Hilbertraum - ja oder nein?

02.06.2013, 13:48

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilbertraum - ja oder nein?

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} C([4,9]) \end{eqnarray*}$ Menge aller auf [4,9] stetigen reellwertigen Funktionen

Inneres Produkt darauf definiert durch

$\begin{eqnarray*} (\cdot,\cdot)\colon C([4,9])\times C([4,9])\to\mathbb{R}, (f,g):=\int\limits_4^9 f(x)g(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Frage: Ist $\begin{eqnarray*} (C([4,9]),\lVert\cdot\rVert_{(\cdot,\cdot)}) \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum?

(Hierbei soll $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert_{(\cdot,\cdot)} \end{eqnarray*}$ die durch das innere Produkt induzierte Norm sein.)

Meine Ideen:
Hallo!!

Ich muss doch untersuchen, ob der Raum vollständig ist?

Also ich nehme eine Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset C([4,9]) \end{eqnarray*}$ her und muss schauen, ob's ein $\begin{eqnarray*} x\in C([4,9]) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \lVert x_n-x\rVert_{(\cdot,\cdot)}\to 0 \end{eqnarray*}$ ?

Falls ich richtig liege mit dem, was zu tun ist: Wie macht man das?

Ich habe bisher nur dies hier:

$\begin{eqnarray*} \lVert x_n-x\rVert_{(\cdot,\cdot)}^2=\int\limits_4^9 x_n^2(y)-2x_n(y)x(y)+x^2(y)\, dy \end{eqnarray*}$

Muss man jetzt irgendwie die Beträge ins Spiel bringen und irgendwie Cauchy-Schwarz nutzen?

02.06.2013, 14:00

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hilbertraum - ja oder nein?
Bisher stimmen die Ideen.
Der Raum ist nicht vollständig – um das zu zeigen, kannst du den Satz von Lebesgue benutzen: Such eine Folge, deren Grenzwert (wenn er existieren würde) nicht stetig ist.

02.06.2013, 14:04

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du den Satz von der majorisierten Konvergenz?

Also eine Cauchyfolge finden, die mit der gegebenen Norm gegen eine Funktion x konvergiert, die aber nicht auf [4,9] stetig ist?

02.06.2013, 14:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, finde $\begin{eqnarray*} (f_n)\subset C([4,9]) \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (die nicht fast überall gleich einer stetigen Funktion ist, so dass
$\begin{eqnarray*} \int_4^9\lvert f_n(x)-f(x)\rvert^2\dx\to0\,. \end{eqnarray*}$
Dann ist diese Folge automatisch eine Cauchy-Folge, konvergiert aber nicht in $\begin{eqnarray*} C([4,9]) \end{eqnarray*}$ mit der betrachteten Norm (überleg dir das).

02.06.2013, 14:14

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man $\begin{eqnarray*} f_n:=1/n \end{eqnarray*}$ nehmen und als Grenzfunktion f=0?

02.06.2013, 14:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullfunktion ist also unstetig?

Anzeige

02.06.2013, 14:22

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte als Grenzfunktion

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}1, & x<4\\0, & 4\leq x\leq 9\\1, & x>9\end{cases} \end{eqnarray*}$

die ist doch nicht stetig in ganz [4,9], nämlich an den Randpunkten nicht.

02.06.2013, 14:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Funktion auf $\begin{eqnarray*} [4,9] \end{eqnarray*}$ betrachtet ist sie allerdings stetig. Und auch wenn sie an den Randpunkten unstetig wäre: Sie ist dennoch fast überall gleich einer stetigen Funktion.

02.06.2013, 14:32

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, stimmt.

Wie kann man denn dann eine Beispielfolge finden?

Ich bin grad ratlos. verwirrt

verwirrt

02.06.2013, 14:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon eine passende "Grenzfunktion" gefunden, also eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} C([4,9]) \end{eqnarray*}$ , die nicht fast überall einer stetigen Funktion ist?

02.06.2013, 14:46

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider ist mir noch keine eingefallen.

verwirrt

verwirrt

02.06.2013, 14:47

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was kennst du denn so für unstetige Funktionen...?

