Dichtheit (ir-)rationaler Zahlen |
| 04.06.2013, 03:07 | Fugyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Dichtheit (ir-)rationaler Zahlen Hallo zusammen, es geht um ein (für mich total unintuitives) Paradox, auf das ich zufällig während meines Studiums gestoßen bin. Zum Einen gibt es zwischen zwei beliebig nah aneinander liegenden rationalen Zahlen immer (mindestens) eine irrationale Zahl. Zum Anderen habe ich jetzt erfahren, dass es zwischen zwei irrationalen Zahlen aber auch immer (mindestens) eine rationale Zahl geben muss. Soweit so gut, intuitiv hab ich mir dann ausgedacht, dass es dann theoretisch gleich viele rationale wie irrationale Zahlen geben muss, da diese immer "abwechselnd" auf dem Zahlenstrahl vorkommen. Da aber die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar ist, die der rationalen Zahlen abzählbar, kann das nicht sein. Liebe Grüße Fugyl EDIT: Achso meine Frage dazu lautet natürlich: Warum ist das so? Kann man das beweisen? Meine Ideen: Ich habe selbst ein wenig recherchiert, bzw. nachgefragt und bin dabei auf den Begriff der Dichtheit der beiden Mengen gestoßen, was mir selbst aber nicht besonders weitergeholfen hat. Zudem habe ich die Vermutung (die ich selbst nicht beweisen kann), dass zwischen zwei rationalen Zahlen immer endlos viele irrationale Zahlen liegen, was das ganze noch seltsamer für mich macht. |
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| 04.06.2013, 18:45 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Dichtheit (ir-)rationaler Zahlen es gibt in jedem intervall (also zwischen jedem paar von reellen zahlen) unendlich viele rationale und irrationale zahlen - da nur mit intuition ranzugehen ist also nicht der richtige weg (ich meine mit seiner "alltags"-intuition über die anzahl von unendlich vielen dingen zu reden). und zu sagen, dass rationale und irrationale zahlen sich abwechseln, ergibt auch nicht wirklich sinn, da man nicht von einer "nächsten zahl" nach einer anderen (wie z.b. in den ganzen zahlen) sprechen kann - bzw. die gibt es einfach nicht, was sofort aus dem, was ich zuerst gesagt hab, folgt. und das kann man alles beweisen, ja. ansonsten stell einfach noch ne präzisere frage, dann kann ich sicher auch eine bessere antwort geben. lg |
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| 04.06.2013, 19:06 | Fugyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Dichtheit (ir-)rationaler Zahlen Kannst du denn pauschal von jedem Intervall sagen, dass es überabzählbar unendlich irrationale und abzählbar unendlich rationale Zahlen in diesem Intervall gibt? Sagen wir, wir fügen den reellen Zahlen noch die hyperreellen Zahlen hinzu. Wie würden diese sich verteilen? Wäre, wenn wir von 0 an immer die nächstgrößere benachbarte Zahl betrachten, dies eine rationale oder irrationale? Ich frage rein aus Interesse an der Materie, und ich hab ja auch schon gesagt, dass meine Intuition da defintiv falsch am Platz ist, meine Frage ist nur: Warum sind in einem beliebigen Intervall scheinbar mehr irrationale als rationale Zahlen? Und warum ist meine Intention, Zahlen müssten abwechselnd auftreten in der (überabzählbaren) Unendlichkeit plötzlich falsch? (Ja, ich weiß dass sie falsch ist, aber nicht warum 
) Aber du verstehst warum ich so denke oder? Rein logisch betrachtet müsste aus den beiden Forderungen eine "Abwechslung" auftreten... Danke für deine Zeit Liebe Grüße Fugyl PS: Ich hoffe das ist der richtige Ort um diese Frage zu posten, konnte sie jetzt nicht eindeutig zuordnen 
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| 08.06.2013, 18:00 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Dichtheit (ir-)rationaler Zahlen
lg |
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