Teilbarkeit

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Teilbarkeit
hey kann mir jemand helfen?

R faktorieller ring, K=Quot(R), , f primitiv

Beh.: f|g in K[t] => f|g in R[t]

meine ansätze:
i) mit f' primitiv
ii) mit g' primitiv
iii) f=af' mit f, f' primitiv => a einheit in R => a|g
iv) f|g in K[t] =>

ab hier weiss ich nicht weiter. unglücklich
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Mit deinen Ansätzen kann ich irgendwie nichts anfangen...

Ich hätte dein h(t) in der Form h'(t)/c mit h'(t) R[t] und c R dargestellt, sodass c zum Inhalt I(h'(t)) teilerfremd ist, was ja möglich sein sollte... Danach in f(t)h'(t)=c g(t) beidseitig die Inhalte vergleichen, die ja assoziiert sein müssen...
 
 
Flowers Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
hallo Mystic! und danke für deine antwort!

ich habe allerdings probleme deinen vorschlag zu verstehen.

ich verstehe, dass ich h als quotient von h' und einem c aus R darstellen kann. das sollte funktionieren, da K der quotientenkörper von R ist.

ich weiß allerdings nicht, was du mit dem inhalt I(h'(t)) meinst. nachschlagen der definition ergab: wir hatten dies leider noch nicht.

Zitat:
Mit deinen Ansätzen kann ich irgendwie nichts anfangen...

aus dem wissen, dass a eine einheit in R ist, kann man doch foglern, dass a jedes ringelement aus R teil. also a teilt g. kann man nun nicht irgendwie folgern, dass dann auch af|g gilt?

ich fände es verwunderlich, wenn meine ansätze i) und iii) nicht brauchbar wären, da die aufgabe wie auf die sätze (aus denen meine ansätze folgen) zugeschnitten erscheint.

liebe grüsse
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Soso, mit dem Begriff Inhalt eines Polynoms kannst du nichts anfangen... Und das Lemma von Gauß (s. obiger Link) kennst du dann wohl auch nicht... geschockt

Hm, das wird dann allerdings schwierig... Ich fürchte dann bin ich auch mit meinem Latein am Ende... unglücklich
Flowers Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Zitat:
Und das Lemma von Gauß (s. obiger Link) kennst du dann wohl auch nicht...

das lemma von gauß lautet bei uns:
sei R faktorieller ring und f, g aus R[t]. sind f und g primitiv, so ist auf fg primitv.
der beweis erfolgte über widerspruch und der begriff des "inhalts" tauchte leider nie auf.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Zitat:
Original von Flowers
das lemma von gauß lautet bei uns:
sei R faktorieller ring und f, g aus R[t]. sind f und g primitiv, so ist auf fg primitv.
der beweis erfolgte über widerspruch und der begriff des "inhalts" tauchte leider nie auf.

Na also, ich habe den Verdacht, dass du eh alles kennst, was man hier wissen muss... Wenn ihr allerdings den Begriff Inhalt eines Polynoms wirklich niemals gehört habt (vielleicht unter anderem Namen?), wäre das m.E. echt ein Armutszeugnis für eure Vorlesung... Der Inhalt I(f) eines Polynoms f R[t] ist einfach der ggT der Koeffizienten des Polynoms und als solcher bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt... Insbesondere läßt sich f darstellen in der Form f=I(f)f' für ein primitives Polynom f' R[t]... Auch f' ist natürlich nur bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt und sein Inhalt I(f') ist jedenfall eine Einheit in R...Hat man ein weiteres Polynom g R[t] mit der Darstellung g=I(g)g' mit einem primitiven g' R[t], so gilt dann

fg =I(f)I(g) (f'g')

und es I(fg)~I(f)I(g) dazu äquivalent, dass f'g' primitiv ist. Alles klar? Augenzwinkern

Also nimm einfach den Inhalt auf beiden Seiten von fh'=cg, wende das Lemma von Gauß an und schließe daraus, dass c eine Einheit sein muss und daher h in Wahrheit schon in R[t] liegt...