02.06.2013, 14:51

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel Dirichlet-Funktion, die wäre auch als Funktion auf [4,9] unstetig in jedem Punkt.

02.06.2013, 14:54

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber sie wäre fast überall gleich einer stetigen (sogar konstanten) Funktion.

02.06.2013, 14:55

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso?

Sind denn die Mengen auf denen sie unstetig ist, Nullmengen?

Sorry, ich bin wohl gerade irgendwie ... vernebelt.

02.06.2013, 14:57

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt einen Unterschied, zwischen "fast überall stetig" und "fast überall gleich einer stetigen Funktion" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel, dass ersteres nicht aus letzterem folgt.

Mal anders gefragt: Welche ist die einfachste Form einer Unstetigkeitsstelle, die du kennst?

02.06.2013, 15:04

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

dass eine funktion f "fast überall gleich einer stetigen Funktion g" bedeutet doch, dass f(x)=g(x) für alle x, außer für die x, die aus einer Nullmenge stammen?

und dass eine funktion "nicht fast überall gleich einer stetigen funktion g" ist, bedeutet dann, dass sie auch auf mengen, die keine nullstellen sind, nicht mit der funktion g identisch ist?

02.06.2013, 15:17

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}0, & 4\leq x<6\\ 1, & 6\leq x\leq 9\end{cases} \end{eqnarray*}$

eine Funktion, die nicht fast überall mit einer stetigen Funktion übereinstimmt?

Sie stimmt mit der stetigen Funktion g=1 überein, bis auf der Menge [4,6), was keine Nullmenge ist.

02.06.2013, 15:18

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre ein Beispiel.
Dass sie nicht fast überall mit der konstanten Einsfunktion übereinstimmt, heißt zwar noch nicht, dass sie nicht fast überall mit irgendeiner stetiger Funktion übereinstimmt, aber das tut sie tatsächlich nicht.

02.06.2013, 15:35

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso muss die Grenzfunktion eigentlich nicht fast überall identisch mit einer stetigen Funktion sein und nicht einfach nicht identisch mit einer stetigen Funktion?
Weil das Integral betrachtet wird?
--
Und jetzt noch eine Funktionenfolge finden, die gegen f(x) konvergiert?

Nur: Wie? Die Funktionen müssen ja nun fast überall identisch mit einer stetigen Funktion auf [4,9] sein?

02.06.2013, 15:39

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SStephanie
Weil das Integral betrachtet wird?

Ja.
Dem Integral sind Unterschiede auf Nullmengen egal.

Zitat:

Nur: Wie? Die Funktionen müssen ja nun fast überall identisch mit einer stetigen Funktion auf [4,9] sein?

Nimm dir z.B. Funktionen, die konstant, dann linear, dann konstant sind.
Du brauchst dann nur punktweise Konvergenz.

02.06.2013, 16:09

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würd Folgendes mal vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases}0, & 4\leq x<6-\frac{1}{n}\\\frac{n}{6n-1}x-1, & 6-\frac{1}{n}\leq x<6\\1, & 6\leq x\leq 9\end{cases} \end{eqnarray*}$

Weiß aber wieder nicht genau, ob diese Funktionen fast überall identisch mit einer stetigen Funktion sind. Die sind doch sogar überall identisch mit einer stetigen Funktion?

02.06.2013, 17:24

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Funktionswert im zweiten Fall wäre noch zu verbessern.
Eigentlich brauchst du den aber nicht explizit anzugeben. Du könntest auch einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 6-\frac1n \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ linear von Null auf Eins ansteige.

02.06.2013, 18:57

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also korrigiert habe ich

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases}0, &\mbox{ für }4\leq x<6-\frac{1}{n}\\nx+1-6n, &\mbox{ für }6-\frac{1}{n}\leq x<6\\1, &\mbox{ für }6\leq x\leq 9\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt also jetzt für festes $\begin{eqnarray*} x\in [4,9] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lvert f_n(x)-f(x)\rvert\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber was sagt mir das nun?

