Unterraumeigenschaft überprüfen

03.06.2013, 17:20

Eyelow

Unterraumeigenschaft überprüfen

Hallo,

ich übe zurzeit für das Thema Unterräume und habe nun diese Aufgaben, bei denen ich nicht 100% sicher bin, wie man auf die Lösung gekommen ist. Sprich, mir sind die Rechenschritte wichtig, um dieses Thema endlich zu kapieren um zum nächsten Thema überzugehen. smile

Die Aufgabe lautet:

Prüfen Sie die Unterraumeigenschaft für

a) $\begin{eqnarray*} U1 = \left\{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2} \ 2x - y = 0; x+y=2 \right\} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} U2 = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^{3} : x+y-z= 0; 2x-y+2z= 0\right\} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} U3 = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in R^{2} : x\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabe a) soll " $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist kein Element von U1. U1 ist kein Unterraum" rauskommen.

Hat er hier einfach den Vektor (0/0) genommen und den in die 2 Gleichungen eingesetzt?
Weil der Vektor auf jeden Fall drin sein muss, oder? (Würde ich sagen)
Dachte man muss jedes mal alle Eigenschaften überprüfen?

Bei Aufgabe c) soll U3 kein Unterraum sein, weil [Gegenbeispiel] Vektor (2/2) sei Element U3 aber (-1) * (2/2) = (-2/-2) kein Element U3.

Hat er hier auch willkürlich was aus R eingesetzt?
Und die (-1) * (2/2) ist doch eine Eigenschaft, nämlich zu gucken ob es bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist, oder?

Das führt zur Frage, dass ich nicht immer alle Eigenschaften überprüfen muss, wenn schon eine nicht erfüllt ist, richtig?

Ich möchte mich schon vorher entschuldigen, falls die Fragen zu banal sein sollten, aber für mein Verständnis sind sie wichtig. Danke.

03.06.2013, 17:35

Iorek

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RE: Unterraumeigenschaft überprüfen

Zitat:

Original von Eyelow
Hat er hier einfach den Vektor (0/0) genommen und den in die 2 Gleichungen eingesetzt?
Weil der Vektor auf jeden Fall drin sein muss, oder? (Würde ich sagen)

Ja, der Nullvektor muss immer enthalten sein.

Zitat:

Original von Eyelow
Hat er hier auch willkürlich was aus R eingesetzt?
Und die (-1) * (2/2) ist doch eine Eigenschaft, nämlich zu gucken ob es bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist, oder?

"Willkürlich" ist es irgendwo, allerdings auch nicht ganz so willkürlich. Er hätte auch (1;1) oder (251;-6123) nehmen können. Man nimmt einen, der zur Argumentation passt.

Zitat:

Original von Eyelow
Das führt zur Frage, dass ich nicht immer alle Eigenschaften überprüfen muss, wenn schon eine nicht erfüllt ist, richtig?

Ja, sobald eine Eigenschaft nicht erfüllt ist, kann es schon kein Unterraum mehr sein. Dann muss man auch nichts anderes mehr überprüfen.

03.06.2013, 18:23

Eyelow

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Zum 1. Zitat:

Man muss ja zeigen, dass U!= Leere Menge.
Dafür hat man den Nullvektor gewählt usw.
Heißt das ich muss bei jeder Aufgabe diesen Typs gucken ob der Nullvektor enthalten ist?
Ist das quasi der Schritt der immer dabei ist? Mich verwirrt die Tatsache, dass man z.B. In Aufgabe c) wiederum diesen Schritt nicht wählt sondern gleich irgendwelche Zahlen aus R, die zur Argumentation passen (das hab ich von dir smile

)

b)
Das Ergebnis hier ist : "U2 ist die Lösungsmenge eines homogenen LGS. U2 ist Unterraum." (Per irgend so einem Satz, das hilft mir aber nicht).

Mehr steht da nicht, aber ich hätte gern den Rechenweg gesehen.
Evtl kann ich es probieren und dann hier posten, damit jemand draufgucken kann.

03.06.2013, 18:35

Iorek

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Du hast Recht wenn du sagst, dass $\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ sein muss, es reicht also, die Existenz irgendeines Elements nachzuweisen; das muss nicht unbedingt der Nullvektor sein. Allerdings folgt wahlweise aus der Definition eines Vektorraums oder alternativ aus der Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation, dass der Nullvektor auf jeden Fall enthalten sein muss (versuch dir diese Aussage zunächst mal klar zu machen bzw. weshalb man diese Aussage aus der Definition/der Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation folgern kann). Daher nimmt man meistens den Nullvektor als konkreten Vektor, der enthalten sein muss. Die Überprüfung reduziert sich dann auf reines Nachrechnen.

Zur zweiten Menge: man kann ganz allgemein zeigen, dass die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems einen (Unter-)Vektorraum bildet (im [Artikel] Untervektorraum ist das z.B. ausgeführt), du kannst es aber gerne auch selber probieren und hier posten.

03.06.2013, 20:49

Eyelow

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Erstmal vielen Danke für die bisherige Hilfe @Iorek smile

Ich habe nun versucht, die Aufgabe Schritt für Schritt zu lösen.

1. U != Leere Menge
2. U1 + U2 Element von U
3. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * U1 Element von U

zu 1.)
(0;0;0) ist Element von U da homogenes LGS. Bei Ax=0 ist x=0

>>Stimmt dieser Schritt schon mal?

zu 2.)

U1= (x1;y1;z1) , -> x1+y1-z1 = 0
U2= (x2;y2;z2) , -> x2+y2-z2 = 0

Betrachte man nun U1+U2 = (x1;y1;z1) + (x2;y2;z2) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ ?

Behauptung:

0= (x1+x2) + (y1+y2) - (z1+z2)

Beweis:

0= (x1+y1-z1) + (x2+y2-z2)
0=(x1+x2) + (y1+y2) + (-z1-z2)
0=(x1+x2) + (y1+y2) - (z1+z2)

>>richtig bewiesen?

zu 3.)
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * U1 Element von U

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * U1 = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * (x1;y1;z1) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\\lambda x_1\\lambda y_1\\lambda z_1\end{pmatrix}\in U \end{eqnarray*}$ ?

lambda 0 = lambda x1 + lambda y1 - lambda z1 Gilt das? (1)

Wir wissen
0= x1+y1-z1 /*lambda
<-> lambda 0 = lambda x1 + lambda y1 - lambda z1

---> Ist das gleiche wie (1)

Fazit: U ist UR des R^3
--------------------------------------------

So habe ich das jetzt gemacht.
Allerdings ist ja noch eine Gleichung gegeben wie man sehen kann.
Muss ich dann alles genau so für diese 2. Gleichung überprüfen?

Und was viel wichtiger ist: Sind die ganzen Schritte überhaupt richtig oder völliger Unsinn
(Ich habe eine andere Aufgabe betrachtet und das angewandt, was dort gemacht wurde, daher dieser Aufbau).

Wär echt super, wenn ichs richtig gemacht habe Big Laugh

04.06.2013, 12:54

Iorek

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Damit hast du das jetzt für dieses ganz spezielle lineare Gleichungssystem nachgewiesen, damit ist noch nicht klar, dass das auch allgemein für die Lösungsmenge eines homogenen LGS gilt. Dafür müsstest du mit einem allgemeineren Ansatz arbeiten (der Nachweis verläuft aber ziemlich ähnlich).

04.06.2013, 13:37

Eyelow

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Danke für die Rückmeldung.
Ahh velleicht habe ich mich undeutlich ausgedrückt, aber mit "Evtl kann ich es probieren und dann hier posten, damit jemand draufgucken kann." meinte ich, dass ich diese spezielle Aufgabe schriftlich berechnen werde. Augenzwinkern

Bleibt noch die Frage, ob ich all das noch für die 2. Gleichung dieser Aufgabe machen muss. verwirrt

04.06.2013, 14:02

Iorek

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Zitat:

Original von Eyelow
Bleibt noch die Frage, ob ich all das noch für die 2. Gleichung dieser Aufgabe machen muss. verwirrt

Das ist der Punkt auf den ich mit "allgemeines LGS" hinauswollte. Augenzwinkern

Wenn du das nur für diese Aufgabe machen würdest, dann würdest du das Gleichungssystem bestehend aus

$\begin{eqnarray*} x+y-z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x-y+2z=0 \end{eqnarray*}$

betrachten müssen. Jedes Element dieser Menge muss beiden Gleichungen genügen, du kannst das also nicht nur für die erste Gleichung betrachten sondern musst beide Gleichungen beachten.

Wenn du das allerdings für ein allgemeines LGS mit $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann kannst du hier (und in Zukunft) natürlich darauf zurückgreifen mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 1 -1 \\ 2 -1 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

04.06.2013, 18:08

Eyelow

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Ok, also brauche ich nurnoch die Schritte für die 2. Gleichung durchführen und dann wär ich fertig.

Es liegt vielleicht daran, dass ich zu viele Vorlesungen heute hatte, aber diese Matrix A die du aufgeführt hast; was soll ich darunter verstehen? Hammer

04.06.2013, 20:59

Iorek

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Zitat:

Original von Eyelow
Ok, also brauche ich nurnoch die Schritte für die 2. Gleichung durchführen und dann wär ich fertig.

Nicht ganz. Du musst diese Schritte für Elemente $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ durchführen, welche beide Gleichungen erfüllen (das läuft im Prinzip darauf hinaus, dass du das einzeln für die zwei Gleichungen nachrechnest, ist aber im Grundgedanken ein Unterschied). Was den allgemeinen Beweis angeht, empfehle ich dir einen Blick in den oben verlinkten Artikel, da ist dieser zu finden.

04.06.2013, 21:52

Eyelow

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Habe ich das nicht gemacht z.B. beim Teil der Lösung "zu 2.)"

Zitat:

U1= (x1;y1;z1) , -> x1+y1-z1 = 0
U2= (x2;y2;z2) , -> x2+y2-z2 = 0

Dabei hab ich die ganze Rechnerei noch für die 2. Gleichung gemacht (auf Papier, also hier nicht zu finden)
traurig

Vllt kannst du an dem Bsp. zeigen, was der Unterschied ist?

P.s.: Den Artikel mit dem allg. Beweis hatte ich bereits gelesen, dachte ich habe ihn verstanden (vllt irre ich mich?).

LG

04.06.2013, 22:02

Iorek

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Damit aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1\end{pmatrix}\in U_2 \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} x_1+y_1-z_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x_1-y_1+2z_1=0 \end{eqnarray*}$ sein. Gleiches auch für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2\end{pmatrix}\in U_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn das auf deinem Blatt so steht und du damit gearbeitet hast, dann sollte das in Ordnung sein, allerdings kann ich das natürlich nur vermuten.

04.06.2013, 22:30

Eyelow

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Die schriftlichen Lösungen habe ich alleine gemacht, heißt es sind keine vorgeg. Lösungen die 100% stimmen. Big Laugh

Vielleicht muss ich eine Nacht drüber schlafen, ums zu kapieren.
Sonst frag ich hier weiter; ich gebe nicht auf bis ich's endgültig verstanden habe. Big Laugh

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