Edit: Vielleicht wäre es besser, in Hinblick auf eine einheitlichere Notation, das Polynom h in der Form h=I(h)h'/c darzustellen, wo nun h' sogar primitiv ist, sonst aber alles gleich wie oben... Damit hat man dann die Gleichung

I(h)fh'=cg

in R[t] und du kannst wieder die Inhalte auf beiden Seiten vergleichen, die wie gesagt assoziiert sein müssen nach dem Lemma von Gauß...
Flowers Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Big Laugh okay mir geht ein licht auf. den begriff inhalt haben wir tatsächlich nie verwendet. wir haben einfahc immer direkt vom ggT der koeffzizienten gesprochen. ich hatte bei der wikipedia definiton nicht den abschnitt für faktorielle ringe gelesen. sonst hätte ich gleich gewusst was du meinst. verzeihung.
also haben wir schon immer den inhalt betrachtet um festzustellen ob ein polynom primitiv ist...

Zitat:
Insbesondere läßt sich f darstellen in der Form f=I(f)f' für ein primitives Polynom f'

das ist logisch. wenn die koeffizienten einen ggT haben, können wir diesen natürlich auch ausklammern und erhalten dann I(f)*f' wobei f' nun primitiv ist, da ein koeffzient jetzt 1 seien müsste. habe ich das soweit richtig verstanden?

Zitat:
Hat man ein weiteres Polynom g R[t] mit der Darstellung g=I(g)g' mit einem primitiven g' R[t], so gilt dann fg =I(f)I(g) (f'g')

die darstellung von g=I(g)g' erhalten wir analog zu oben und dann einfach multiplizieren.

Zitat:
und es I(fg)~I(f)I(g) dazu äquivalent, dass f'g' primitiv ist. Alles klar?

f' und g' primitv nach wahl => f'g' primitv nach lemma von gauß
die äquivalenz zu I(fg)~I(f)I(g) ist mir allerdings nicht direkt klar.

Zitat:
Also nimm einfach den Inhalt auf beiden Seiten von fh'=cg, wende das Lemma von Gauß an und schließe daraus, dass c eine Einheit sein muss und daher h in Wahrheit schon in R[t] liegt...

inhalt(f)*inhalt(h') ~ inhalt(fh') = c * inhalt(g) = inhalt(c)*inhalt(g)
wieso folgt nun, dass c eine eine einheit aus R ist? es könnte doch auch inhalt(g) die einheit sein. und gilt nicht sogar gleichheit? also:
inhalt(f)*inhalt(h')=inhalt(fh')=c*inhalt(g)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Machen wir das Ganze doch mal ganz ohne "Inhalt", da dir dieser Begriff ohnehin suspekt zu sein scheint... Big Laugh

Zuerst ein paar Grundtatsachen:

1. Ein Polynom f R[t] heißt primitiv, wenn der ggT seiner Koeffizienten eine Einheit in R ist.

2. Jedes f R[t] besitzt eine kanonische Darstellung f=af', wobei a R und f' ein primitives Polynom in R[t] ist. Sowohl a, als auch f' sind dabei bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.

3. Sind f,g beliebige Polynome in R[t] mit den kanonischen Darstellungen f=af' bzw. g=bg' wie in 2., so ist dann fg =(ab)(f'g') die kanonische Darstellung von fg (Lemma von Gauß).

4. Ist hK[t], wo K den Quotientenkörper von R bezeichnet, so besitzt es dann eine Darstellung h=(c/d)h', wobei c,d R und h' ein primitives Polynom ist. (Wenn man will, kann man c,d o.B.d.A. als teilerfremd voraussetzen, doch wird das nachfolgend nicht gebraucht.)

Nun der eigentliche Beweis:

Seien f,g R[t], wobei f primitiv sei und f ein Teiler von g in K[t], d.h., es gibt ein h K[t] mit fh=g. Sind dann f=f', g=bg' und h=(c/d)h' kanonische Darstellungen gem. 3 bzw. 4, so folgt durch Einsetzen... usw. usf.

Kannst du das nun mit diesen neuen - und wie ich hoffe, besseren, weil logischeren - Bezeichnungen zu einem guten Ende führen? Augenzwinkern
Flowers Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
(Vorweg ersteinmal ein großes Danke für deine ausführlichen Bemühungen!) Freude

Zitat:
Kannst du das nun mit diesen neuen - und wie ich hoffe, besseren, weil logischeren - Bezeichnungen zu einem guten Ende führen? Augenzwinkern


Ich erhalte also:
mit ch' aus R[t] und d aus R.
Hierbei sind f, h' und g' primitiv und nach dem Lemma von Gauß auch h'f.

Jetzt muss ich doch aber irgendwie das d wieder wegbekommen, oder nicht? Dann würde ja folgen, dass f g teilt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Zitat:
Original von Flowers
Ich erhalte also:
[...] mit ch' aus R[t] und d aus R.
Hierbei sind f, h' und g' primitiv und nach dem Lemma von Gauß auch h'f.

Jetzt muss ich doch aber irgendwie das d wieder wegbekommen, oder nicht? Dann würde ja folgen, dass f g teilt.

Du hast in der rechten Äquivalenz zwei kanonische Darstellungen von ein und demselben Polynom in R[t]... Wenn du also meine Punkte 2 und 3 oben wirklich verstanden hast, so folgt daraus doch sofort die Assoziiertheit c ~db in R. Mit anderen Worten: d ist ein Teiler von c !!! Wenn du c und d als teilerfremd vorausgesetzt hast, dann folgt daraus sogar, dass d eine Einheit in R ist, aber auch so ergibt sich, dass c/d jedenfalls in R liegt, da es ja zu b assoziiert ist...So oder so liegt also h jedenfalls in R[t], was zu zeigen war... Augenzwinkern
Flowers Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Okay. Die Argumentation mit der Assoziertheit kann ich nachvollziehen, aber ich weiß nicht warum dein Punkt 2) gilt.

Wir haben nur den Satz:
Sei R faktorieller Ring und K=Quot(R). Für jedes f aus R[t] exisitiert eine Zerlegungn der Form , wobei und primitiv ist.

und

Falls f und g aus R[t] primitive Polynome ungleich dem Nullpolynom sind und es ein gibt, so dass , so gilt .

Sprich mir fehlt die Eindeutigkeit bis auf Assoziiertheit, welche ich ja für den finalen Schritt zum Ziel benötige.
verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Im Grunde geht es bei der Existenz und Eindeutigkeit der kanonischen Darstellung



in Punkt 2. eigentlich in letzter Konsequenz um die Existenz und Eindeutigkeit des ggT (bis Assoziiertheit) in einem faktoriellen Ring... Leider muss ich nun doch wieder auf den Inhalt eines Polynoms



zu sprechen kommen, sonst wird alles etwas mühsam... Wie berechnet sich denn Inhalt(af) für ein a R? (Achtung: Die Gleichheiten im Folgenden sind immer bis auf Assoziiertheit zu verstehen!)



Ist f hier speziell primitiv, also Inhalt(f) =1, so gilt dann Inhalt(af)=a. Ist somit f=af' die kanonische Darstellung nach Punkt 2 mit a R und f' R[t] primitiv, so bekomme ich zuerst das a (bis auf Assoziiertheit), indem ich Inhalt(af') bilde und anschließend auch das primitive Polynom f', indem ich (1/Inhalt(af'))(af') bilde, was die Eindeutigkeit dieser beiden Bestandteile der kanonischen Darstellung bis auf Assoziiertheit in R beweist...
Flowers Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Danke für deine Bemühungen und deine Geduld!

Ich verstehe nun alles. Freude
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