Also ich habe:

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n-f\rVert_{(\cdot,\cdot)}^2=\left\lvert\int\limits_4^9 [f_n(x)-f(x)]^2\, dx\right\rvert\leq\int\limits_4^9\lvert [f_n(x)-f(x)]^2\rvert\, dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt konvergiert die rechte Seite gegen 0?

02.06.2013, 19:03

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, der Integrand ist ja nichtnegativ, also

$\begin{eqnarray*} \hdots =\int\limits_4^9\lvert f_n(x)-f(x)\rvert^2\, dx\to 0 \end{eqnarray*}$ ,

da der Integrand gegen 0 geht.

Und dass man den Limes in den Integranden ziehen kann, ist der Satz der majorisierten Konvergenz? Wie sieht man das? Was ist hier die Majorante? Das sehe ich noch nicht.

02.06.2013, 19:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Majorante kannst du als Konstante wählen.
Zur Not rechnest du das Integral halt explizit aus, ist aber nicht nötig.

02.06.2013, 20:12

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich frage mich noch die ganze Zeit, ob man diese ganze Sache mit der majorisierten Konvergenz überhaupt benötigt. Oder sieht es nur im Nachhinein beim Aufschreiben so aus, als bräuchte man das nicht?

Wenn ich das alles nämlich aufschreibe, würd ich es so machen:

Betrachte die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases}0, & 4\leq x<6-\frac{1}{n}\\nx+1-6n, & 6-\frac{1}{n}\leq x<6\\1, & 6\leq x\leq 9\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Diese Funktionen sind stetig auf [4,9].

Die obige Folge konvergiert (punktweise) gegen

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases}0, & 4\leq x<6\\1, & 6\leq x\leq 9\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge [jede konvergente Folge ist auch Cauchyfolge].

f ist nicht stetig in $\begin{eqnarray*} [4,9] \end{eqnarray*}$ , nämlich nicht in $\begin{eqnarray*} x_0=6 \end{eqnarray*}$ und liegt also nicht in $\begin{eqnarray*} C([4,9]) \end{eqnarray*}$ .

Man hat also eine Cauchyfolge gefunden, die NICHT in $\begin{eqnarray*} C([4,9]) \end{eqnarray*}$ konvergiert. Und dann kann der Raum nicht vollständig sein.

02.06.2013, 20:46

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion konvergiert zwar punktweise, aber wieso soll sie deshalb Cauchy-Folge bezüglich irgendeiner Norm sein?

02.06.2013, 21:36

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich sehe ein, dass man die Abschätzung mit

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n-f\rVert_{(\cdot,\cdot)}\leq ... \end{eqnarray*}$

schon braucht.

----

Was ich abschließend noch einmal fragen möchte, weil mir die Begrifflichkeit nicht geläufig ist, ist:

Ich sehe immer noch nicht so ganz klar, wieso die von mir angegebene Funktion f nicht fast überall identisch mit einer stetigen Funktion ist. Ich versuche es mal, auszudrücken.

Entscheidend ist doch hierbei folgende Überlegung:

Wenn man über diese Funktion integriert (und das tut man hier, weil die Norm eben ein Integral enthält dadurch, dass sie über das definierte innere Produkt definiert ist und dieses das Integral enthält), sind dem Integral Nullmengen egal.
Was auf den Nullmengen passiert (stetig/ unstetig) ist also so ziemlich egal.

Und bei meiner Funktion f ist jetzt entscheidend, dass sie auf NICHT-Nullmenge nicht stetig ist?

Anders gesagt: Beim Integral spielt die Unstetigkeit bei x=6 keine Rolle, x=6 fällt gewissermaßen weg.

Das entscheidende ist: Die Funktion ist auf $\begin{eqnarray*} [4,6) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (6,9] \end{eqnarray*}$ nicht stetig und das sind eben keine Lebesgue-Nullmengen und fallen bei dem Integral deswegen nicht weg.

Wenn man nur (wie ichs zuerst getan habe) eine Funktion nimmt, die lediglich auf Nullmengen unstetig ist, merkt das Integral das gar nicht und die ganze Absicht des Beweises durch Anführen eines Gegenbeispiels ist dahin. Alles eben, weil da ein Integral steht und man das bedenken muss.

