Messbarkeit äquivalent zu Konstant auf Partitionen

03.06.2013, 18:49	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit äquivalent zu Konstant auf Partitionen Gegeben sind eine endliche Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , eine Partition (disjunkte Zerlegung) $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ darauf und die davon erzeugte $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} A = \sigma (P) \end{eqnarray}$ , also den messbaren Raum $\begin{eqnarray} ( \Omega , A) \end{eqnarray}$ . Sei dann $\begin{eqnarray} ( \Omega ', A') \end{eqnarray}$ ein weiterer messbarer Raum. Die zu beweisende Aussage ist, dass für eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: \Omega \rightarrow \Omega ' \end{eqnarray}$ äquivalent sind: (1) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} A-A'-messbar \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist konstant auf jedem $\begin{eqnarray} P_{i} \in P \end{eqnarray}$ Die Rückrichtung (2) nach (1) habe ich bereits. Mir ist aber nicht klar wie man von (1) nach (2) kommen kann. Ich habe es mit einem Widerspruch probiert, bekomme den aber nicht hin. Insbesondere habe ich mir überlegt, dass ja diese Aussage auch für die triviale $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} A' = \left\{ \emptyset , \Omega '\right\} \end{eqnarray}$ gelten muss. Die Urbilder von diesen beiden Mengen in $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ sind aber ebenfalls trivial und lassen doch keine Rückschlüsse auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu, da kann man sich ja sicherlich ein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstruieren dass auf einem $\begin{eqnarray} P_{i} \end{eqnarray}$ nicht konstant ist aber $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ trotzdem messbar ist... Ich habe die Aussage auch nochmal im Internet gefunden, jedoch war dort der Spezialfall $\begin{eqnarray} ( \Omega ', A') = (\mathbb R , \mathbb B ( \mathbb R) ) \end{eqnarray}$ und da konnte man dann zu einem Widerspruch gelangen, wobei man jedoch entscheidend die Struktur der Borel- $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra benutzt. Ok das wars von meiner Seite... hat jemand dann mal einen Tipp parat?
03.06.2013, 22:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit äquivalent zu Konstant auf Partitionen Indirekter Beweis ist doch eine gute Idee: Nimm einfach an, dass es ein $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \omega_1,\omega_2\in P_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\omega_1)\neq f(\omega_2) \end{eqnarray}$ gibt. Dann betrachte einfach das Urbild $\begin{eqnarray} B := f^{-1}\left( \left\{ f(\omega_1) \right\} \right) \end{eqnarray}$ und zeige, dass das nicht in $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ liegen kann.
03.06.2013, 22:23	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Genau das war mein Plan, aber es muss doch nicht $\begin{eqnarray} \left\{ f( \omega_{1})\right\} \in A' \end{eqnarray}$ gelten? Sprich ich betrachte doch nur die Urbilder der Elemente in $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ , und dieses kann ja trivialerweise nur die leere Menge und $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ sein? Deren Urbilder liegen auf jeden Fall in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , somit wäre also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ messbar. Also hier liegt mein (Verständnis?)-Problem.
03.06.2013, 22:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt sehe ich das Problem. Nun, jetzt wird die Sache ganz einfach: In der oben geschriebenen Allgemeinheit ist die Aussage schlicht falsch: Du hast ja selbst die triviale Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A}' = \left\{ \emptyset , \Omega '\right\} \end{eqnarray}$ ins Spiel gebracht, mit der ist aber jede Funktion $\begin{eqnarray} \mathcal{A}-\mathcal{A}' \end{eqnarray}$ -messbar !!! Was die Aussage dann mühelos zu Fall bringt. Es scheint also noch irgendeine Voraussetzung an die "Reichhaltigkeit" von $\begin{eqnarray} \mathcal{A}' \end{eqnarray}$ zu fehlen - z.B. dass alle Einermengen drin enthalten sind (natürlich, damit mein erster Beweisversuch gerettet ist ).
03.06.2013, 22:42	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke nochmal für die Klarstellung Dann ist das wohl ein Fehler auf dem Übungsblatt, dort stehen keine weiteren Voraussetzungen mehr.

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