Primfaktorzerlegung von Polynom ohne Nullstellen

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SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »
Primfaktorzerlegung von Polynom ohne Nullstellen
Hallo zusammen!

Ich habe das Polynom-p := T^4+3T^2+2 gegeben und soll es über den reellen Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
Da p keine Nullstellen hat bin ich etwas unsicher was mein Ergebnis angeht. Vielleicht kann sich ja jemand mal meine Rechnung anschauen.

Ich bin wie folgt vorgegangen:
T⁴ + 3T² + 2
= T² * ( T² + 3 )+2
= T² * (T+W(3))*(T-W(3)) + 2 wo W(x) für Wurzel steht

Wenn der Summand 2 nicht wäre, würd ich sagen ich bin fertig ^^

Gruß, Sigmund
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bitte nutze LaTeX und/oder den Formeleditor rechts nben dem Eingabefeld.
Der Vorschau-Button unter dem Eingabefeld ist auch nützlich.
So ist es kaum lesbar.

Was ist denn die Idee hinter deinem Vorgehen?
Weißt du wie irreduzible/prime Polynome in aussehen?
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass ist wirklich kaum leserlich geworden. Ich überarbeite das mal.

Meine Umformungsschritte waren:

.
.


Meine Idee dahinter ist, dass ich versuchen möchte p soweit zu faktorisieren, dass ich die dabei entstehenden Terme nicht weiter in "kleinere" Polynome zerlegen kann. Für diese "kleinsten" Polynome gilt doch dann die Eigenschaft, dass diese Prim sind. Wir haben das so definiert:

heißt prim, genau dann wenn gilt: Aus folgt und , wo
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst
Zitat:
\sqrt{3}
.
wäre eine ziemlich aufwändige Schreibweise für 3.

Zitat:
Für diese "kleinsten" Polynome gilt doch dann die Eigenschaft, dass diese Prim sind

In welchem Sinne "klein"?

Dank dem Hauptsatz der Algebra kann man die irred./primen Polynome in den reellen Zahlen konkret angeben.
Den Begriff irreduzibel hattet ihr schon?

Überlege dir: Ein polynom mit Nullstelle ist prim genau dann wenn es grad 1 hat.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich meine , meine Latexreferenz via google gab grad nichts anderes her.

Irreduzibel hatten wir in der Vorlesung. Wir haben einen Satz der sagt, dass ein Polynom das prim ist auch irreduzibel ist und haben an einem Beispiel gezeigt das es irreduzible Polynome gibt, die nicht prim sind.


Ich habe mir das ganze jetzt grad von grundauf nochmal angesehen. Wir haben definiert, dass die Primfaktorzerlegung eines Polynoms eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung in irreduzible Polynome ist.

=> Also muss meine Zerlegung nicht aus Primpolynomen bestehen ( Wir haben ja gesagt, dass es irreduzible Polynome gibt, die nicht prim sind). Irreduzibel ist ein Polynom genau dann, wenn die Faktorisierung in für g oder h konstant ist.


Demnach war mein Ansatz (ohne zu wissen was ich eigentlich genau mache) gar nicht so verkehrt, als ich versucht habe mein Polynom-p möglichst weit zu zerlegen. "klein" hieß in diesem Sinne in irreduzible Polynome zerlegen (durch Faktorisierung)

Soweit korrekt?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Irred. Polynome die nicht prim sind, sind pathologische Fälle.
In faktoriellen (ZPE,UFD) Ringen wie hier ist das nicht der Fall.

Zitat:
Demnach war mein Ansatz (ohne zu wissen was ich eigentlich genau mache) gar nicht so verkehrt, als ich versucht habe mein Polynom-p möglichst weit zu zerlegen. "klein" hieß in diesem Sinne in irreduzible Polynome zerlegen (durch Faktorisierung)

Sich damit zu brüsten etwas beweisen zu wollen ohne sich die entsprechenden Vorlesungen anständig angeschaut zu haben finde ich sehr grenzwertig. Aber hey, ich brüste mich auch damit eine Klausur mit saftig Restalkohol bestanden zu haben. Prost

Und wo du einen Ansatz siehst seh ich keinen, du hast ja keine multiplikative Zerlegung.

Es ist hier sinnvoll sich zu überlegen wie die irreduziblen Polynome in aussehen. Erste Gedanken dazu hab ich bereits aufgeschrieben.
 
 
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich frage ja hier weil ich anscheinend nicht verstanden habe wie das funktioniert. Außerdem saufe ich wärend des Studiums nicht, weil ich schon ein Kind habe und nebenbei noch Arbeiten muss. Das ich mich brüste halte ich auch für ein Gerücht, denn ich denke eine solche Konotation kannst man nicht aus meinem Beitrag lesen. Übrigends sitzte ich deshalb um 23Uhr noch am Rechner um was zu lernen. Für einige ist es halt harte Arbeit und fliegt einem nicht zu!

Danke für die freundliche Antwort.

Stimmt den Fall, dass das Polynom irred. und nicht prim ist haben wir in betrachtet.

Da ich zu keiner multiplikativen Zerlegung gekommen bin habe ich ja hier die Frage gestellt.



Ich denke aber das mir dein letzter Beitrag sowas von den Abend versaut hat, dass ich mich jetzt pennen lege. Gute Nacht.

Edit: Wie kommst du eigentlich dazu sowas unfaires zu schreiben?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Nacht.
Und mein tiefes Mitleid.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich will mal nicht pissig sein, auch wenn ichs nicht nett fand. Da wir noch nicht definiert haben, was ein faktorieller Ring ist, hab ich das mal nachgeschlagen und herausgefunden, dass der Polynomring über einem Körper ein solcher Ring ist. Weiter habe ich gelesen, dass in einem faktoriellen Ring irreduzible Elemente prim sind. Deswegen also dier Zerlegung in irreduzible Elemente damit ich eine Primfaktorzerlegung erhalte.

Nächstes mal aber bitte nicht den Vergleich mit einem saufenden Wochenendstudenten bitte.

PS: Aufgabe gelöst
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Dann teil uns doch noch deine Lösung mit.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@SigmundFreund

Primfaktorzerlegung (oder richtiger Zerlegung in Primelemente) heißt in diesem Zusammenhang zerlegen, zerlegen, zerlegen, bis nichts mehr geht... Versuch daher doch erst mal, das Polynom wirklich zu "zerlegen"... Was du Zerlegung nennst ist, ist ja in Wahrheit keine... Dazu solltest du zunächst X=T² substituieren, dann das resultierende Polynom X²+3X+2 zerlegen und schleßlich für X wieder T² einsetzen... Die Frage, welche sich dann stellt, ist, ob man noch weiter zerlegen kann oder ob's das schon war... Augenzwinkern

Edit: Hab jetzt deinen PS-Zusatz noch nicht gesehen, als ich das schrieb...
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Gern, hier nochmal was ich letztlich berechnet habe.

.
.



Substituiere ich, wie du vorgeschlagen hast, komme ich auf das gleiche Polynom, weswegen ich jetzt mal davon ausgehe, dass meine Rechnung auch stimmt.

Jetzt stellt sich mir die Frage, ob ich diese beiden Faktoren weiter über zerlegen kann.
1. Feststellung: haben keine Nullstellen über .
2. Wir hatten den Satz, dass ein Polynom über vom Grad 2 oder 3 genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstellen in hat. Damit sind über irreduzibel und ich habe meine Zerlegung gefunden.


Der Tip mit dem faktoriellen Ring hat mir übrigends sehr geholfen. Jetzt verstehe ich das ganze etwas besser! Danke.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SigmundFreud
Gern, hier nochmal was ich letztlich berechnet habe.

.
.



Substituiere ich, wie du vorgeschlagen hast, komme ich auf das gleiche Polynom, weswegen ich jetzt mal davon ausgehe, dass meine Rechnung auch stimmt.