Hätte man eine andere Norm, die kein Integral beinhalten würde, müsste man "lediglich" eine unstetige Funktion finden und man müsste diese fast-überall-Sache nicht bedenken.

---

Ich hoffe, ich habe es kapiert.

02.06.2013, 21:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze klingt sehr konfus.
Mach dir nochmals den Unterschied zwischen "fast überall stetig" und "fast überall gleich einer stetigen Funktion" klar!

Wichtig ist folgendes:
Wenn du weißt, dass es eine unstetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gibt, für die
$\begin{eqnarray*} \int_4^9\lvert f_n(x)-f(x)\rvert^2\dx\to0 \end{eqnarray*}$
gilt, heißt das noch nicht, dass es keine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \int_4^9\lvert f_n(x)-\tilde f(x)\rvert^2\dx\to0 \end{eqnarray*}$
gibt.
Das kannst du erst folgern, wenn es keinen stetigen Repräsentaten in der Äquivalenzklasse (fast überall gleicher messbarer Funktionen) von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gibt.

02.06.2013, 21:48

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Unterschied verstehe ich einfach nicht!

f ist fast überall stetig bedeutet: f(x) ist stetig in allen x, außer für diehenigen x, die aus Nullmengen stammen.

f fast überall identisch mit einer stetigen Funktion g bedeutet:

f(x)=g(x) für alle x, außer für diejenigen x, die aus einer Nullmenge stammen, also

f(x) != g(x) für x aus Nullmenge

---

Und wieso ist jetzt meine Funktion f(x) nicht fast überall identisch mit einer stetigen Funktion?

wenn ich eine stetige funktion g habe, dann bedeutet das doch, dass f(x) != g(x) für x aus NICHT-Nullmengen.

ich hatte ja etwa g=1 gewählt. diese ist stetig.
Aber f(x) ist auf [4,6) nicht mit g=1 identisch, und es ist [4,6) keine Nullmenge.

Okay, aber g=1 ist ja nun nur eine von vielen stetigen Funktionen.
Ich weiß nicht, wie ich wissen kann, dass f wirklich mit KEINER stetigen Funktion nicht fast überall identisch ist.

02.06.2013, 21:56

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

f ist fast überall stetig bedeutet: f(x) ist stetig in allen x, außer für diehenigen x, die aus Nullmengen stammen.

Jedes $\begin{eqnarray*} x\in[4,9] \end{eqnarray*}$ liegt in irgendeiner Lebesgue-Nullmenge, z.B. in $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ .
Besser: Die Menge der Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge (das ist für deine Funktion auch der Fall).

Zitat:

f fast überall identisch mit einer stetigen Funktion g bedeutet:

f(x)=g(x) für alle x, außer für diejenigen x, die aus einer Nullmenge stammen, also

f(x) != g(x) für x aus Nullmenge

Besser: Die Menge der Punkte, in denen keine Gleichheit gilt, muss eine Nullmenge sein.

Zitat:

Und wieso ist jetzt meine Funktion f(x) nicht fast überall identisch mit einer stetigen Funktion?

Welchen Funktionswert sollte denn diese stetige Funktion in $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ haben? Kein Intervall $\begin{eqnarray*} (6,6+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge, d.h. du hast in einer Umgebung von Sechs immer einen Funktionswert der Eins ist.
...

02.06.2013, 22:05

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet

NICHT fast berall identisch mit einer stetigen Funktion:

die menge, auf denen keine identität gilt, muss keine Nullmenge sein, es kann auch eine nicht-nullmenge sein.

02.06.2013, 22:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Menge, auf der "keine Identität gilt"? Welche Identität?

"Nicht fast überall identisch mit einer stetigen Funktion" bedeutet:
Es existiert keine stetige Funktion, die bis auf eine Nullmenge mit der betrachteten Funktion übereinstimmt.

02.06.2013, 22:17

SStephanie

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich es kapiert

vielen lieben dank!

weil man das integral hat, das die nullmengen sozusagen ausradiert, muss man eben sicherstellen, dass man nicht unachtsamerweise eine funktion f nimmt, die, wenn man nur die nullmengen wegnimmt, eine stetige funktion ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »