Erzeugendensystem vorhanden? |
| 04.06.2013, 15:35 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Erzeugendensystem vorhanden? Korrekt? |
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| 04.06.2013, 15:44 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, was ist für dich der Vektor 1? Du kannst nach Definition vorgehen und zeigen des jeder Vektor als Summe der (bzw. von skalaren Vielfachen) Elemente des Erzeugendensystems darstellen lässt. Im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume ist es aber oft sinnvoller die Dimension des Vektorraums zu bestimmen (z.B. mit Dimensionssatz) und zu zeigen, dass die betrachtete Menge linear unabhängig. Ferner kann man noch den Rang der Matrix bestimmen, die entsteht wenn man die Spaltenvektoren hintereinander schreibt. |
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| 04.06.2013, 16:07 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo und danke für deine Antwort. Mit dem Vektor 1 meine ich einen Vektor deren Elemente alles einsen sind. Nach der vorgebenen Anzahl der Elemente der Vektoren setze ich deren Linearkombination gleich mit dem Vektor 1 und löse das LGS. So habe ich es mir vorgestellt. Ist das erlaubt ? Nach deiner Methode soll ich also die Linearkombination mit einem allgemeinen Vektor gleichsetzen? z.b bei Vektoren mit drei Elementen (a,b,c) richtig? Davon das LGS mithilfe Gauß und Stufenform lösen und dann ablesen ob ein EZS vorhanden ist? Wie erkenne ich das nach aufstellen der Stufenform ? |
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| 04.06.2013, 16:16 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das zeigt nur ob der Vektor den du 1 nennst im Erzeugnis der Elemente ist. Das ist für die betrachtete Frage ziemlich irrelevant.
Bitte achte auf die exakte Begrifflichkeiten. Ein Vektor hat/enthält keine Elemente. Ein Vektor hat Einträge oder Koordinaten. Bei welcher "meiner Methode"? Was meinst du genau mit deinem Beispiel? |
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| 04.06.2013, 16:21 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich meine damit, dass ich anstatt die Linearkombination mit dem Vektor 1 gleichsetze, lieber einen allgemeinen Vektor wähle (z.b (a,b,c) und schaue ob das LGS irgendein Hinweis gibt ob sich beliebig Vektoren erzeugen lassen. Ich hoffe du verstehst was ich meine |
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| 04.06.2013, 16:39 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte gewöhne dir diesen Namen so schnell wie möglich ab. Welchen Vektor du in einem Vektorraum meinst hängt von der gewählten Basis ab, also schonmal keine gute Idee. In unendlich-dimensionalen VR existiert so ein Vektor nicht mal.
Das LGS Ax=b ist für alle Vektoren b aus V lösbar genau dann wenn rg(A)=dim(V). Darauf zielte mein letzter Punkt im ursprünglichen ab. Wobei sich die Rangmethode auch eignet um zu zeigen, dass ein Erzeugensystem eines Unterraum vorliegt. Da hilft das LGS nicht viel. |
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| 04.06.2013, 16:44 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Können wir das erst einmal in kleinen Schritten machen? Wenn ja, was muss ich als erstes machen? Ich bin jetzt etwas verwirrt, ob den das nun richtig ist mit dem allgemeinen Vektor oder nicht. Deshalb wäre es klasse die Aufgabe Schritt für Schritt zu lösen. |
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| 04.06.2013, 17:01 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Welche Aufgabe? |
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| 04.06.2013, 17:31 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
{(1,0,0),(1,0,2),(3,0,4)} Diese Teilmengen z.b. ich soll schauen ob diese eine Basis sind. Bedingung 1. Linear unabhängig vorhanden Und 2. Sie bilden ein EZS. Wie prüfe ich diese auf die Erzeugendensystembedindgung. Was muss ich als erstes machen ? |
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| 04.06.2013, 17:41 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als Teilmenge welchen Vektorraums?
Das liegt in einem endlich-dimensionalen Vektorraum. In dem Fall hab ich zwei methoden aufgezählt, oder nimm die allgemeine Variante. Such dir eine aus. |
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| 04.06.2013, 18:08 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt, habe vergessen anzugeben, ob die Teilmengen Basen des IR^3 sind. Mit der Allgemeinen Methode meinst du bei z.b. drei Vektoren folgende herangehesnweise oder: Wobei die drei Vektoren die vorgegebenen Teilmengen sind. Ich soll jetzt das LGS lösen mithilfe Gauß richtig ? |
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| 04.06.2013, 18:14 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
keine Ahnung was das bedeuten soll. Du schaust dir die Matrix an und bestimmst deren Rang. Der Begriff des Rangs einer Basis ist bekannt? Im Übrigen reicht hier bereits zu wissen dass sie drei Vektoren linear unabhängig sind. Daraus folgt sofort dass die drei auch eine Basis bilden.(Überleg dir mit Hilfe der Def. Basis bzw. deren äquivelenten Eigenschaften im endlich-dimensionalen Fall.) |
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| 04.06.2013, 18:20 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Frage vorab: Weshalb hast du die Koordinaten der Vektoren ,,Zeilenmäßig" in die Matrix überführt anstatt Spaltenmäßig für je einen Vektor ? Das ist mir neu. Und ja, ich weiss was der Rang ist, zumindest vermute ich, dass die Anzahl der nicht Nullzeilen der Matrix nach hervorbringen der Stufenform=Rang der Matrix ist. |
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| 04.06.2013, 18:24 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du hast die Vektoren doch "zeilenmäßig" geschrieben. Es ist aber vollkommen egal ob man die Vektoren als Zeilen oder Spaletenvektoren schreibt da
Richtig. |
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| 04.06.2013, 18:43 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier hat man das Glück, das man die die Zeilen der Matrix so vertauschen kann, sodass sofort eine Stufenform vorhanden ist. Der Rang ist hier 2! Was hilft mir das jetzt bzgl. des Erzeigendensystem? |
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| 04.06.2013, 18:47 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich lese hier gerade, dass wenn die Matrix der Vektoren vollen Rang hat so bilden sie ein EZS. Bei mir hat sie aber nicht vollen Rang? |
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| 04.06.2013, 18:51 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Rang ist 2, ja. Damit ist deine Behauptung hier:
widerlegt. Die Menge ist nicht linear unabhängig.
Richtig. Und bitte das nächste Mal zuerst lesen. |
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| 04.06.2013, 18:56 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das heißt kurzgesagt, ich überführe die Vektoren in eine Matrix. Bringe diese in Zeilenstufenform. Schaue mir den Rang an (Ist dieser Voll, so bilden die Vektoren ein EZS) und löse das LGS und schaue ob zudem die Vektoren Linear unabhängig sind. Dann ist es eine Basis? Jetzt muss ich leider erwähnen das wir noch nicht den Rang definiert haben. Die Dimension haben wir jedoch besprochen. Nun sehe ich, dass im Skript http://www.iaa.tu-bs.de/vbach/SoSe-2013/...29/IMG00038.jpg das dort jedoch das gemacht wird was ich gemeint habe. Ein allgemeinen Vektor gleichsetzen mit der Linearkombination der vorgegebenen Teilmengen bzw Vektoren. Also ist das doch richtig? |
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| 04.06.2013, 19:06 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso erst jetzt. 
Warum sagst du das nicht wenn ich den Begriff erwähne? Dann kann ich einen passenden Ansatz machen. So schaffst du es Helfer zu demotivieren und die Qualität der Hilfe zu senken.
Welches LGS willst du lösen und wozu? Und wie bereits angemerkt, es ist auch immer eine Frage wovon die Menge Basis bzw. EZS sein soll.
Habe ich behauptet, dass es falsch wäre? Es ist schlicht umständlich. |
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| 04.06.2013, 19:17 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also geholfen hast du mir schon eine Menge, gar keine Frage.^^ Also ich wusste schon davor was der Rang ist ,aber wie gesagt sehe ich erst jetzt das wir ihn gar nicht definiert hatten. Klingt blöd ich weiss. Also ist es auch auf diesem umständlichen Weg möglich? Bzgl der Frage welches LGS ich lösen will: In diesem Fall würde es wie folgt lauten: Das nun in Koeffizientenmatrixdarstellung darstellen, mithilfe Gauß in Zeilenstufenform bringen und dann irgendwie ablesen können ob es nun ein EZS ist oder nicht. |
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| 04.06.2013, 21:24 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja ist es.
Hier sieht der Einäugige, dass es für keine Lösung gibt. |
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| 04.06.2013, 21:36 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab es jetzt verstanden danke. Wie ist es den eigentlich bei nur einem Vektor? Hier habe ich z.b. im IR^3 eine Teilmenge vorgegeben mit drei Korrdinaten. Hier bin ich etwas verwirrt das auf Zeilenstufenform zu bringen. Oder kann es sein das es einfach die erste Zeile nur eine Zahl sein muss und die anderen beiden Zeilen sind Nullzeilen. Ich hoffe du verstehst was ich meine, da ich ja die Treppenform hervorbringen möchte. |
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| 04.06.2013, 21:41 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diese Aussage ist seltsam. Ein Vektor im IR^3 hat die form (x,y,z) hat also immer drei Koordinaten (oder meinst du was anderes?) Da IR^3 3 dimensional ist (lt. deiner Aussage ist der Dimensionsbegriff bekannt) kann eine ein-elementige Menge kein EZS sin. Jeder EZS des VR V hat mind. dim(V) Elemente, jede lin. unabhängige Menge hat höchstens dim(V) Elemente. |
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| 04.06.2013, 22:00 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit meine ich ob folgendes eine Basis im IR^3 sein kann {(a,b,c)} wobei min. zwei Werte ungleich Null sein. Ich vermute mal nicht. Zudem würde mich interessieren ob ein einziger Vektor LA oder LU ist, Ich vermute das er linear unabhängig ist. Bin mir aber unsicher. |
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| 04.06.2013, 22:09 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte schreib die Menge sauber auf; so ergibt das relativ wenig Sinn. {(a,b,c)} ist eine einelementige Menge, allerdings fehlt die Def. von a,b und c.
Eine ein-elementige Menge ist lin. unabh. genau dann, wenn sie den Nullvektor nicht enthält. Der Beweis wär evtl. eine nette Übung. |
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| 04.06.2013, 22:44 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht nämlich darum, dass ich entscheiden soll ob folgende Teilmenge eine Basis im IR^3 ist: {(1053,27,39)} In Matrix überführen und Zeilenstufenform hervorrufen: (1,0,0) Das impliziert von (unten nach oben gelöst), das die triviale Lösung vorhanden ist und somit diese Teilmenge linear unabhängig ist. Korrekt ? Nun komme ich zum folgenden Ergebnis bzgl. dem Erzeugendensystem: Ich setz die Linearkombination der Teilmenge gleich mit dem allgemeinen Vektor (a,b,c) und schaue ob dieser erzeugt werden kann durch die Linearkombination. Ich überführe diese Gleichung in eine Koeffizientenmatrix und nutze Gauß um die Stufenform hervorzurufen. Es folgt: Da in der letzten Gleichung der Matrix nicht alle variablen des Allgemeinen Vektors auftauchen, bildet die Teilmenge kein Erzeugendensystem und somit ist sie keine Basis! Korrekt ? |
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| 04.06.2013, 22:54 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist falsch. Womit hast du denn die 2. und 3. Koordinate weggekriegt.
Die triviale Lösung heißt so weil sie immer eine Lösung ist. Was soll hier vorhanden bedeuten?
Das geht so nicht. Eine erweiterte Koeffizientenmatrix gehörrt zu einem LGS Ax=b. So eines gibt es hier nicht, da zwei Vektoren hier nicht multipliziert werden können. Zum wiederholten Mal: Schau die Dimension des Vektorraums an. Was sagt das über jede Basis des Vektorraums? |
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| 04.06.2013, 22:58 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiss, wenn gilt, dass die Anzahl der Teilmengen=Dimension des Raums ist bedeutet das die Teilmengen ein EZS bilden. Aber hier ist doch nur eine Teilmenge gegeben und nicht drei bzgl. dem IR^3. |
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| 04.06.2013, 23:04 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist falsch. Womit hast du denn die 2. und 3. Koordinate weggekriegt.
Die triviale Lösung heißt so weil sie immer eine Lösung ist. Was soll hier vorhanden bedeuten? Die 2. und 3. Koordinate hab ich wegbekommen indem ich die erste auf 1 gebracht habe und anschließend die anderen wegberechnet habe,damit ich ebend die Zeilenstufenform habe. Bzgl. der Trivialen Lösung meine ich, dass hier nur die triviale Lösung vorhanden ist. Edit: Tut mir leid, hab etwas Probleme mit dem zitieren hier. |
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| 04.06.2013, 23:06 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist falsch. Zum Einen ergibt das mit der Anzahl der Teilmengen keinen Sinn. Es ist die Anzahl der Elemente der Menge. Zum anderen schreibst du die falsche Richtung. Ist eine Menge M eine Basis von V, dann ist dim(V)=|M|. Die Umkehrung gilt nicht. Hier ist
Das geht mit einem einzigen Vektor schlicht nicht. Du hast ja nichts das du abziehen kannst.
dann schreib das bitte auch so. |
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| 04.06.2013, 23:19 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich meine selbstverständlich Die Anzahl der Elemente der Teilmenge = Dimension der Obermenge(Nennt man das so? - in diesem Fall IR^3). (Mein Fehler) Wie überprüfe ich den die Lineare Unabhängigkeit bei einem Vektor ? Wahrscheinlich wie folgt: xy=0 (Wobei y die vorgegebene Teilmenge ist und 0 der Nullvektor) Und nun einfach die drei Gleichungen herausschreiben und nach x äquivalent umformen. Man erkennt sofort das alle drei Gleichungen die Lösungsmenge Null besitzen und somit ist nur die Triviale Lösung vorhanden was impliziert, dass die Lineare Unabhängigkeit vorhanden ist. Richtig? Wenn es richtig ist, würde mich noch interessieren ob die Matrixform + Zeilenstufenform bei 2 Vektoren erlaubt ist. Ich weiss das ich bei zwei Vektoren einfach xa=b setzen kann, wobei a der eine Vektor und b der andere Vektor ist. Ist die Lösungsmenge einheitlich so sind diese linear abhängig (Null gitl nicht den dies wäre wieder die Triviale Lösung). Trotzdem würde mich alternativ die Matrxrangehenweise mehr interessieren. |
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| 04.06.2013, 23:31 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du musst dringend lernen dich präzise auszudrücken. y ist hier nicht die Teilmenge, y ist ein Element (das einzige) der Teilmenge. Wenn x eine relle zahl ist, dann ist das richtig.
Gibt es ein LGS Ax=b so hat A so viele Spalten wie x Zeilen hat, b hat so viele Zeilen wie A Zeilen hat. Sonst kann man da nichts machen. Was du mit einheitlicher Lösungsmenge meinst verstehe ich wieder nicht. Mir ist auch nicht ganz klar was du hiermit bezweckst. |
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| 04.06.2013, 23:41 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt, ich meine die Elemente der Teilmenge. y soll selbstverständlich ein Element der Teilmenge sien! Also ich würde gerne wissen, nach dem ich nun weiss wie ich einen Vektor auf Lineare Unabhängigkeit überprüfe, auch zwei Vektoren überprüfen kann. Folgende Regel hab ich leider nicht ganz im Zusammenhang verstanden bzw. ich habe dazu eine Frage: Gibt es ein LGS Ax=b so hat A so viele Spalten wie x Zeilen hat, b hat so viele Zeilen wie A Zeilen hat. Was ist wenn das nicht erfüllt ist? Wenn z.b. zwei Vektoren vorgegeben sind, mit jeweils 4 Koordinaten, ist dann eine Matrixdarstellen + Zeilenstufenform ratsam oder nicht erlaubt, um ebend die Lineare unabhängigkeit zu überprüfen ? |
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| 04.06.2013, 23:51 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In Bezug auf lineare unabhängigkeit gaht das immer. Bzgl deines Beispiels: Seinen a, b, die zwei vektoren. Diese sind lin. unabh. wenn gilt lässt sich überstezen zu: Sei A=(a,b) (a,b werden hier als Spaltenvektoren betrachtet), , , a, b sind lin. unabhängig wenn Ax=b nur die triviale Lösung hat. |
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| 05.06.2013, 15:09 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo ich hab jetzt viele Aufgaben lösen können, hänge jedoch exakt bei drei Aufgaben. 1) Ist den nun das Folgende Element als Teilmenge vom IR^3 eine Basis? {(1053),(27),(39)} - Linear unabhängig sind sie! - Bzgl. dem Erzeugendensystem weiss ich nicht wie ich das Allgemein zeigen kann. Hat sie vollen Rang? Ich weiss nicht wie ich das beurteilen kann da ich hier ja kein Gauß anwenden kann um diese auf Stufenform zu bringen in Matrixform. Trotzdem weiss ich, dass folgendes gilt: I) II) III) Kann ich hier bzgl. dem Erzeugensystem etwas beurteilen? 2) Mir fällt es schwer folgende Teilmenge auf Lineare Unabhängigkeit zu überprüfen: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(7,6,5)} In Matrixform folgt: Daraus folgt: III) c+5d=0 -> d=-c/5. Meine Frage: Darf ich hier jetzt eigentlich noch einmal nach c umformen und dann c in d=-c/5 einsetzen, damit folgendes folt: Mit c=-5d folgt d=5d/5 -> d=d .... Ich weiss hier nicht weiter. 3) Bzgl. der Teilmenge {(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)} Linear unabhängig sind sie, da nur die Triviale Lösung vorhanden ist. Die Matrix hierzu lautet: Da sie vollen Rang hat müssten die Teilmengen auch implizieren das ein Erzeugendensystem vorhanden ist. Und somit sollte es sich bei dieser Teilmenge um eine Basis handeln, aber wie beweise ich das nun wie vorhin angesprochen, allgemein? Die Koeffizientenmatrix lautet hierzu: Ich habe es so verstanden, dass ein Erzeugendensystem nur vorhanden ist, wenn in der letzten Gleichung in Stufenform alle Variablen in diesem Fall a,b und c vorhanden sind. Sind sie hier jedoch nicht? |
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