Netzer

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RE: Erwartungswert, Lebensgue-Maß
Die letztere Umformung des Integrals stimmt nicht – der Integrand ist da verschwunden.
Und wenn $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ das Lebesgue-Maß ist, dann ist das Integral einer charakteristischen Funktion auf einem Intervall die Intervalllänge (allgemein: das Maß der Menge, zu der die charakteristische Funktion gehört).
Wie lautet die denn?

01.06.2013, 17:48

Silva

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$\begin{eqnarray*} E[|X_n - X|]= 2^{- \lfloor log_2 (n) \rfloor} \end{eqnarray*}$
odeR?

01.06.2013, 18:09

Silva

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Ich hätte noch eine Frage dazu.
Wie kann man zeigen, dass es hier keine fast sichere Konvergenz gilt?
Also dass nicht gilt: $\begin{eqnarray*} P(\omega \in \Omega | lim_{n->\infty} X_n (\omega)=X(\omega))=1 \end{eqnarray*}$
?

01.06.2013, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Silva
$\begin{eqnarray*} E[|X_n - X|]= 2^{- \lfloor log_2 (n) \rfloor} \end{eqnarray*}$
odeR?

Stimmt.

Zu deiner letzten Frage verweise ich auf die gestrige (fast) inhaltsgleiche Anfrage und deren Beantwortung:

aus L^p Konvergenz folgt nicht fast sichere Konvergenz

01.06.2013, 18:44

Silva

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Danke für die Verlinkung.
Gesucht:
$\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty} X_{n}(\omega)=0) \end{eqnarray*}$ .
Ich verstehe in dem verlinkten Thread nicht warum gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} X_{n}(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ für kein $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ?

Betrachte $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ für feste $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet dass es ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ geben muss, so dass $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt.

01.06.2013, 18:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Argumentation kann kaum einfacher sein:

Für jedes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ findest du ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2^k \leq n < 2^{k+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ .

Für beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ :

Es gibt unendlich viele $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , also auch unendlich viele (!!!) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ . Wie soll da denn noch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} X_{n}(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ gelten?

01.06.2013, 18:56

Silva

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Was meinst du mit es gibt unendlich viele k`s?
Die $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ ?
Die zweierpotenz ist die auch für mein Beispiel relevant?
LG

01.06.2013, 19:00

HAL 9000

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Salopp gesagt: $\begin{eqnarray*} n\mapsto X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ ist eine 0-1-Folge mit überwiegend Nullen, aber immer mal wieder eine Eins eingestreut. Die Einsen sind mit wachsenden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zwar immer "dünner" gesät, dennoch hört das nie auf.

"Immer mal wieder" heißt konkret: Genau einmal zwischen zwei aufeinander folgenden Zweierpotenzen beim Index.

Jetzt muss es aber endlich mal Klick machen, bei der dritten detaillierten Vertiefung. geschockt

01.06.2013, 19:04

Silva

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Mhm,.. Es ist trotzdem kein Beweis für die Gültigkeit der Aussage.
Danke für deine Hilfe, aber einen "richtigen" Beweis suche ich noch dafür.

01.06.2013, 19:07

HAL 9000

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Herrje, kennst du denn den Grenzwertbegriff so schlecht??? Wenn eine Folge konvergieren soll, dann müssen auch sämtliche Teilfolgen konvergieren, und zwar gegen denselben Grenzwert.

Wie ich beschrieben habe, gibt es nun aber eine Teilfolge, die nicht gegen Null, sondern gegen Eins konvergiert. Was willst du denn jetzt noch für eine Erklärung - vielleicht die des Grenzwertbegriffs?

P.S.: Deine Anmerkung

Zitat:

Original von Silva
Danke für deine Hilfe, aber einen "richtigen" Beweis suche ich noch dafür.

zu meinem Beweis finde ich voll daneben. unglücklich

01.06.2013, 19:16

Silva

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Doch, aber die Existenz der Teilfolge begründest du finde ich noch nicht ausreichend bzw. noch zu "unmathematisch".
Trotzdem danke.

01.06.2013, 19:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Silva
Doch, aber die Existenz der Teilfolge begründest du finde ich noch nicht ausreichend bzw. noch zu "unmathematisch".

Der nächste Tritt ans Schienbein. Ruhig bleiben, HAL, gaaanz ruhig bleiben...

Begreifst du denn wenigstens, wenn man die natürlichen Zahlen in solche Zweierpotenzintervalle $\begin{eqnarray*} [2^k,2^{k+1}) \end{eqnarray*}$ zerlegt, dass es davon unendlich viele gibt? Und um zu begreifen, dass es in jedem dieser Zweierpotenzintervalle $\begin{eqnarray*} [2^k,2^{k+1}) \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, für das $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ gilt - ja, dazu musst du dir gefälligst mal die Funktion ordentlich anschauen.

Das war mein letzter Versuch - vielleicht hat Che eine Idee zu einer Erklärung, die bis in den Schädel des Fragestellers durchdringt.

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