Das ist der Weg des "geschickten Hinsehens". Der Weg von Mystic wäre der etwas direktere gewesen, der bei diesen biquadratischen Gleichungen immer gut funktioniert. Aber dein Ergebnis stimmt. smile
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Schön smile Bei der nächsten Aufgabe geht es um das Polynom über

Dabei steht für den Polynomring über den ganzen ungeraden Zahlen.
Damit habe ich hier nun aber keinen faktoriellen Ring mehr über dem ich meinen Poiynomring betrachte (mindestens das neutrale Element der Addition ist verletzt -> kein Ring mehr -> kein Integritätsring -> kein faktorieller Ring)

Die Frage die ich mir stelle ist, ob mich das in diesem Fall überhaupt interessiert, da die bei den Umformungen gar nicht mit graden Koefizienten in Berührung komme.






Soweit erstmal. Jetzt stehe ich wieder vor der Frage ob die Elemente prim sind.

Ich habe mir jetzt rausgeschrieben, dass ich in folgenden Algebraischen Strukturen die Gleichheit von Primelementen und Irreduziblen Elementen annehmen darf:
Hauptidealringen, wie euklidschen Ringen (Z,Körper,Polynomringe über Körpern) und Polynomringen über faktoriellen Ringen (z.B. Z[T])
Folglich sollte ich mir erstmal überlegen was für eine algebraische Struktur Z/(2Z)[T] genau ist. Also erstmal handelt es sich um einen Polynomring über Z/(2Z).

Jetzt ist die Frage was Z/(2Z) ist. Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation. Wie ich oben bereits argumentiert habe bekomme ich aber ein Problem was das neutrale Element der Addition in Z angeht. Fällt dies Weg ist (Z,+) keine Gruppe mehr ( zusätzlich lässt sich auch die Inverse lässt sich nicht mehr richtig definieren).Damit wird (Z/(2Z),+) zu einer Halbgruppe. Das sprengt mir ja total mein Konzept, sodass ich denke, dass ich durch diese abstrakte herangehensweise nicht unbedingt weiter kommen werde und mir deswegen morgen nochmal die konkrete Definition der Primelemente vornehmen muss.

Richtige herangehensweise?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SigmundFreud
Schön smile Bei der nächsten Aufgabe geht es um das Polynom über

Dabei steht für den Polynomring über den ganzen ungeraden Zahlen.
Damit habe ich hier nun aber keinen faktoriellen Ring mehr über dem ich meinen Poiynomring betrachte (mindestens das neutrale Element der Addition ist verletzt -> kein Ring mehr -> kein Integritätsring -> kein faktorieller Ring)

Das ist so ziemlich alles Unsinn, was du da schreibst... geschockt

Z/(2Z) ist ein Körper mit nur 2 Elementen, dem Nullelement 0 und dem Einselement 1. Eine schönere Struktur ist schwer vorstellbar... Insbesondere ist Z/(2Z)[T] also wieder einen Polynomring über einen Körper, d.h., es liegen im Großen und Ganzen die gleichen Voraussetzungen vor wie bei der ersten Aufgabe oben...

Zitat:
Original von SigmundFreud





Das hier ist zwar fehlerhaft, aber es geht zumindestens so ähnlich... Und bitte beachten, dass hier T²+1=(T+1)² ist...
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles Mist. Heute haben wir Übung. Danke fürs anschauen.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich bin jetzt zu der Erlösung gekommen, dass ein Faktorring ist, also ein Restklassenring - sprich "Z modulo 2". Weiter ist mir nun bewusst, dass gilt. Damit ist ein (endlicher) Körper und es gelten wie du grad schon beschrieben hast ähnliche Vorraussetzungen wie in der vorherigen Aufgabe.

Meine Umformung war falsch. Das habe ich jetzt gesehen: Ich denke, dass folgendes gelten muss:









Da (T+1) Grad 1 hat, ist es irreduzible.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SigmundFreud
Weiter ist mir nun bewusst, dass gilt.

Ich denke, du meinst in Wahrheit



und auch das gilt nur bis auf Isomorphie und wenn n, so wie hier, eine Primzahl ist... Aber immerhin, deine Rechnung oben, was die Zerlegung des Polynoms betrifft, stimmt nun endlich... Freude
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